Zp2上一类线性循环码

2014-09-07樊玉环王秀兰

黑龙江工程学院学报 2014年1期

关键词：哈尔滨工业大学数学系玉环

樊玉环，王秀兰

(1.黑龙江工程学院数学系，黑龙江哈尔滨 150050;2.哈尔滨工业大学数学系，黑龙江哈尔滨 150001)

Zp2上一类线性循环码

樊玉环1，王秀兰2

(1.黑龙江工程学院数学系，黑龙江哈尔滨 150050;2.哈尔滨工业大学数学系，黑龙江哈尔滨 150001)

循环码;Zp2-循环码；Zp-循环码；Gray映射；Nechaev-Gray映射

1 预备知识

对任意的a∈Zpk+1，a可以唯一表示成a=r0(a)+pr1(a)+…+pkrk(a)，其中ri(a)∈Zp，0≤i≤k。

令n′是{1,2,…,p-1}中唯一满足nn′≡1mod(p)的整数，β=1+n′p∈Zp2。对任意的正整数i，βi=1+in′p∈Zp2。

引理1.1[7]令(n,p)=1，则φμβ=π⊗pk-1φ。

令ψ=π⊗pk-1φ，则ψ被称为Nechaev-Gray 映射。

如果u=(u0,u1,…,un-1)∈Rn，v=(v0,v1,…,vn-1)∈Rn，定义u×v=(u0v0,u1v1,…,un-1vn-1)；若U和V是Rn的两个子集或者R[x]中次数不超过n的两个多项式集合，定义U×V={u×v/u∈U,v∈V}。

引理1.2[7]令C1和C2是Fp中的两个长度为奇数n的线性循环码，则C=C1+pC2是Zp2-线性的当且仅当C1×C2⊆C2。

引理1.3[7]如果a(x)，b(x)，c(x)，A(x)，B(x)，C(x)及A′(x)，B′(x)，C′(x)如前面所定义，若存在e(x)∈Fp[x]使得xn-1=(bc⊗c)(x)e(x)，则

2)若1)中任意一条成立，则φ(C′)及ψ(C0)是Fp-线性循环码，长度为pn且由a(x)pb(x)p-1c(x)p-2生成。

引理2.1如果f(x)=r(x)+pq(x)，r(x),q(x)∈Fp[x],f(x)∈Zp2[x]，则

引理2.2[7]对任意的r(x),s(x)∈Zp[x]，有φ(r(x)+ps(x))=(xn-1)p-2[s(x)(xn-1)⊕(p-1)r(x)xn]。

证明：由引理1.1和引理2.1

ψ(f(x))=φμβ(f(x))=φ(f(βx))=

又由引理2.2得

ψ(f(x))=(xn-1)p-1q(x)⊕

(p-1)r(x)xn(xn-1)p-2.

|C|=|C1||C2|=p2dega(x)+degb(x)=

|a(x)pb(x)p-1c(x)p-2|.

又由ψ是双射知

|ψ(C)|=|a(x)pb(x)p-1c(x)p-2|.

因此，只需要证明

令f(x)=λ(x)a(x)b(x)+pμ(x)a(x)=r(x)+pq(x)，其中λ(x),μ(x)∈Ap(n)，q(x)=μ(x)a(x)，r(x)=λ(x)a(x)b(x)。由引理2.3 得

ψ(f(x))=φ(f(βx))=(xn-1)p-1μ(x)a(x)⊕

(p-1)λ(x)a(x)b(x)xn(xn-1)p-2=

(a(x)b(x)c(x))p-1μ(x)a(x)⊕

nn′(p-1)λ(x)a(x)b(x)xn(xn-1)p-2.

又由于

nn′(p-1)λ(x)a(x)b(x)xn(xn-1)p-2=

所以，

ψ(f(x))=a(x)pb(x)p-1c(x)p-2[μ(x)c(x)⊕]

(|q|q⊕r|…|q⊕(p-1)r|)在映射ψ下的像是 (q,q⊕r,…,q⊕(p-1)r)，这是长度为pn的p进制线性码。下面证明：长度为pn的任意p进制线性循环码是(|q|q⊕r|…|q⊕(p-1)r|)在映射ψ下的像。

引理2.6在Zp[x]中，1+xn+x2n+…+x(p-1)n=(xn-1)p-1和xn+2x2n+…+(p-1)x(p-1)n=-xn(xn-1)p-2。

ψ(f(x))=φ(f(βx))=(xn-1)p-1d(x)⊕

(p-1)r(x)xn(xn-1)p-2.

另一方面，由引理2.6 知

d(x)+xn(d(x)⊕r(x))+…+x(p-1)n(d(x)⊕

(p-1)r(x))=d(x)(1+xn+…+x(p-1)n)⊕

r(x)(xn+…+ixin+…+(p-1)x(p-1)n)=

d(x)(xn-1)p-1⊕(p-1)r(x)xn(xn-1)p-2,

定理2.7令a(x)，b(x),c(x),A(x),B(x),C(x),A′(x),B′(x),C′(x)和e(x)如引理1.3中所定义，则

2)若1)中任意一条成立，则φ(C′)和ψ(C)是长度为pn的Fp线性循环码，且由a(x)pb(x)p-1c(x)p-2生成。

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AfamilyofcycliccodesoverZp2

FAN Yu-huan1, WANG Xiu-lan2

(1.Department of Mathematics, Heilongjiang Institute of Technology, Harbin 150050,China;2.Department of Mathematics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001,China)