有限与无限

萧伟光

阿基里斯能不能追上乌龟，这是古希腊哲学家们热衷讨论的一个命题。阿基里斯是一位跑得很快的英雄，现在要去追赶在他前面不远、行动十分迟缓的乌龟，结果似乎是毋庸置疑的。但是，爱利亚学派的代表人物芝诺却说：“不能。”且听他的推理——假设赛跑开始的时候，乌龟在阿基里斯前方100米，并假设阿基里斯的速度是乌龟爬行速度的10倍。当阿基里斯跑了100米到达乌龟原来所在的位置时，乌龟已又向前跑了10米。当他再跑完10米去追赶乌龟时，发现乌龟还在他前面1米。他再跑1米，乌龟还在他之前10厘米。如此下去，阿基里斯似乎只能一次次到达乌龟所经过的地点，而永远也追不上乌龟。

这个看似荒谬的推论，引起了从亚里士多德到黑格尔等无数科学家、思想家的热切讨论。

事实上，从纯数学的角度来看，芝诺的推论是没问题的，因为任何两点之间都有无数个点，微积分只是从理论上描述了这个现象，至于宇宙为什么如此，这是数学解释不了的，也不是数学的任务。量子物理则证伪了这个悖论——因为时间和空间不是无限可分的，所以芝诺的时空概念是不成立的，阿基里斯一定追得上乌龟。

数学和物理学各有所长，但建立在科学基础上的哲学却综合了二者之长。以“哲学眼”去看待这个悖论，似乎能给人以另一重启迪：无限并不遥远，有限之中蕴含着无限。佛说“一花一世界，一叶一如来”，儒家讲“人人有一太极，物物有一太极”，“太极”就是普遍存在的“理”，这个“理”不是死物，而是生生不已的。南宋大儒朱熹有云：“如一粒粟生为苗，苗便生花，花便结实，又成粟，还复本形。一穗有百粒，每粒个个完全；又将这百粒去种，又各成百粒。生生只管不已，初间只是这一粒分去。”倘深明此理，则瞬间即含永恒，当下即可圆满，何必焦虑而辛苦地向外寻求！现代人追求数量却忘了质量，追求通向幸福的工具却忘了生活本身，何尝不是自寻烦恼呢！明乎此，儒释道的经典方有入处，不然，可能处处不通。

有限之心无以把握无限之理，举个数学上的例子来讲：

S=1-1+1-1+1-1……

这个无穷的数列，结果是多少？

有人说，这还不简单，结果是0，因为每两项一组，每一组都是0，无穷个0相加，结果自然也是0；也有人说，不对，结果应该是1，因为把第一项独立出来，后面每兩项一组，每一组都是0，1与无穷个0相加，结果自然应该是1；还有人说，结果应该是1/2，因为上面的等式可以改写作S=1-（1-1+1-1+1-1……）=1-S，移项，于是就得出S=1/2。

似乎都有道理。究竟孰是孰非？这个代数式如何计算，连被尊为“数学家之英雄”的瑞士数学家欧拉也犯下过错误。

事实上，根据无穷级数理论，此式没有结果。习惯了1+1=2这类精确数学、“有限”数学的人一定郁闷了：怎么可能存在没有结果的“无限”算式呢！

数学从有限发展到无限，是人类思维方式的巨大飞跃。哲学又何尝不是如此。“孔子登东山而小鲁，登泰山而小天下。”站得高才能看得远；牛顿说，自己之所以取得成就是因为“站在巨人的肩膀上”。我们后人动不动援引之，却不晓得，自己可能连巨人的膝盖都没碰着，遑论肩膀；连东山都没有爬上去，就自以为登上了泰山。有些东西是可以在前人基础上积累的，有些东西却“如人饮水，冷暖自知”，比如心胸与境界。

（邱宝珊摘自《光明日报》2013年11月13日）