两千年前的计算工具

杨旎

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算表的计算方法

《算表》通过竹简交叉构成21行、20列，行、列交叉再形成400余个长方格，由此可分为3个功能区，包括乘数和被乘数的个位、十位区，引线区及运算结果区。《算表》按照十进制运算。就乘法而言，若要计算时，只需用孔中穿出的引线横平竖直把相关的乘数与被乘数联系在一起（按乘法对加法的分配律，个位数与十位数分别引线），再将诸线在结果区交叉点上的数字加在一起，即是最后的运算结果，便利快捷。

人们从数学产生之日起，便不断寻求能方便进行计算的工具。因此，计算和计算工具是息息相关的。两千多年前，中国没有算盘，更没有计算器，当时的人创造了哪些计算工具和计算方法呢？近几年的考古发现为我们揭开了谜底。

2300年前的实用算具

今年1月7日，清华大学所藏清华简第四辑整理报告发布，其中《算表》文献有2300年历史，它可做乘法、除法和开方，被称作“中国数学史乃至世界数学史上的一项重大发现”。

考古学家在最初整理清华简时，就注意到有几支书简比较特别：形状上显得比较宽大，且上部有红色横线，非常显眼。这组竹简共有21支，保存相对完好，只有4支上部有部分残缺，残缺部分可以通过内容进行推理补全。其中有一支单独的竹简右侧都是钻孔，钻孔内留有丝织品的痕迹。经过收集整理之后发现，这几支竹简可以拼接成一个带有数字的表格。表格分为21行、20列，分为乘数和被乘数个位、十位区，将复杂的乘法转变为简单的加法，还可用于除法运算和开方运算。经对同批竹简的碳-14测定及自身的文字特征判断，确定《算表》形成于公元前305年左右，是目前所见到的我国最早的数学文献实物。科学家经过研究，认为中国传统数学首个高潮应发生在春秋战国时期，而不是《九章算术》成书时的两汉。

2200年前九九表的发现

里耶秦简，2002年6～7月发现于湖南省湘

西土家族苗族自治州龙山县里耶镇里耶古城1号井，共36000多枚。主要内容是秦洞庭郡迁陵县的档案，包括祠先农简、地名里程简、户籍简等。在秦简中发现了我国最早、最完整的乘法口诀表。《管子》、《荀子》、《战国策》等先秦典籍中，都提到过“九九”，但实物还是首次发现。乘法口诀表位于1号井的第6层，简文中“三五十五，二五而十”和“三八廿四，二八十六”等口诀清晰可见，简牍正面文字是九九乘法口诀表，文末还记录有“凡千一百一十三字”，系九九乘法口诀表中各数乘积之和。

乘法口诀，是启蒙儿童必须背诵的数学运算基本工具。而2200年以前的乘法口诀表，竟与现今生活中使用的乘法口诀表有着惊人的一致，它给世界算术史的研究提供了一个珍贵的实物资料。其中，古人的乘法口诀表里还涵盖了二分之一这样的分数运算，这是不同于现代教科书的地方。秦简也改写了世界数学发展史，西方最早的乘法口诀表是在1600年前发现的，这就说明我们中华民族发明乘法口诀表比西方早了600多年，灿烂的中华文明再一次得到了有力的证明。

中国春秋时代就出现了“算筹”

在算盘发明以前，中国古代使用一种十进制计算工具，它起源于商代的占卜。但据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年（公元前722年～公元前221年），一直到算盘发明推广之前都是中国最重要的计算工具。1972年8月，在陕西省宝鸡市千阳县西郊的西汉古墓中，发现了一小堆长短一致、粗细相同的鸡腿骨。经考证，这些鸡骨就是当时的计算工具——算筹。

古代筹、策、算三字都带竹头，表示用竹制成。根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13～14厘米，径粗0.2～0.3厘米，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。别看这些都是一根根不起眼的小棍子，在中国数学史上它们却是立有大功的。而它们的发明，也同样经历了一个漫长的历史发展过程。

在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的，其中1～5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6～9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。这种计数法遵循十进位制。算筹计数法是世界上最早的十进位值制计数法，在中国广泛应用达两千余年。

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考古发现的古代数学工具

半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。

数学在中国历史久矣。在殷墟出土的甲骨文中有一些是记录数字的文字，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万；司马迁的史记提到大禹治水使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”；据说《易经》还包含组合数学与二进制思想。

真正意义上的中国古代数学体系形成于自西汉至南北朝的三四百年期间。《算数书》成书于西汉初年，是传世的中国最早的数学专著，它是1984年由考古学家在湖北江陵张家山出土的汉代竹简中发现的。《周髀算经》编纂于西汉末年，它虽然是一本关于“盖天说”的天文学著作，但是包括两项数学成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”——这是中国最早关于勾股定理的书面记载）；（2）测太阳高或远的“陈子测日法”。

【责任编辑】蒲 晖