均匀圆型声矢量阵的四元数二维波达方向估计

李晓青, 赵亚卫, 李新波, 单泽彪, 杨志刚, 石要武(吉林大学 . 通信工程学院; . 机械工程与科学学院, 长春 130022)



均匀圆型声矢量阵的四元数二维波达方向估计

李晓青a, 赵亚卫b, 李新波a, 单泽彪a, 杨志刚b, 石要武a
(吉林大学 a. 通信工程学院; b. 机械工程与科学学院, 长春 130022)

为提高声场空域中目标参数估计的精度, 将四元数理论应用于均匀圆型声矢量阵列的二维空间角度估计中, 建立了基于四元数模型的信号接收模型, 推导了圆型声矢量阵的四元数导向矢量, 给出了二维波达角估计的四元数域空间谱算法。考虑算法的软硬件可实现性, 理论分析了算法的内存占用空间和计算量。此外, 分析了圆阵半径对侧向性能的影响, 为实际工作中圆阵的半径选取提供了一定的依据。仿真结果表明, 基于四元数模型的MUSIC(Multiple Signal Classification)算法的分辨力较高, 抗干扰能力较强, 提高了信号参数估计的精度。

波达估计; MUSIC算法; 四元数; 均匀圆阵; 声矢量传感器

0 引 言

声矢量传感器作为一种新型的水声测量设备, 其应用领域广泛, 加之其所特有的输出特性, 使声矢量传感器信号处理技术成为水声界备受关注的研究之一[1]。声矢量传感器的很多优点不仅在于它的多维输出特性, 还在于其输出分量之间的内在关系。已有的声矢量传感器阵列信号处理方法都是基于长矢量模型, 没有考虑矢量传感器内部各个天线分量的垂直关系, 而是简单地将所有分量的输出数据排成一个列向量, 以矩阵的形式对观测数据进行处理。因此, 破坏了各分量输出数据所具有的矢量垂直关系, 没有利用各输出分量之间内在的关联性, 有一定的局限性[2]。可见, 有效利用传感器各分量间的关联性仍是个有待深入研究的问题。

长矢量模型没有考虑传感器输出分量之间的关联关系, 而四元数模型能很好地体现这一点。四元数所特有的四维超复数正交结构能保证矢量传感器输出分量间的正交关系, 为矢量传感器信号处理提供了一种新思路。随着四元数理论的发展, 四元数理论在阵列信号处理[3-8]、 图像处理[9,10]等方面有了很大发展。研究表明, 四元数具有较强的正交性约束能力, 用四元数描述声矢量传感器输出的各个分量, 其抗干扰能力较强, 空间分辨力也更高。

在波达方向估计问题中, 均匀圆形阵列是一种中心对称阵列, 与其他平面阵相比, 圆阵有很多优点, 如分辨率与方向无关, 方向图在阵列平面旋转时, 波束的形状不会有明显的改变, 可同时估计方位角与俯仰角等[11,12]。由于圆阵的特性, 使基于圆阵的阵列研究成为研究者关注的一个热点。

针对以上问题, 笔者研究了基于均匀圆阵型的声矢量传感器二维DOA(Direction of Arrival)估计问题, 提出的四元数MUSIC方法利用输出分量间的正交关系, 有效实现了阵列接收信号的波达参数估计。此外, 四元数模型还能有效地降低计算量与存储空间。

1 四元数

Hamilton于1843年提出了四元数的概念[13], 它由1个实部和3个虚部构成, 并且3个虚部间满足一定的转换关系。四元数的表示形式如下

虚部间的转换关系为

四元数的全体称为四元数集, 记为H。四元数的运算法则及性质与复数类似, 但四元数的乘法不满足交换律。由式(1)可看出, 四元数的数据表达形式更“紧凑”, 一个四元数包含4个分量, 使其能在一个运算中包含更多信息。

2 均匀圆阵四元数模型

图1 圆阵型声矢量传感器阵列分布Fig.1 Distribution of circular acoustic vector sensor array

均匀圆阵采用中心原点处存在阵元的形式,如图1所示。其中一个阵元位于圆阵的圆心(坐标原点)处, 其余的M个阵元均匀地分布于一个半径为R的圆周上, 从X正半轴的阵元开始沿逆时针方向依次标记为阵元1,…,M, 则坐标表示为{Rcos(mφ),Rsin(mφ),0}, 其中m=1,…,M,φ=2π/M为圆周上相邻两个阵元的间隔角。

忽略噪声影响, 在t时刻, 第n个声源在第m个阵元上产生的输出用四元数表示为

式(4)与文献[3,4,5,14]等描述的阵列输出四元数模型是一致的, 但已有的四元数模型没有考虑阵列导向矢量的四元数特性, 故笔者重点分析了圆阵阵元相位差及导向矢量的四元数形式。设位于坐标原点的阵元为参考阵元, 记为第0个阵元, 第m个阵元在坐标系中的坐标为{Rcos(mφ),Rsin(mφ),0}, 第n个声源作用在第m个阵元相对于参考阵元的波程差表示为四元数形式为

则

按照欧拉公式展开, 可得

则第n个声源的圆阵导向矢量可表示为四元数形式

声矢量传感器阵列的四元数导向矢量矩阵为

阵列的四元数输出为

3 Q-MUSIC方位谱估计

将式(3)代入式(4), 有

其中

定义一种新的导向矢量

可见,b(Θn)为四元数矢量。式(9)可表示为

接收数据的协方差矩阵为

对式(14)中的R进行四元数奇异值分解, 可得

其中四元数矩阵U1∈Q(M+1)×N,G=Q(M+1)(M+1-N), 分别为由N个大特征值对应的特征矢量构成的信号子空间和由剩余的M+1-N个特征值对应的特征矢量构成的噪声子空间。

定义噪声投影矩阵ΠN=GGH∈QM×M, 则四元数MUSIC算法的谱估计公式为[7]

4 性能分析

参数估计算法实际的计算量和存储量受到具体的软硬件、 实现方法和阵列模型等条件的综合限制, 因此, 笔者着重分析了所提算法应用在均匀圆阵的存储空间和计算量问题[14,15]。

4.1 存储分析

设一个声源入射到由M个声矢量传感器组成的均匀圆型阵列上, 入射信号参数包括俯仰角和方位角, 阵列的导向矢量为四元数模型, 不考虑噪声对计算量的影响, 则在采样时刻t, 阵列输出信号的四元数表达式和对应的协方差矩阵分别记为Yq(t)和Rq, 接收信号的长矢量表达式和方差矩阵分别记为Yl(t)和Rl。因为Yq(t)∈QM×1,Yl(t)∈C4M×1, 所以

阵列输出具有如下表达式形式

其中Ai(Θ)为导向矢量矩阵的表示符号。

阵元接收数据的有限长度, 设快拍数为L, 则Rq和Rl的估计值可表示为

4.2 计算量分析

表1给出了四元数模型与长矢量模型的对比结果, 四元数模型对存储器的操作以及计算量均比长矢量模型有减少很多, 尤其在快拍数很大时, 四元数模型的这些优点使声矢量传感器DOA估计算法的具体实施的计算量以及存储器的操作次数明显减少, 当快拍数很大时, 更为突出。这也体现了四元数表示方法更“紧凑”这一特点。

表1 四元数模型与长矢量模型的比较

5 仿真实验

实验1 四元数MUSIC算法对多声源DOA估计实验。实验中, 均匀圆阵列由9个阵元组成, 传播介质为水； 背景噪声为零均值的高斯白噪声； 快拍数为1 024。两个待测声源信号的入射角分别为(30°45°),(50°35°),两个声源的载波频率分别为f1=200 Hz,f2=250 Hz, 声速为c=340 m/s, 信噪比RSNR=5 dB。为了使两相邻阵元的间距为λ/2, 由三角形知识, 圆阵的半径R满足R=λ/(4sin(π/8)), 本实验中R≈0.65λ。

实验1的仿真结果如图2和图3所示。可见, 笔者提出的四元数MUSIC算法能成功分辨出两个入射声源信号的入射角度, 四元数MUSIC算法仿真图形的峰值与分辨力都优于传统的V-MUSIC算法。

a 三维图 b 等高线图

a 三维图 b 等高线图

实验2 四元数MUSIC算法在不同信噪比条件下对入射声源信号DOA估计性能实验。实验采用第1个声源, 信噪比RSNR在-5～10 dB之间变化, 变化步长为1 dB, 进行100次独立的蒙特卡洛实验。采用联合均方根误差作为评判准则, 其中联合均方根误差公式如下

笔者提出的四元数MUSIC算法的估计误差明显小于矢量MUSIC算法的估计误差(见图4), 并且在信噪比较低时尤为明显, 这说明四元数模型在低信噪比的噪声环境中抗干扰能力更强。

实验3 均匀圆阵的四元数MUSIC算法性能与半径变化的关系实验。

本实验中, 半径的选择方法如下： 当两相邻阵元的间距为λ时, 对应的半径满足R1=λ/(2sin(π/8)) ≈1.31λ。当两相邻阵元的间距为λ/2时, 对应的半径满足R2≈0.65λ。采用实验2的实验条件, 信噪比RSNR取0, 半径从0.5λ～1.31λ变化, 步长为0.1, 进行100独立蒙特卡洛实验, 均方根误差仍采用式(20)进行评判。

所得结果如图5所示, 均匀圆阵的半径变化对四元数MUSIC算法性能影响较大, 联合均方根误差随着半径的增大而减少, 四元数模型的均方误差较小, 说明四元数模型具有较好的抗噪性能。在标量阵列中, 为了保证算法的分辨性能, 往往假设阵元间距不大于处理最高频率信号波长的二分之一。而在均匀圆矢量阵中, 相邻两阵元的间距并不受假设约束。半径越大, 估计效果越好, 但综合考虑到伪峰影响等因素, 半径不能随意取定。

图4 均方根误差实验Fig.4 RMSE of DOA versus SNR

图5 半径与均方根误差的关系(RSNR=0)Fig.5 Relationship between radius and RMSE

6 结 语

笔者研究了四元数理论在均匀圆型声矢量阵的二维波达参数估计中的应用, 建立了四元数导向矢量模型和四元数输出模型, 并将模型与MUSIC算法结合应用于均匀圆阵型。分析表明, 四元数模型所需的存储空间及运算操作明显减小, 并且仿真结果表明, 与传统MUSIC算法相比, 笔者提出的Q-MUSIC算法其分辨力较高, 抗干扰能力较强； 此外, 分析了圆阵半径对算法性能的影响, 均匀圆阵半径的确定同均匀线阵中的原则不同, 为实际工作中圆阵的半径选取提供了一定的依据。

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(责任编辑： 张洁)

Two-Dimensional DOA Estimation Using Quaternion Based on UCA of Acoustic Vector Sensor

LI Xiaoqinga, ZHAO Yaweib, LI Xinboa, SHAN Zebiaoa, YANG Zhigangb, SHI Yaowua
(a. College of Communication Engineering; b. College of Mechanical Engineering and Science, Jilin University, Changchun 130022, China)

In order to improve the accuracy of target parameter estimation, the quaternion theory was applied to the two-dimensional DOA (Direction of Arrival) estimation of the uniform circular acoustic vector array. Receiving signal model based on the quaternion model was established, quaternion vector was deduced, and a quaternion field spatial spectrum estimation algorithm was presented. Considering software and hardware of algorithm realization, theoretical analyses show that the required storage space and computing operations of the quaternion model significantly decrease, and the simulation results show that the proposed MUSIC (Multiple Signal Classification) algorithm has higher resolution, stronger anti-jamming capability and the improved accuracy of the signal parameter estimation.

direction of arrival (DOA) estimation; multiple signal classification (MUSIC) algorithm; quaternion; uniform circular array (UCA); acoustic vector sensor

1671-5896(2014)05-0451-07

2014-03-28

国家自然科学基金重点资助项目(51075175; 51375207); “863”高技术研究发展计划基金资助项目(2011AA040406); 吉林省青年科研基金资助项目(20140520064JH)

李晓青(1989— ), 女, 河北邢台人, 吉林大学硕士研究生, 主要从事阵列信号处理研究, (Tel)86-13654364163(E-mail)595270@163.com;

李新波(1980— ), 男, 吉林省吉林市人, 吉林大学讲师, 主要从事阵列信号处理研究, (Tel)86-13604312160(E-mail)cinple@126.com; 石要武(1954— ), 男, 长春人, 吉林大学教授, 博士生导师, 主要从事信息处理与智能控制研究, (Tel)86-13620781237(E-mail)13620781237@139.com。

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