长程相依过程精确渐近性的一般结果

2014-09-06关丽红赵亚男

吉林大学学报（理学版） 2014年6期

关键词：长程相依命题

关丽红, 赵亚男

(长春大学理学院, 长春 130022)

长程相依过程精确渐近性的一般结果

关丽红, 赵亚男

(长春大学理学院, 长春 130022)

长程相依过程; 矩完全收敛性; 精确渐近性; 一般结果; 分数积分过程

0 引言及主要结果

(H1) {ak,k≥0}为满足条件ak～k-αl(k)的实数序列, 1/2<α<1;

(H3)g(x)为[n0,∞)上具有非负导数g′(x)的正值可导函数, 且g(x)↑∞,x→∞;

本文的主要结果如下.

其中bn,N定义如定理1.

注1满足假设条件(H2)的缓变函数有很多[16], 如l(x)=(logx)β, (loglogx)γ, elogδx, 其中:β,γ为实数; 0<δ<1.

注2满足假设条件(H3)～(H7)的g(x)有很多, 如g(x)=xα, (logx)β, (loglogx)γ, 其中α>0,β>0,γ>0为某些适当的参数.

注3在定理1中, 令s=1/2, 0≤p<2,g(x)=x, 则可得文献[13]中的定理1.2; 令1/s=β(δ+1),p=2,g(x)=(logx)δ+1, 其中β≥2,δ>2/β-1, 则可得文献[13]中的定理1.3.在定理2中,令p=2,s=1/2,g(x)=x, 则可得文献[13]中的定理1.1, 因此本文推广了长程相依过程的已有结果.

1 定理的证明

引理1[15]假设{Xt}为式(1)定义的满足条件(H1)和(H2)的长程相依过程, 则

其中:bn如定理1所定义;W(s)为分数布朗运动.

其中bn如定理1所定义.

令A(ε)=[g-1(Mε-1/s)], 其中:g-1(x)为g(x)的反函数;M≥1.

命题1在定理1的假设条件下, 有

证明: 利用引理1和引理2, 类似文献[12]中命题1的证明可得.

命题2在定理1的假设条件下, 对于p>0, 有

证明: 类似文献[8]中命题5.1的证明可得.

命题3在定理1的假设条件下, 对于p>0, 有

证明: 显然

其中:

先估计Δn1.注意到n≤A(ε)即εgs(n)≤Ms, 则有

其次估计Δn3.注意到正态分布的任意阶矩都存在, 则由Markov不等式, 有

最后估计Δn2.由Markov不等式和引理2, 并注意到q>1/s>p>0, 有

根据引理1, 当n→∞时,Δn→0, 因此由式(6)～(9), 可得

Δn1+Δn2+Δn3→0,n→∞.(10)

再由式(10)、φ(x)的单调性以及Toeplitz引理[24], 可知式(5)成立.证毕.

命题4在定理1的条件下, 对于p>0, 有

证明: 类似文献[8]中命题5.3的证明可得.

命题5在定理1的条件下, 对于p>0, 有

证明: 注意到q>1/s>p>0, 由Markov不等式及引理2, 有

下面证明定理1.当p=0时, 由于

则由命题1可知定理1成立.当1/s>p>0, 注意到

故要证明式(2), 只需证明下列两式成立即可:

由命题1可知式(13)成立, 由命题2～命题5以及三角不等式可知式(14)成立, 从而式(2)成立.

定理2的证明与定理1的证明类似.

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GeneralResultofPreciseAsymptoticsforLongMemoryProcesses

GUAN Lihong, ZHAO Yanan
(SchoolofScience,ChangchunUniversity,Changchun130022,China)