赋广义Orlicz范数Orlicz函数空间的H点

王宏志, 段丽芬, 左明霞

(1.通化师范学院 数学学院, 吉林 通化 134002； 2.哈尔滨理工大学 应用科学学院, 哈尔滨 150080)

赋广义Orlicz范数Orlicz函数空间的H点

王宏志1, 段丽芬1, 左明霞2

(1.通化师范学院 数学学院, 吉林 通化 134002； 2.哈尔滨理工大学 应用科学学院, 哈尔滨 150080)

利用赋广义Orlicz范数Orlicz空间的结构特点, 借鉴经典Orlicz空间中H点的论证, 给出赋广义Orlicz范数Orlicz函数空间H点的判据, 并得到了赋广义Orlicz范数Orlicz函数空间具有H性质的一个充要条件.

广义Orlicz范数； Orlicz函数空间； H点； H性质

H点和H性质是Banach空间几何学的重要概念, 在概率论、控制论和逼近论等领域应用广泛[1-3].目前, 关于Banach空间H点和H性质的讨论已有很多结果[4-7].本文研究赋广义Orlicz范数Orlicz函数空间的H点, 得到了赋广义Orlicz范数的Orlicz函数空间H点的判据, 并获得了赋广义Orlicz范数Orlicz函数空间具有H性质的条件.

1 预备知识

设X是一个Banach空间,X′表示其共轭空间,S(X)表示X的单位球面.

及其闭子空间

关于Orlicz范数:

Luxemburg范数:

及广义Orlicz范数：

均成为Banach空间, 简记为

2 主要结果

证明: 由文献[8]中定理1.41和文献[9]中定理1可得.

引理2设M是N-函数, 1

且kn→∞, 则:

证明: 1) 任给σ>0, 取Gn={t∈G: |xn(t)|≥σ}, 则

再由ε的任意性, 可得v(xn)→0(n→∞).证毕.

引理3设M是N-函数, 1

则:

证明: 1) 由引理2可知,k0=sup{kn:n=1,2,…}<∞.因为对一切正整数n,m, 都有

其中Gn(m)={t∈G: |knxn(t)|≥m}, 所以结论1)成立.

2) 若不然, 则存在δ>0及En⊂G(n=1,2,…), 使得

ρM(knxnχEn)≥δ>0,μEn<2-n(n=1,2,…).

取正整数m, 使得

矛盾.

引理4设M是严格凸的N-函数, 1

证明: 若不然, 不妨设对一切正整数n, 有

μ{t∈G: |knxn(t)-k0x0(t)|≥σ0}≥ε0,

Gn={t∈G: |knxn(t)|≤D; |k0x0(t)|≤D; |knxn(t)-k0x0(t)|≥σ0} (n=1,2,…),

M(αu+(1-α)v)≤(1-δ)[αM(u)+(1-α)M(v)].

利用Minkowsky不等式即得

这与‖xn+x0‖M,p→2(n→∞)矛盾.证毕.

定理1设M是N-函数, 则对任何1

SM={u∈+: ∀ε>0, 2M(u)

证明: 必要性.由文献[10]中定理2.1、定理2.3及文献[9]中定理4可直接得到.

充分性.设M∈Δ2,x0∈S(LM,p)且μ{t∈G:k0x0(t)∈SM}=0, 需证对任何都有‖xn-x0‖M,p→0(n→∞).由引理2, 只需证明且kn→k0(n→∞), 其中kn满足

设{[ai,bi]}i表示M的所有构造仿射区间, 令

H={t∈G:k0x0(t)∈[ai,bi]}.

G(i)={t∈G:k0x0(t)=ai},G′(i)={t∈G:k0x0(t)=bi}.

利用Jensen不等式, 可得

不妨设对一切正整数i,j, 都有G(i)∩G′(j)=Ø, 于是

由文献[9]中定理4、定理5和定理1可得:

定理2设M是N-函数, 则对任何1

[1]Diestel J.Geometry of Functional Analysis-Selected Topics [M].Berlin: Springer-Verlag, 1975.

[2]Krasnoselskii M A, Rutickii Y B.Convex Function and Orlicz Spaces [M].Groningen: P Noordhoff Ltd, 1961.

[3]张健, 王萍, 崔云安.Banach序列空间的若干点态性质 [J].哈尔滨师范大学自然科学学报, 2008, 24(1): 10-16.(ZHANG Jian, WANG Ping, CUI Yun’an.Some Pointwise Properties of Banach Space [J].Naturnal Sciences Journal of Harbin Normal University, 2008, 24(1): 10-16.)

[4]孙丽环.Musielak-Orlicz函数空间的若干几何性质 [D].哈尔滨： 哈尔滨理工大学, 2006.(SUN Lihuan.Some Geometry Properties of the Musielak-Orlicz Function Space [D].Harbin: Harbin University of Science and Technology, 2006.)

[5]ZUO Mingxia, CUI Yun’an.H-Property in Musielak-Orlicz Sequence Spaces [J].Journal of Natural Science of Heilongjiang University, 2003, 20(4): 5-10.

[6]陈述涛, 王玉文.Orlicz空间的H性质 [J].数学年刊, 1987, 8A(1)： 61-67.(CHEN Shutao, WANG Yuwen.H-Property of Orlicz Spaces [J].Chinese Ann Math, 1987, 8A(1)： 61-67.)

[7]王廷辅, 崔云安.关于Orlicz空间的H性质的注记 [J].数学物理学报, 1998, 18(2): 217-220.(WANG Tingfu, CUI Yun’an.Property(H) in Orlicz Function Space [J].Mathematica Acta Scientia, 1998, 18(2): 217-220.)

[8]CHEN Shutao.Geometry of Orlicz Spaces [M].Warszawa: Dissertations Math, 1996.

[9]段丽芬, 崔云安.赋广义Orlicz范数的Orlicz空间的端点 [J].浙江大学学报: 理学版, 2007, 34(3): 252-256.(DUAN Lifen, CUI Yun’an.Extreme Points in Orlicz Space Equipped with the Generalized Orlicz Norm [J].Journal of Zhejiang University: Science Edition, 2007, 34(3): 252-256.)

[10]丛滢伊.广义Orlicz空间的H性质 [D].哈尔滨： 哈尔滨理工大学, 2012.(CONG Yingyi.H-Property of Generalized Orlicz Spaces [D].Harbin: Harbin University of Science and Technology, 2012.)

H-PointsinOrliczFunctionSpacesEndowedwiththeGeneralizedOrliczNorm

WANG Hongzhi1, DUAN Lifen1, ZUO Mingxia2
(1.CollegeofMathematics,TonghuaTeachersUniversity,Tonghua134002,JilinProvince,China;
2.CollegeofAppliedSciences,HarbinUniversityofScienceandTechnology,Harbin150080,China)

Based on the structural characteristics of the Orlicz function spaces endowed with the generalized Orlicz norm and the expositions of H-points in classical Orlicz spaces, the criteria of H-points in Orlicz function spaces endowed with the generalized Orlicz norm were presented.As its application, both sufficient and necessary conditions for H-property of these spaces were obtained.

generalized Orlicz norm; Orlicz function space; H-point; H-property

2014-02-20.

王宏志(1975—), 男, 汉族, 硕士, 副教授, 从事Banach空间几何理论的研究, E-mail: whz-98@126.com.

国家自然科学基金(批准号： 11226127)和吉林省教育厅“十二五”科学技术研究项目(批准号： 吉教科合字[2011]第456号； 吉教科合字[2014]第400号).

O177.3

A

1671-5489(2014)06-1181-05

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.14

赵立芹)