主从企业产品动态博弈的stackelberg模型

陈国光+王曦

摘要： 研究地位不同的大企业与小企业产量博弈模型，并在此基础上，引入市场容量可变的概念，从而将模型推广到多个阶段，得出了主从两企业的产量、利润和价格数学表达式，通过计算和分析得到了在主从企业产品动态博弈中，大企业主导作用逐渐加强，主从两企业随着阶段数增加，产量、利润呈现不同程度下降，新增市场容量对于多阶段博弈起重要作用等结论。

Abstract： The paper studies the output game model of the large and small enterprises with different status， and on this basis， introduces the market capacity variable concept， which will make this model be extended to multiple stages， and gets the mathematical expression of the output， profits and prices of the main and subordinate enterprises. Through the calculation and analysis， the paper finds that in the dynamic game of enterprise products， the leading role of large enterprise is gradually strengthening； with the increase of the stage number， the production and profits of the main and subordinate enterprises show the varying degrees of decrease； the new added market capacity plays an important role in multi-stage game.

关键词： 博弈；主从企业；市场容量；stackelberg模型

Key words： game；the main and subordinate enterprises；market capacity；stackelberg model

中图分类号：F273.2 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）22-0021-02

0 引言

主从企业博弈是指在一个行业内，由少数几个大企业处于主导地位，由它们先来制定其在行业内的产量，其他小企业处于从属地位，它们将根据大企业的产量来制定自己的产量。在企业之间相互博弈中，大企业拥有相对于小企业的生产优势，它将可能按照低于小企业产品成本但高于自己产品成本的价格提供产品，以达到让小企业退出市场的目的。所以大企业为拥有相对于小企业的产量、利润优势，而小企业为能够在与大企业的竞争中生存下来，二者之间将采取一种主从博弈模型。

从目前的研究来看，在寡头企业博弈过程中，对于企业之间的地位假设是无差别的。但在现实中，由于各种原因，可能存在市场被少数几个企业垄断，但是寡头企业之间可能由于资产、前期投入或生产能力等影响，它们之间的地位也有可能是不平等的，占有优势的大企业可能对于整个行业的运作都起到重要作用，而小企业将根据大企业的策略制定自己的策略。对于这种类型企业之间的博弈将是本文研究重点。同时企业博弈将不是一次性的过程，一些产品需求可以在本阶段得到满足，但是随着时间的发展，市场上将会产生新的产品需求，使市场容量产生变化，引起重复博弈。本文将地位不相等的企业产品博弈与动态多阶段博弈相结合，使文章更符合现实的生产经营情况。

1 模型的假设

Stackelberg模型是研究完全信息动态博弈的经典模型，可以看作为泽尔腾的子博弈精炼纳什均衡的最早工具，也是被应用于研究非同等地位寡头竞争的重要研究方法。在本文中假设由于规模经济的作用，大企业在前期投入较多资源情况下，在生产过程中，每件产品的单位成本将小于小企业的单位成本，大企业在生产过程中处于主导地位，由它先制定自己的生产销售计划，小企业根据大企业的剩余需求来制定自己的生产销售计划。同时对于一个多阶段的动态市场而言，引入了企业的市场容量可变的假设，本阶段的市场容量等于上一个阶段的市场容量减去上一个阶段的市场生产销售总额，而后将阶段延续到多阶段，来观察大小企业不同阶段的产量、利润等指标和两者产量、利润相互关系。为叙述方便，本文模型中只包含主从两个企业的情形。在以上分析基础上，本文的假设具体有以下几个方面：

①假设市场存在大小两个企业，大企业的边际成本为c1，小企业的边际成本为c2。其中，c1

2 传统情形一阶段主从企业的stackelberg博弈模型

在竞争情况下，大企业首先行动，决定自己的产量，并且由于市场为完全信息市场，小企业会在知道大企业的产量后再决定自己的，大企业也会知道小企业根据大企业的产量决定自己的产量。

小企业的利润函数为

π■=P■q■-c■q■=bd■-c■+be-bq■-bq■q■ （1）

对（1）式对q12偏导并令其等于0，可得

q■=■ （2）

将（2）式代入大企业的利润函数

π■=P■q■-c■q■=bd■-c■+be-bq■-bq■q■ （3）

对q11求导并令其等于0，得到定理1。

定理1 在第一阶段，主从企业的产量均衡解分别为

q■■=■；q■■=■

根据定理1，我们可以得到推论1。

推论1 即在第一阶段竞争情形下，大小企业的利润与行业价格分别为

π■=■q■■，π■=bq■■；P■=■

3 动态stackelberg模型的建立

在实际企业生产经营中，上述的产品博弈并不是一次性的，对于一个行业来说，重复博弈是普遍存在的情况。现实生产经营中，随着时间的变化，部分消费需求可能已得到满足，同时，在现有市场或者新增市场上，有的消费需求可能又产生，这就导致了市场容量的变化。主从企业在市场容量变化的每个阶段，都存在着这种stackelberg博弈。

当博弈进行到了第i阶段，行业市场容量为d■且d■=d■+ie-■q■+q■。通过借鉴一阶段的研究可以得到：

第i阶段小企业的利润函数得到大小企业的关系

π■=p■-c■q■=bd■-bq■+q■-c■q■ （4）

对其求关于的偏导并令其等于0，可得

q■=■ （5）

采用逆推法得定理2。

定理2 主从两个企业在阶段i的均衡产量解分别为

q■■=■d（0）+■1-■+■1-■-■

推论2 主从两个企业在阶段i的利润和产品价格分别为。

π■=■q■■；π■=bq■■；

P■=■+■1-■+■1-■+■

4 模型分析

4.1 通过以上模型，结合假设条件分析可得，在主从企业的产量和利润的比较中，大企业都占有绝对优势。并且由于■=■=21+■，■=■，市场容量d（i）是阶段数的减函数，所以随着阶段数的增加，大企业与小企业之间的利润和产量相对差异将越来越大，这也就意味着随着博弈的进行，情况越来越对大企业有利，对小企业越来越不利。对于大企业来说，应当让这种博弈进行下去，采取各种措施保持这种先动优势。而对于小企业来说，改进生产等方法使边际成本变小对于产量和利润的提高作用是很小的，最重要的是改变这种博弈方式，争取与大企业相对平等的地位。在企业生产经营中，小企业之间结成战略同盟、小企业自身实施重大科技创新和对相关大企业提起反垄断调查等，都是谋求与大企业同等地位的手段。

4.2 大企业的利润始终大于两倍小企业利润，并且随着阶段数的增加，两者利润相对差距会越来越大，所以当小企业的最低可接受利润大于大企业的最低可接受利润一半时，即u■>■u■，小企业将首先退出这个市场，结束两企业之间博弈。

5 算例分析

令d（0）=60，c1=2，c2=3，b=0.5，u1=1，u2=0.5，e=5。分别求阶段1-5时主从企业的产量解、利润值和利润率。所得结果进行比较见表1。

由上述算例可知，采用本文方法时，主从企业博弈持续了3个阶段，后由于小企业的利润小于其最低利润率退出此行业而结束了此次博弈，而后行业就形成了一个企业垄断的局面。在从阶段1至阶段3的过程中，主从企业的产量、所得利润、行业价格都是一个单调递减的过程，这也于相关结论相符合。在同一个阶段中，大企业与小企业的产量、利润差异与动态古诺模型相比较差异较为明显，这也与本文中对于两企业地位不同的假设想符合。而值得注意的是，在与动态古诺模型比较中，两个企业的博弈持续阶段数大于本文模型的阶段数，两企业产量与利润阶段之间的减少数小于本文模型中的数值，地位的不相同，将使小企业提早离开行业，而在此博弈过程中，大企业也损失了部分利润。

6 结束语

本文在前人研究基础上，对于行业内企业地位相同的假设进行了修正，提出了关于行业内地位不相同主从企业的动态产量博弈模型。得到了在多阶段情形下主从企业的均衡产量解和利润，通过求解与证明，得到了企业的产量与利润递减和此模型对于大企业有利的结论。但是，本文只研究了两企业、新增市场容量不变且只考虑了边际成本的情形多企业，新增市场容量有变化和其他性态成本的加入将更为适合一般情形，这也是以后探讨与研究的一个方向。

参考文献：

[1]Agliari A，Gardini L，Puu T. The dynamics of a tripoly cournot game[J].Chaos，Solitons and Fractals，2000，11（15）：2531-2560.

[2]张明善，唐小我.多个生产商的动态古诺模型分析[J].管理科学学报，2002，5（5）：85-90.

[3]易余胤，盛昭瀚，肖条军.具溢出效应的有限理性双寡头博弈的动态演化[J].系统工程学报，2004，19（3）：244-250.

[4]李森.2008.开放系统下企业产品博弈定价的理论与实证研究[D].东北大学管理科学与工程专业博士学位论文.

[5]杨慧，周晶.易逝性产品降价时点的Stackelberg博弈[J].管理工程学报，2007，21（3）：155-158.endprint

对q11求导并令其等于0，得到定理1。

定理1 在第一阶段，主从企业的产量均衡解分别为

q■■=■；q■■=■

根据定理1，我们可以得到推论1。

推论1 即在第一阶段竞争情形下，大小企业的利润与行业价格分别为

π■=■q■■，π■=bq■■；P■=■

3 动态stackelberg模型的建立

在实际企业生产经营中，上述的产品博弈并不是一次性的，对于一个行业来说，重复博弈是普遍存在的情况。现实生产经营中，随着时间的变化，部分消费需求可能已得到满足，同时，在现有市场或者新增市场上，有的消费需求可能又产生，这就导致了市场容量的变化。主从企业在市场容量变化的每个阶段，都存在着这种stackelberg博弈。

当博弈进行到了第i阶段，行业市场容量为d■且d■=d■+ie-■q■+q■。通过借鉴一阶段的研究可以得到：

第i阶段小企业的利润函数得到大小企业的关系

π■=p■-c■q■=bd■-bq■+q■-c■q■ （4）

对其求关于的偏导并令其等于0，可得

q■=■ （5）

采用逆推法得定理2。

定理2 主从两个企业在阶段i的均衡产量解分别为

q■■=■d（0）+■1-■+■1-■-■

推论2 主从两个企业在阶段i的利润和产品价格分别为。

π■=■q■■；π■=bq■■；

P■=■+■1-■+■1-■+■

4 模型分析

4.1 通过以上模型，结合假设条件分析可得，在主从企业的产量和利润的比较中，大企业都占有绝对优势。并且由于■=■=21+■，■=■，市场容量d（i）是阶段数的减函数，所以随着阶段数的增加，大企业与小企业之间的利润和产量相对差异将越来越大，这也就意味着随着博弈的进行，情况越来越对大企业有利，对小企业越来越不利。对于大企业来说，应当让这种博弈进行下去，采取各种措施保持这种先动优势。而对于小企业来说，改进生产等方法使边际成本变小对于产量和利润的提高作用是很小的，最重要的是改变这种博弈方式，争取与大企业相对平等的地位。在企业生产经营中，小企业之间结成战略同盟、小企业自身实施重大科技创新和对相关大企业提起反垄断调查等，都是谋求与大企业同等地位的手段。

4.2 大企业的利润始终大于两倍小企业利润，并且随着阶段数的增加，两者利润相对差距会越来越大，所以当小企业的最低可接受利润大于大企业的最低可接受利润一半时，即u■>■u■，小企业将首先退出这个市场，结束两企业之间博弈。

5 算例分析

令d（0）=60，c1=2，c2=3，b=0.5，u1=1，u2=0.5，e=5。分别求阶段1-5时主从企业的产量解、利润值和利润率。所得结果进行比较见表1。

由上述算例可知，采用本文方法时，主从企业博弈持续了3个阶段，后由于小企业的利润小于其最低利润率退出此行业而结束了此次博弈，而后行业就形成了一个企业垄断的局面。在从阶段1至阶段3的过程中，主从企业的产量、所得利润、行业价格都是一个单调递减的过程，这也于相关结论相符合。在同一个阶段中，大企业与小企业的产量、利润差异与动态古诺模型相比较差异较为明显，这也与本文中对于两企业地位不同的假设想符合。而值得注意的是，在与动态古诺模型比较中，两个企业的博弈持续阶段数大于本文模型的阶段数，两企业产量与利润阶段之间的减少数小于本文模型中的数值，地位的不相同，将使小企业提早离开行业，而在此博弈过程中，大企业也损失了部分利润。

6 结束语

本文在前人研究基础上，对于行业内企业地位相同的假设进行了修正，提出了关于行业内地位不相同主从企业的动态产量博弈模型。得到了在多阶段情形下主从企业的均衡产量解和利润，通过求解与证明，得到了企业的产量与利润递减和此模型对于大企业有利的结论。但是，本文只研究了两企业、新增市场容量不变且只考虑了边际成本的情形多企业，新增市场容量有变化和其他性态成本的加入将更为适合一般情形，这也是以后探讨与研究的一个方向。

参考文献：

[1]Agliari A，Gardini L，Puu T. The dynamics of a tripoly cournot game[J].Chaos，Solitons and Fractals，2000，11（15）：2531-2560.

[2]张明善，唐小我.多个生产商的动态古诺模型分析[J].管理科学学报，2002，5（5）：85-90.

[3]易余胤，盛昭瀚，肖条军.具溢出效应的有限理性双寡头博弈的动态演化[J].系统工程学报，2004，19（3）：244-250.

[4]李森.2008.开放系统下企业产品博弈定价的理论与实证研究[D].东北大学管理科学与工程专业博士学位论文.

[5]杨慧，周晶.易逝性产品降价时点的Stackelberg博弈[J].管理工程学报，2007，21（3）：155-158.endprint

对q11求导并令其等于0，得到定理1。

定理1 在第一阶段，主从企业的产量均衡解分别为

q■■=■；q■■=■

根据定理1，我们可以得到推论1。

推论1 即在第一阶段竞争情形下，大小企业的利润与行业价格分别为

π■=■q■■，π■=bq■■；P■=■

3 动态stackelberg模型的建立

在实际企业生产经营中，上述的产品博弈并不是一次性的，对于一个行业来说，重复博弈是普遍存在的情况。现实生产经营中，随着时间的变化，部分消费需求可能已得到满足，同时，在现有市场或者新增市场上，有的消费需求可能又产生，这就导致了市场容量的变化。主从企业在市场容量变化的每个阶段，都存在着这种stackelberg博弈。

当博弈进行到了第i阶段，行业市场容量为d■且d■=d■+ie-■q■+q■。通过借鉴一阶段的研究可以得到：

第i阶段小企业的利润函数得到大小企业的关系

π■=p■-c■q■=bd■-bq■+q■-c■q■ （4）

对其求关于的偏导并令其等于0，可得

q■=■ （5）

采用逆推法得定理2。

定理2 主从两个企业在阶段i的均衡产量解分别为

q■■=■d（0）+■1-■+■1-■-■

推论2 主从两个企业在阶段i的利润和产品价格分别为。

π■=■q■■；π■=bq■■；

P■=■+■1-■+■1-■+■

4 模型分析

4.1 通过以上模型，结合假设条件分析可得，在主从企业的产量和利润的比较中，大企业都占有绝对优势。并且由于■=■=21+■，■=■，市场容量d（i）是阶段数的减函数，所以随着阶段数的增加，大企业与小企业之间的利润和产量相对差异将越来越大，这也就意味着随着博弈的进行，情况越来越对大企业有利，对小企业越来越不利。对于大企业来说，应当让这种博弈进行下去，采取各种措施保持这种先动优势。而对于小企业来说，改进生产等方法使边际成本变小对于产量和利润的提高作用是很小的，最重要的是改变这种博弈方式，争取与大企业相对平等的地位。在企业生产经营中，小企业之间结成战略同盟、小企业自身实施重大科技创新和对相关大企业提起反垄断调查等，都是谋求与大企业同等地位的手段。

4.2 大企业的利润始终大于两倍小企业利润，并且随着阶段数的增加，两者利润相对差距会越来越大，所以当小企业的最低可接受利润大于大企业的最低可接受利润一半时，即u■>■u■，小企业将首先退出这个市场，结束两企业之间博弈。

5 算例分析

令d（0）=60，c1=2，c2=3，b=0.5，u1=1，u2=0.5，e=5。分别求阶段1-5时主从企业的产量解、利润值和利润率。所得结果进行比较见表1。

由上述算例可知，采用本文方法时，主从企业博弈持续了3个阶段，后由于小企业的利润小于其最低利润率退出此行业而结束了此次博弈，而后行业就形成了一个企业垄断的局面。在从阶段1至阶段3的过程中，主从企业的产量、所得利润、行业价格都是一个单调递减的过程，这也于相关结论相符合。在同一个阶段中，大企业与小企业的产量、利润差异与动态古诺模型相比较差异较为明显，这也与本文中对于两企业地位不同的假设想符合。而值得注意的是，在与动态古诺模型比较中，两个企业的博弈持续阶段数大于本文模型的阶段数，两企业产量与利润阶段之间的减少数小于本文模型中的数值，地位的不相同，将使小企业提早离开行业，而在此博弈过程中，大企业也损失了部分利润。

6 结束语

本文在前人研究基础上，对于行业内企业地位相同的假设进行了修正，提出了关于行业内地位不相同主从企业的动态产量博弈模型。得到了在多阶段情形下主从企业的均衡产量解和利润，通过求解与证明，得到了企业的产量与利润递减和此模型对于大企业有利的结论。但是，本文只研究了两企业、新增市场容量不变且只考虑了边际成本的情形多企业，新增市场容量有变化和其他性态成本的加入将更为适合一般情形，这也是以后探讨与研究的一个方向。

参考文献：

[1]Agliari A，Gardini L，Puu T. The dynamics of a tripoly cournot game[J].Chaos，Solitons and Fractals，2000，11（15）：2531-2560.

[2]张明善，唐小我.多个生产商的动态古诺模型分析[J].管理科学学报，2002，5（5）：85-90.

[3]易余胤，盛昭瀚，肖条军.具溢出效应的有限理性双寡头博弈的动态演化[J].系统工程学报，2004，19（3）：244-250.

[4]李森.2008.开放系统下企业产品博弈定价的理论与实证研究[D].东北大学管理科学与工程专业博士学位论文.

[5]杨慧，周晶.易逝性产品降价时点的Stackelberg博弈[J].管理工程学报，2007，21（3）：155-158.endprint