线性时滞系统的稳定性分析

孙 凤 琪

（吉林师范大学数学学院，吉林四平 136000）

线性时滞系统的稳定性分析

孙 凤 琪

（吉林师范大学数学学院，吉林四平 136000）

利用Lyapunov稳定性理论及矩阵分析方法，对线性时滞控制系统进行稳定性分析，通过范数有界不确定参数矩阵的限制，给出了系统稳定的新的充分性判据.该方法不需要系统分解和降阶技术，所得结果均用线性不等式形式给出，可应用于标准和非标准的时滞奇异摄动系统的稳定性分析中.

奇异摄动系统；时滞系统；不确定系统；稳定性分析；线性矩阵不等式；Lyapunov－Krasovskii泛函

考虑非线性时变时滞不确定控制系统模型：

其中f，g∈Rn是满足f（0，t）＝0，g（0，t）＝0的未知时变非线性函数，表示模型中的参数摄动或不确定性，满足如下线性限定条件：

其中α，β是已知的正常数界，其他条件与文献［5］中的相应系统相同.

引理1［6］假设X，Y为定常实矩阵，则

其中Q＞0为对称正定矩阵.

引理2［6］设X，Y为向量，则式（3）变为

特别地，当Q＝ε时，矩阵不等式2XTY≤ε－1XTX＋εYTY成立.

1 主要结果

取f（x（t），t）＝（A＋DFE1）x（t），g（x（t－d（t）），t）＝（Ad＋DFEd）x（t－d（t）），＝0，＝0，则系统（1）变为如下线性系统：

其中P＞0，Q＞0，P1＞0，P2＞0是适当维数的正定矩阵.则V（xt）即为正定的Lyapunov－Krasovskii泛函.将V（xt）沿系统（5）的轨迹微分，得

“＊”表示对角位置处矩阵的转置，

为消除不确定性，将式（9）进行如下变换：

其中：Π＝P（A＋Ad）＋（A＋Ad）TP＋Q＋τ（λ1α＋λ2β）I；Σ＝P（DFE1＋DFEd）＋（DFE1＋DFEd）TP.

由文献［5］中引理4.1知，存在η＞0，使得矩阵不等式M＜0，等价于

式（10）对于变量P，Q，λ1，λ2和是线性的，即为式（7）.证毕.

在系统（5）中，令E1＝0，Ed＝0，得：

推论1 系统（5）是渐近稳定的当且仅当存在对称正定矩阵Q＞0，P＞0及常数λ1＞0，λ2＞0和~η＞0，使其满足矩阵不等式：

此即为正常系统的稳定性条件［8－9］.

此外，在条件（8）中，令P1＝0，P2＝0，即得相应的时滞独立稳定性判据：

定理2 如果存在对称正定矩阵Q＞0，P＞0及常数λ1＞0，λ2＞0和~η＞0，满足下列矩阵不等式：

则系统（5）是渐近稳定的，其中：“＊”表示对角位置处矩阵的转置；

综上所述，本文研究了一类带有时变时滞不确定线性系统的鲁棒稳定性问题.采用Newton－Leibniz公式［8］，将离散时滞转变为分布时滞.通过构造一种新的Lyapunov泛函，应用引理2的放大方法，得到一种新的时滞依赖和时滞独立稳定性判据.该方法对系统不确定性的限制结构更具体，对加权矩阵的特殊选取使得鲁棒稳定性判据描述为线性矩阵不等式形式.与文献［6，9］相比，具有一定的优越性和可行性.该方法不需要系统分解和降阶技术，所得结果均用线性矩阵不等式形式给出，可利用现有优化方法对求解相关问题［9－12］提供理论参考，该方法也适用于标准和非标准情形下时滞系统的稳定性研究.

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（责任编辑：赵立芹）

Stability Analysis of Linear Time－Delay Control System

SUN Fengqi
（College of Mathematics，Jilin Normal University，Siping136000，Jilin Province，China）

The author considered the stability problem of linear singularly perturbed systems with time－delay.Under the norm bounded uncertain matrix constraints，a new sufficient stability criterion was proposed by Lyapunov stability theory and matrix analysis method.This method is expressed in terms of linear matrix inequalities that does not require the system decomposition and reduction technique.Thus，the method is simple and feasible，which can be applied to both standard and nonstandard singularly perturbed systems with time－delay.

singularly perturbed systems；time－delay system；uncertain system；stability analysis；linear matrix inequality（LMI）；Lyapunov－Krasovskii functional

O232

A

1671－5489（2014）04－0709－06

0 引言与预备知识

随着被控制对象复杂性程度的逐步提高及控制技术的不断发展，对控制精确性的要求也越来越高.系统能否正常运转取决于系统的稳定性状态，而各种方法推导出的稳定性判据，其优越性程度是决定系统稳定的重要因素.

对于线性时滞系统控制问题的研究目前主要有两种方法：频域法和时域法.频域法需要系统分解和降阶技术，或采用较复杂的Riccati方程去近似求解，只能解决定常系统的鲁棒性问题，而对于不确定系统的稳定性研究具有很大的局限性.时域法也称为状态空间法，即用Lyapunov稳定性理论研究系统的绝对稳定性［1－3］，由于对不同Lyapunov泛函的选取决定最终稳定性条件的保守性大小，所以如何寻找新的稳定性判据、改善稳定性条件及降低系统保守性是本领域研究的重点.文献［3］给出了时滞系统的保性能鲁棒稳定性问题，但未涉及到时变时滞的情形；文献［4］给出了一类具有多个时变时滞的非线性系统的保性能鲁棒稳定性问题，但未同时考虑系统的不确定性.本文采用矩阵分析方法，利用Lyapunov稳定性理论，给出一种新的鲁棒稳定性判据，所得结果均可转化为线性矩阵不等式（LMI）的形式.

10.13413／j.cnki.jdxblxb.2014.04.13

2013－12－20.

孙凤琪（1968—），女，汉族，博士，教授，从事时滞奇异摄动控制系统稳定性的研究，E－mail：jlsdsfq＠163.com.

高校基本科研项目基金（批准号：N100406010）.