方位角不为零时太阳辐照的计算

中国地质大学(北京)数理学院 ■ 冯娟

北京昆兰新能源技术有限公司 ■ 李继超

0 引言

在太阳能有关的应用中，一般采取倾斜放置的方式来尽可能多的接收太阳辐照。对于一个特定的地区，太阳辐照量包括直射、散射、反射3部分，在水平面上的3个分量是根据多年观察得到的经验值，如何根据水平面上的值来计算斜面上的辐照量往往是太阳能利用中首先要考虑的问题。一般气象台站提供的只是水平面上太阳辐照量的数据，通常采用Klein S A[1]总结的计算方法，来确定朝向赤道倾斜面上的太阳辐照量。认为倾斜面上的太阳辐照总量Ht由直接辐照量Hbt、天空散射辐照量Hdt和地面反射辐照量Hrt3部分组成，并认为天空散射辐射是均匀分布的，显然这是不严格的。后来Hay J E[2]提出了天空散射辐射各向异性的模型，其表达式为：

其中：H、Hb和Hd分别为水平面上的太阳辐照总量、直接辐照量和散射辐照量；Rb为倾斜面和水平面上直接辐照量的比值；H0为大气层外水平辐照量；β为倾角；ρ为地物表面反射率。

以上计算关键之一就是Rb的计算，特别是在方位角不为零时计算比较复杂。文献[3-4]具体给出了方位角为零时的直射量比值的计算公式及推导过程，未给出方位角不为零时的推导。通过分析太阳辐照模型具体推导方位角不为零时的直射计算，给出比值的计算公式。

1 问题的分析

计算直射量的比值，需分析水平面上辐照与倾斜面辐照的不同，找到各自的计算公式，特别是通过水平面上现有公式的分析来得到倾斜面上的计算公式。在水平面上，一天的太阳辐照量是水平面上太阳辐照强度的积分，积分上下限是水平面上的日落时角与日出时角，太阳辐照强度是太阳时角的函数乘以一个系数，这个系数对于某一天可看成是常数；倾斜面上辐照量的计算[4]也类似，只是太阳高度角不同，日落时角与日出时角也不同。

太阳高度角是太阳光线与平面的夹角，高度角越大单位面积的辐照量越大，当地球在自转时，随着太阳时角的变化，高度角也在变化。因此根据当地的纬度、倾角、赤纬角、方位角以及太阳时角来计算太阳高度角是关键。日落时角与日出时角是太阳的高度角为零时的太阳时角，文献[5]给出其计算公式。以北半球为例来推导直射量比值的计算公式，南半球的推导与此类似，只是与数值的正负规定有关。

2 方位角为零时的太阳辐照计算

2.1 水平面上太阳参数的计算

日出时角与日落时角是太阳高度角为零时对应的太阳时角，水平面上的日出时角与日落时角计算式为：

其中：δ表示太阳赤纬角，对于每一天有计算公式，对于固定的一天可认为是常数；φ表示当地的纬度。

太阳高度角的正弦表达式为：

其中：τ为太阳时角，上午为负，下午为正。

水平面上一天中太阳的累计直射量表达式为：

其中：K为与太阳辐照强度有关的一个常数。

2.2 倾斜面上太阳参数的计算

太阳高度角的正弦表达式为：

其中：β为倾角。

日出时角与日落时角表达式为：

3 方位角不为零时太阳辐照的计算

方位角不为零或任意朝向时，如何计算倾斜面上的太阳辐照，主要还是太阳高度角及日出时角与日落时角的计算，计算太阳高度角是关键。

3.1 太阳光线辐照地球的模型

太阳光线辐照地球的模型如图1所示。图1来自右侧的太阳光线是不动的，左侧地球在不停地转动，想像地球上一点Q有一块板子受到太阳光线的辐照，求这个板子受到的辐照强度的关键就是求太阳光线垂直面与板子的夹角，夹角越小辐照强度越大。

图1 太阳光线辐照地球的模型

3.2 问题及求解

问题求解的关键是正确地表示出问题，这里的关键是板子所处位置的参数的含义[6-7]，并由此计算板子与光线垂直面的夹角，用平面方程来处理它是合适的，同时也要运用一些立体几何的知识。可假想板子在Q点随着XYZ一起运动，光线垂直面不动，这等价于光线垂直面在不停地转动，地球不动。

已知赤道面与日地中心的连线的夹角(即赤纬角)，板子所在点Q所处的水平面与赤道面的夹角的余角(即纬度)，板子平面与水平面的夹角(即倾角)，板子在水平面上投影与水平面上正南方向的夹角(即方位角γ)，求地球在转动过程中即时角变化时板子与太阳光线垂直面之间的夹角公式。其立体几何关系见图2，过Q点做Z轴的垂线作X轴，然后做Y轴，得到空间坐标系。

图2 纬度、倾角、方位角、赤纬角的几何关系

具体做图方法为：1)建立XYZ坐标系；2)放置一与Y轴平行的水平面，交Z轴于M点且交X轴于Q点，与ZY平面的交线是MT；3)通过Q点放置板子平面，它与水平面的交线是QT，与Z轴相交点P；4)从P点向水平面上做投影为V点，过P点做QT的平行线与过Q点做QT的垂直线的交点为N；其中：∠QMO=φ，∠NQS=β，∠SQV = γ，∠QSV = 90°(由 于∠NQS是二面角，当NS垂直于SQ时，NS一定是水平面的垂线，又NP平行于水平面，故NPVS构成矩形，SV//NP，PV = NS ，并且SV//QT，QT与SV都垂直于SQ)，∠MTQ=γ，令QM = 1，QMV在一条直线上(由于水平放置时规定保证了∠MQO为二面角，ZX平面垂直于水平面，P点在水平面上的投影一定在ZX平面上，V一定在两平面的交线上，故QMV在一条直线上)。

则有如下计算：

求得：PM = cosγ/(ctanβsinφ- cosφcosγ)

进而得到：

于是板子在XYZ坐标系过P、Q、T3点的坐标都已确定，分别为：P[0,0, cosφ + cosγ /(ctanβsinφ-cosφcosγ)]，Q(sinφ,0,0)，T(0,1/tanγ,cosφ)，这样可求出以下方程：

其中：a1=1/sinφ,

光线垂直面方程的求解相对简单，只与赤纬角和时角有关。正午即τ=0时，光线垂直面与YZ平面平行，考虑赤纬角为δ时，光线垂直面与X轴和Z轴的两个交点为sinδ和cosδ，再结合太阳时角为τ时光线垂直面与XYZ坐标系的交点，可得到光线垂直面在XYZ坐标系中的3个点是：(sinδ/cos(-τ),0,0)，(0,sinδ/sin(-τ),0)，(0,0,cosδ)。这样就可直接确定方程：

其中：

求以上两个平面的夹角可根据两面间夹角的

余弦公式：

实际上就是板子的高度角的正弦值，经过简单的三角运算可得：

以上分析是按向左偏的情况来进行的，当方位角向右偏时平面与Y轴的交点改变变量的符号。

3.3 日出时角与日落时角公式

方位角不为零时的日出时角与日落时角为[5]：

其中：a=sinδ(sinφcosβ-cosφsinβcosγ)，b=cosδ(cosφcosβ+sinφsinβcosγ)，c=cosδsinφsinγ，D= (b2+c2)½

3.4 倾斜面上与水平面上太阳直射量的比值的计算

倾斜面上一天中太阳的累计直射量表达式为：

倾斜面上与水平面上的辐照量比值是Rb=K sinhdτ/K sinhdτ，因为变量是 τ，而被

积函数是τ的简单三角函数，因此Rb可表示为简单的计算公式：

4 实例分析

以北京地区为例，倾角37°，使用以上推导的公式编制计算机程序来计算一定倾角时的太阳辐照量，绘制出变化曲线。其中方位角从0～90°变化，得到的结果如图3所示，它的变化趋势与文献[5]中的曲线数据变化趋势一致。

在方位角变化时，按相应最佳倾角得到的年辐照量曲线如图4所示。

图3 倾角固定，不同方位角时的辐照量曲线

图4 倾角最优，不同方位角时的辐照量曲线

5 结论

根据太阳参数的计算方法[8]，结合太阳辐照地球模型，分析了水平面上与倾斜面上的计算方法，从而给出了倾斜面与水平面上的直射辐照量之比的计算公式。通过对北京、上海等地区在倾角变化、方位角变化时的全年辐照量的计算可知，倾斜面上的太阳辐照量当方位角为零时一般是最大；当方位角不为零时，随着方位角的增加辐照量会减少。因此对于一个地区，为了获得最多的年辐照量，应尽量将方位角设置为零，当方位角不能设置为零时，应通过适当减少倾角而获得最多的辐照量。

[1] Klein S A. Calculation of monthly average insolation on tilted surfaces[J]. Solar Energy, 1977, 19(4): 325-329.

[2] Hay J E. Calculation of monthly mean solar radiation for horizontal and inclined surface[J]. Solar Energy, 1979，23(4):301-307.

[3] 王炳忠. 太阳辐照计算讲座[J]. 太阳能, 2000, (2): 16-17.

[4] 王炳忠. 太阳辐照计算讲座[J]. 太阳能, 2000, (3): 20-21.

[5] 杨金焕, 毛家俊 陈中华. 不同方位倾斜面上太阳辐照量及最佳倾角的计算[J]. 上海交通大学学报, 2002, 36(7): 129-133.

[6] Reda I, Andreas A. Solar position algorithm for solar radiation applications[J]. Solar Energy, 2004, 76 (5): 577-589.

[7] Walraven R. Calculating the position of the sun[J]. Solar Energy, 1978, 20(5): 393-397.

[8] 陈祥. 光伏电站发电量的理论计算及差异分析[J]. 太阳能,2011, (1): 39-40.