α-稳定噪声驱动随机Cahn-Hilliard方程解的存在唯一性

贾秀利, 关丽红, 闫 龙

(1.吉林工商学院 基础部, 长春 130062; 2.长春大学 理学院, 长春 130022,3.吉林大学 数学研究所, 长春 130012)

α-稳定噪声驱动随机Cahn-Hilliard方程解的存在唯一性

贾秀利1, 关丽红2, 闫 龙3

(1.吉林工商学院 基础部, 长春 130062; 2.长春大学 理学院, 长春 130022,
3.吉林大学 数学研究所, 长春 130012)

利用压缩映射原理研究α-稳定噪声驱动的随机Cahn-Hilliard方程, 得到了该方程解的存在唯一性.

α-稳定噪声; 随机Cahn-Hilliard方程; 存在唯一性

0 引 言

Cahn-Hilliard方程[1]可模拟材料科学中二元合金相位分离的过程, 又称调幅分解.即二元合金的温度从T0淬火到临界温度Tc以下后, 二元合金分离成单质的过程.当该过程受到热干扰时, Prato等[2]研究了布朗运动驱动的随机Cahn-Hilliard方程, 给出了该方程解的性质; 文献[3-4]给出了该类方程解分布密度函数的性质.

近年来, Lévy噪声驱动的随机微分方程受到研究者的广泛关注[5-9].α-稳定噪声是一种特殊的Lévy噪声, 它能够展现重尾现象, 使得研究α-稳定噪声驱动的随机微分方程很有意义[10-12].考虑下述α-稳定噪声驱动的随机Cahn-Hilliard方程:

方程(1)满足初值条件u(0,·)=u0和齐次Neumann边值条件:

其中:T>0;D=[0,π]d;Lt是α-稳定噪声.α-稳定噪声驱动的随机Cahn-Hilliard方程描述材料科学中二元合金相位分离的过程, 其中:u表示二元合金相位分离率; 随机项Lt表示热扰动; Δu+f(u)表示化学势;f是首项系数为正的3次多项式,f的标准形式是3次多项式f(u)=u-u3; Neumann边值条件表示质量守恒和相位分离过程中与外部环境没有热交换.

方程(1)可用下列积分方程的形式表示[13]:

本文给出方程(1)解的存在唯一性.

1 预备知识

令H为实可分的Hilbert空间, 其内积为〈·,·〉0, H内的范数为‖·‖0.对于α∈(0,2), 令St是α/2-稳定的隶属子, 即递增的一维Lévy过程, 其Laplace变换为

引理1[3]存在C>0和c>0, 1≤a≤3, 对于t∈(0,T],x,y∈D, 如下估计成立:

2 主要结果

假设:

(H1)f是一个主项系数为正的3次多项式;

(H2) 对于p≥2,

首先截断函数f, 使其在空间C([0,T];Lp(D))内, 当p≥3时是全局Lipschitz连续的; 其次证明截断方程的解弱收敛到原方程的解.

令n>0, 并且定义Ψn: [0,∞)→[0,1]是一个C1函数, 使得

其中(t,x)∈[0,T]×D.

当p>3时, 令H为所有Lp(D)-值Ft适应的随机过程u(t,·)的空间, 其范数为‖·‖H,

在空间H上定义非线性算子:

证明: 对于t∈[0,T], 利用引理1、Hölder不等式和文献[14]中定理3.2, 有

下面证明L(t,x)是Hölder连续的.对于任意的s,t∈[0,T],x,y∈D,

类似于式(12)的计算, 可得E‖L1‖p≤C(h)(t-s)(-d/4+d/(4α))p.再注意到

利用式(4),(5), 可得

证明: 先证明当T足够小时, 算子Hn和L是压缩的.显然,

（13）

利用Cardon-Weber[3]中第785页的结果, 可知

‖Hn(u)(t,·)‖p≤C(n+1)3T1+d/(4r1)-(d+2)/4,

其中1≤r1<∞, 所以

‖Hn(u)(t,·)‖H≤∞.

（14）

另一方面, 由引理2, 对于任意的γ>1, 有

（15）

由式(13)～(15)可知,Hn和L是从H映到自身的映射.

利用Cardon-Weber[3]中第785页的结果, 可知

如果CnTβ((2-d)/4+d/(4r1))<1, 则Hn是H上的压缩映射.因此可得到方程在每个区间[0,T]内方程(9)解的存在唯一性.再利用Cardon-Weber[3]中第786～794页的结果可得方程全局解的存在唯一性.

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ExistenceandUniquenessofSolutionsforStochasticCahn-HilliardEquationsDrivenbyα-StableNoise

JIA Xiuli1, GUAN Lihong2, YAN Long3
(1.DepartmentofBasicCourse,JilinBusinessandTechnologyCollege,Changchun130062,China;
2.CollegeofScience,ChangchunUniversity,Changchun130022,China;
3.InstituteofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

Applying contracting mapping, we studied a class of stochastic Cahn-Hilliard equations driven byα-stable noise, and obtained the existence and uniqueness of solutions for the equations.

α-stable noise; stochastic Cahn-Hilliard equations; existence and uniqueness

2014-04-15.

贾秀利(1973—), 女, 汉族, 硕士, 副教授, 从事微分方程的研究, E-mail: jiaxiaoyi888@126.com.

国家自然科学基金(批准号: 11171130).

O211.63

A

1671-5489(2014)06-1151-04

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.08

赵立芹)