一类排队博弈的均衡分析

卢美华，方玲玲

(江西科技学院，330098，南昌)

一类排队博弈的均衡分析

卢美华1，方玲玲2*

(江西科技学院，330098，南昌)

扩展一般排队模型为经济排队模型，把博弈论方法嵌入到经典排队模型中来，分析了一类排队均衡。结合现实问题分析了排队博弈均衡的现实意义，对一些广泛存在于医疗排队和竞争问题给出了一些解决方法。

排队论；排队博弈；均衡分析

0 引言

自1910年A K Erlang提出排队论以来，经典排队论取得了丰硕成果，研究了各类到达和服务特征下队长、排队长、时间和费用等问题，并推进到应用层面上，广泛应用于计算机网络、生产经济、交通运输、库存等资源共享的随机服务系统。经济学上排队是分配稀缺商品、服务、资源的典型方法，由此，Naor[1]在1969年率先提出排队经济学(Economics of Queues)，研究了怎样管理和控制可视M/M/1排队系统的问题，Naor也发现可视排队系统中个体决策会背离预设社会整体利益最好的列队机制，预示策略性相机行为，这要求把博弈理论嵌入到排队系统中来。Lippman 和Stidham[2]较早分析了顾客间博弈行为(服务机构不参与博弈)。由此博弈嵌入排队系统形成排队博弈(Queueing Game)广泛的研究，见R Hassin[3]、B Nalebuff[4]、C Larsen[5]、Wei Sun[6]等工作。这些文献偏重于数理排队理论，考虑服务机构间的市场博弈更能深入实际，解释现实问题而不仅是数理推导。

考虑现实问题，广泛的服务机构处于竞争市场，顾客具有差异性偏好。例如，医疗市场显然是竞争的，就我国医疗系统而言，为何广泛的顾客集中到省级医院而县级医院却业务量十分稀少(除去经济和医疗技术方面的原因，某些竞争策略也是重要根源)。事实上，一些常规疾病完全可以在县级医院得到优质的治疗，而到省城医院可能是过分的治疗。同时，我国医疗系统在身份上也差异化了顾客，公费/自费医疗、社保/医保医疗等，不同身份顾客在约束下具有偏好差异定位，也由此形成一些顾客没有得到应有的医疗服务。民航和铁路(高铁)提供了差异性交通服务，也构成服务机构的市场博弈。这类排队博弈广泛存在，顾客进入服务市场的机制却都可以用排队数理模型刻画。本文从多服务主体出发，在市场既定到达机制下顾客偏好均匀分布条件下，分析多服务主体间博弈策略和均衡，由此进入服务福利分析，并回到现实问题给出调节市场的政策建议。

1 基本Queueing Game模型设计

排除具体行业服务特性，本文假设顾客群体随机进入竞争性服务市场，市场有2家服务公司，是排队博弈的局中人集合g={i,j}，整个服务系统流程结构如图1刻画。

图1 排队博弈时序结构

顾客源有3个基本特征，在(0,t)时段内到达服务市场的顾客数服从泊松分布，其分布列为P{X=k} =(λt)kexp(-λt)/k!。顾客具有服务偏好异质定位x(作为顾客标号)，偏好定位可标准化映射到[0,1](称为偏好定位空间)，顾客偏好均匀分布在定位空间上，服务公司提供固定定位的服务(未必在顾客偏好x上)，由此顾客产生偏好的移动成本，一单位的偏好移动成本为d。顾客从服务中获得效用为a，排除服务价格p、排队期望成本g、偏好移动成本d后形成净效用函数U(p,g,d,g)，顾客净效用函数由这4个要素决定。

2个服务公司集合g={i,j}，设公司i提供服务位于偏好定位空间[0,1]的左端0上，公司j的服务定位于右端1上。pi、pj分别是2家公司服务的价格，同时i、j两公司分别为各自的服务能力承担成本ciμi、cjμj，ci、cj为2个公司提高服务能力的单位成本，i、j两公司服务顾客的时间分别为服从参数为μi、μj的负指数分布(μi、μj也是2个博弈公司单位时间内服务期望人数,它刻画着公司服务能力)。公司i、j承担服务能力的成本后，博弈分割服务市场的顾客流，λi、λj为公司i、j的净到达率，两公司服务顾客都运行M/M/1排队，都实行先到先服务(FCFS规则)。公司i、j可能依据不同博弈参数形成不同类型，如果公司i、j分担的顾客源没有重叠，则两公司是非市场争夺型；如果公司i、j分担的顾客源部分重叠，则两公司是市场争夺型。

顾客获取不同公司服务就进入不同的排队系统，设h为顾客在服务系统中耗时的单位成本，顾客进入公司i或j的排队期望成本分别为gi、gj，gi=h/(μi-λi)、gj=h/(μj-λj)，其中1/(μi-λi)、gj=1/(μj-λj)分别是公司i和j中顾客期望逗留时间(包括等待时间和服务时间)，μi=(h/gi+λi)、μj=(h/gj+λj)。为方便处理，特别利用子博弈简化方法，可以把顾客获取不同公司i、j的服务价格和排队期望成本合并为不同公司的总价格Ti、Tj，Ti=pi+gi、Tj=pj+gj(是顾客承担的总价格)。顾客x获取公司i、j的服务分别产生偏好移动成本di、dj，di=dx、dj=d(1-x)。

顾客x获取i公司服务的净效用U(p,g,d,g)简记为Ui(x,Ti)=a-Ti-dx。

顾客x获取j公司服务的净效用U(p,g,d,g)简记为Uj(x,Tj)=a-Ti-d(1-x)。

在非市场争夺型公司下，由Ui(x,Ti)=a-Ti-dx=0，确定x=(a-Ti)/d，偏好定位空间x左端全为公司i市场份额(份额为x)，从而公司i的顾客实际到达率λi=λ(a-Ti)/d。由Uj(x,Tj)=0,则a-Tj-d(1-x)=0，得x=1-(a-Tj)/d，偏好定位空间中x的右端全为公司j的市场份额(份额为1-x=y)，y=(a-Ti)/d。公司j的顾客实际到达率λj=λ(a-Tj)/d。非市场争夺型公司条件为x+y<1，此时到达市场某部分顾客并不去获取任何公司服务。

x+y>1下公司是市场争夺型，中位顾客xm满足Ui(xm,Ti)=Uj(xm,Tj)，中位顾客为xm=1/2+(Tj-Ti)/2d。由效用Ui(x,Ti)、Uj(x,Tj)的连续性，中位顾客xm左右两端分别为公司i、公司j的市场份额，此时公司i的顾客实际到达率λi=λxm；公司j的顾客实际到达率λj=λ(1-xm)；市场争夺型公司完全分担服务市场的顾客到达率。作为直接参与排队博弈的公司i、j，目标函数就是最大化单位时间上的服务期望利润,由基本模型设计，公司i的目标函数为Li(pi,μi)=λipi-ciμi；公司j的目标函数为Lj(pj,μj)=λjpj-cjμj。公司策略是配置服务能力和服务价格。

2 Queueing Game模型分析

顾客特征是决定服务市场的前件，如果一单位偏好移动成本d充分大，部分或全部顾客获取任何一个公司的服务后的净效用为负，从而不会寻求服务就离开市场。这就形成市场隔离，那么参与博弈的公司是非市场争夺型。

命题1：在d足够大的前提下，以至x+y<1，参与博弈的公司是非市场争夺型。

以上命题说明非市场争夺公司可以由服务系统的成本结构外生决定，但仍可由公司策略内生性形成非市场争夺。公司进行市场争夺，必须降低pi、pj，提高服务能力μi、μj以降低gi、gj，如果导致单位时间利润小于非市场争夺时利润时，公司会内生性选择非市场争夺。

给定公司j的总价格Tj，均衡分析先分析公司i的策略。公司i的顾客到达率由市场份额决定，为λi=λ(a-Ti)/d，服务能力成本为ciμi，由gi=h/(μi-λi)可得μi=λi+h/gi。

公司i面临问题：max(pi,μi)Li(pi,μi)=λipi-ciμi

s.t：(a-Ti)/d+(a-Tj)/d<1。

变换目标函数max(pi,μi)Li(pi,μi)=λipi-ciμi和约束(a-Ti)/d+(a-Tj)/d<1形式为：

max(pi,gi)Li(pi,gi)=(λ/d)(a-Ti)(Ti-gi-ci)-ci(λi+h/gi)

(1)

s.t：2a-d-Tj≤Ti≤a

maxLi(Ti)=(λ/d)[(a-Ti)(Ti-ci)-2(dhci/λ(a-Ti))1/2]

(2)

s.t：2a-d-Tj≤Ti≤a

式(2)中Ti=a仍然可以是最优解，因为Ti在约束区间上，式(2)可能全取到负值，而Ti=a公司i不会吸引任何顾客也不会承受成本，至少不会承受负利润。显然，式(2)中(a-Ti)(Ti-ci)关于Ti是严格凹的，dhci/λ充分大式(2)就不会正值。公司i内生地服务公司j全部的剩余市场，或选择Ti=a总价格，本质上都是最大化问题取到“角点解”而已，由此可得以下命题。

命题2：有竞争力的服务价格可提高公司市场份额，大市场份额扩大顾客排队期望成本，服务价格和排队期望成本策略互补，如果任何一个公司最大化单位时间利润可能取到角点解，那么2个公司是内生非市场争夺型的。

考察公司i最优单位时间利润问题的内点解，式(1)仍然适用逆向归纳方法，第一次优化策略是固定Ti条件下公司选择最优的gi，实际上就是确定服务价格和服务能力的配置关系，然后考察单位时间利润对Ti的反应，只需考察式(2)对Ti导数。

∂Li(Ti)/∂Ti=(λ/d)(a-2Ti+ci+(dhci/λ)1/2/(a-Ti)1/2)

(3)

(4)

由式(4)可确定Li(Ti)关于Ti的凹凸区间，凹区间为[2a-d-Ti,a-(dhci/16λ)1/3]，凸区间为[a-(dhci/16λ)1/3,a]，虽然式(3)并不能解出最优单位时间利润问题的显式内点解(Wei Sun2010年以及其他广泛的排队文献的数值模拟方法求解)，但可直接验证凸区间上不存在最优解。所以，若式(2)有最优内点解，则内点解是凹区间内唯一的。

命题3:由式(2)界定的内生非市场争夺型服务公司在策略排队中，若存在内点解，则内点解唯一。由于公司非市场争夺，所以公司服务的总价格由顾客的市场特征决定，但公司仍然具有配置服务价格和服务能力之间的策略选择。

以上推导中，如果2个公司服务成本对称，那么均衡策略中价格相等，总服务价格也相等，2个公司平分市场，可以发现(2hci/λ)1/2正是公司服务每个顾客的成本中的能力空置成本。

市场争夺策略依赖于服务价格和服务能力，2个公司自然市场部分重叠就是x+y>1，x=1-(a-Tj)/d<(a-Ti)/d=x,存在中位顾客xm,x=1-(a-Tj)/d

max(pi,μi)Li(pi,μi,Tj)=λipi-ciμi=piλxm-ci(λxm+h/gi)

s.t： max{y,0}

同样，公司i先配置服务价格和服务能力，为此，把最大化单位时间上期望利润处理为：

max(Ti,gi)Li(Ti,gi,Tj)=(λ/2d)(Ti-gi-ci)(Tj-Ti+d)-hci/gi

s.t： max{Tj-d,0}≤Ti≤min{2a-Tj-d,Tj+d}

max(Ti)Li(Ti,Tj)=(λ/2d)[(Ti-ci)(Tj-Ti+d)-2(dhci(Tj-Ti+d)/λ)1/2]

(5)

s.t： max{Tj-d,0}≤Ti≤min{2a-Tj-d,Tj+d}

上式约束中，约束区间非紧，可能导致最大值不存在，但无论Ti→2a-Tj-d或Ti→Tj+d，公司i都逐步退出全部市场，可退化为非市场争夺型，Ti→Tj+d所有市场都暴露在竞争之下，左端点顾客从公司i获得净效用逼近于从竞争公司中获得的效用a-(Tj+d)；而Ti→2a-Tj-d时，左端点顾客从公司i获得净效用a-Ti-dx=a-(2a-Tj-d)=Tj+d-a将在更早退出公司i的服务。公司i以Tj-d为总价格会和竞争公司所有市场重合。考察式(5)的内点解，式(5)对Ti的两阶偏导数为：

∂Li(Ti,Tj)/∂Ti=(λ/2d)(Tj-2Ti+d+ci+(2dhci/λ)1/2/(Tj-Ti+d)1/2)

(6)

(7)

式(7)说明式(5)的目标函数对Ti是可划分凹凸区间的。可直接验证凸区间不存在最优解，凹区间为[max{Tj-d,0}，min{2a-Tj-d,Tj+d-1/2(dhci/λ)1/3}]。若式(5)存在内点解，则内点解必在凹区间上唯一。

命题4：由式(5)界定的市场争夺型服务公司在策略排队中，若存在内点解，则内点解必在凹区间上唯一的存在。由于公司市场争夺，公司服务的总价格由市场特征和竞争公司的总价格决定。公司首先配置服务价格和服务能力，可能在凸区间退化为非市场争夺型。

由两单个公司的策略组合成排队博弈的策略对，一组Nash均衡策略是({pi,gi},{pj,gj})取值——给定对方策略取值后任何公司不会单方面改变策略取值。由于价格和时间等待成本是同等地进入顾客的效用函数，这里排队博弈只需分析总价格，本质上这是子博弈分析方法。在既定的总价格下，公司配置服务价格和服务能力不会改变外部顾客和竞争公司的行为，并且服务价格和服务能力的最优配置方式是唯一的。由以上4个命题可得如下。

命题5：在d足够大条件下，x+y<1，基本排队博弈存在唯一Nash均衡策略；在其他情况下，总价格表述的排队博弈存在Nash均衡策略，那么原排队博弈存在Nash均衡策略；总价格表述的排队博弈Nash均衡策略唯一，那么原排队博弈Nash均衡策略唯一。无论λi=λ(a-Ti)/d，λj=λ(a-Tj)/d或λi=λxm、λj=λ(1-xm)(其中xm=1/2+(Tj-Ti)/2d)都是关于Ti和Tj的连续可微函数，经过服务价格和服务能力最优配置后的利润在广泛的情况下都在存在最大值，排队博弈的Nash均衡策略存在，并且都在相应的凹区间上唯一存在。

在一些极端参数下不存在Nash均衡策略，也在部分可视排队下，公司类型确定后存在策略均衡，G P Cachon和P T Harker(1999)给出了各种参数条件下的给种类型均衡存在性。由于具体参数并不能总显式解出具体的均衡策略，但广泛的文献都给出了均衡策略的仿真。而分析这些均衡结果的经济根源就显得尤其重要。

3 结论和政策建议

排队博弈的结论解释了一些排队竞争中广泛特异现象。在社会福利水平上，非市场争夺型可能存在部分顾客得不到服务，而市场争夺性公司会服务整个市场，说明市场争夺提高了社会总福利水平。这也解释了当前我国医疗体制下为何一

些顾客不能获得医疗服务，虽然同一城市的医院处于市场争夺中，但不同区域的医院(特别是县级医院)是处于市场隔离的，所以一些县级医院没有动力提高服务水平。由基本模型中角点最优解可知，即使是政府投入较多公共资源，县级医院也面临严重的公共医疗任务，仍然会选择不提高服务能力的边界策略。由内点均衡在凹区间存在的唯一性可知，排队博弈均衡具有一定稳定性。由于顾客的偏好定位，几乎没有顾客愿意下沉到县级医院获取医疗服务，而是一致上浮到省级医院形成拥挤和过度医疗，这一现象仍将广泛存在。而改变这一局面在改变顾客偏好定位，克服过度医疗，医院用特殊分流和适应顾客定位，设置各类层次的医院，特别是设置各类特色和特长的专科医院。同时政府应保障基础医疗，放开自我需求性医疗，形成良好的社会办医局面。

[1] Naor P.The regulation of queue size by levying tolls[J].Eeonometriea,1969,37:15-24.

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EquilibriumAnalysisofaClassQueuingGame

LU Meihua1,FANG Lingling2*

(Jiangxi University of Technology,330098,Nanchang,PRC)

This paper extends the general queuing model for economic queuing model.The game theory approach is embedded into classical queuing model to analyze some queuing game′s equilibrium.This paper analysis queuing equilibrium and practical significance,combined with practical problems,some solutions is gived for some wide issues in the medical queuing and competition.

queuing Theory;queuing game;equilibrium analysis

2014-09-01;

2014-10-15

卢美华(1978-)，女，理学硕士，讲师，主要研究运作理论、模糊数学、控制理论。

江西科技学院高等数学精品课程建设阶段成果(编号:KC0801)；江西省考试院十二五规划课题资助项目“排队论模型及应用的研究”(编号:1360)。

*通讯作者：方玲玲，女，讲师，硕士，研究方向：运作理论、模糊数学、控制理论。

10.13990/j.issn1001-3679.2014.06.023

O225

A

1001-3679(2014)06-0850-05