带二阶Hermite插值条件的最小二乘估计

(西华大学数学与计算机学院, 四川 成都 610039)

插值，即构造函数使得已知点能最大程度的满足某种函数关系，通过构造已知点和点之间的某种内在规律的数量关系，进而推测未知点的性质。在现实生活中，我们的研究通常是基于有限样本数据，且已知的这些数据也很可能不会恰好满足已知的某个函数。插值法就是构造函数，从而揭示样本数据间的内在规律的方法。

常见的插值法有：Lagrange插值、Newton插值多项式、Hermite插值、分段低次插值、三次样条插值[1-7]。每种插值法都有其优缺点。Lagrange插值结构紧凑、思想清晰、显式表示、公式对称，与插值节点的编号无关，适合理论分析；但是该方法无承袭性。Newton插值法既有Lagrange插值公式便于理论分析的优点，又具有承袭性，从而在需要增加节点时，可大大减少计算量；然而该法只是Lagrange插值公式的一种变形[8-11]。Hermite插值作为显式算法，简单且收敛性、稳定性好，而且具有局部性，即如果要修改某个数据，插值曲线仅仅在某个局部范围内受到影响，而代数插值却会影响到整个插值区间；然而该法光滑性不高，若要提高光滑度，必须提供较多的信息才能达到。分段三次Hermite插值比分段线性插值效果明显要好，但其要求给出节点上的导数值，所要提供的已知信息变多，其光滑度也不高，只有一阶导数连续。三次样条插值具有良好的收敛性与稳定性，又有二阶光滑性，理论上和实际都有重要意义。

实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系、疾病疗效与疗程长短的关系、毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。已知数据通常本身不一定可靠，个别数据的误差甚至可能远远大于已知数据，不妨记样本数据点为(xk,yk),k=1,2,…，n，并称为拟合点。最小二乘法在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。如果还要求拟合曲线必须经过另外s个点(xk,yk),k=1,2,…,s，那么这s个点就称为插值点,文献[1-5]中讨论了带插值条件的最小二乘法,文献[6]系统地阐述了最小二乘法。本文将在插值条件的基础上,增加满足一阶导数和二阶导数条件的要求,即二阶Hermite插值条件。下面给出带二阶Hermite插值条件的最小二乘法的定义。

1 主要结果及证明

同理可证

(2)

其中:

若将δ看作关于自变量a、b的二元函数，则上述问题转化为求函数δ=δ[a,b]在哪些点取得最小值。即解方程组

(3)

故方程组的解为

(4)

经过带二阶Hermite插值条件的最小二乘法的拟合，使得曲线的拟合效果更好。

2 Lingo程序设计

设n为需要拟合的点的个数，k为满足插值点、一阶导数点、二阶导数点的个数，s-1是需要寻找的拟合曲面的次数，则带n个拟合点、k个插值点、k个一阶导数点及k个二阶导数点的s-1次曲线拟合的Lingo程序如下：

model:

sets:

shuju/1..n/:x,y;

chazhi/1..k/:a,b,c,d,e,f;

xishu/1..s/:z;

endsets

data:

x=?;!输入拟合点数据;

y=?;

a=?;!输入插值点数据;

b=?;

c=?;!输入一阶导数点数据;

d=?;

e=?;!输入二阶导数点数据;

f=?;

enddata

min=@sum(shuju:(z(s)*x^(s-1)+z(s-1)*x^(s-2)+..+z(2)*x+z(1)-y)^2);

@for(chazhi:z(s)*a^(s-1)+z(s-1)*a^(s-2)+..+z(2)*a+z(1)=b);

@for(chazhi:(s-1)*z(s)*c^(s-2)+(s-2)*z(s-1)*c^(s-3)+..+2*z(3)*c+z(2)=d);

@for(chazhi:(s-1)*(s-2)*z(s)*e^(s-3)+(s-2)*(s-3)*z(s-1)*e^(s-4)+...+2*z(3)=f);

@free(z(i));(i>1)

end

示例

拟合点357 9 26.3 25.724.823.9插值点126.8一阶导数点1-1二阶导数点1-5

model:

sets:

shuju/1..4/:x,y;

chazhi/1..1/:a,b,c,d,e,f;

xishu/1..4/:z;

endsets

data:

x=3 5 7 9;

y=26.3 25.7 24.8 23.9;

a=1;

b=26.8;

c=1;

d=-1;

e=1;

f=-5;

enddata

min=@sum(shuju:(z(4)*x^3+z(3)*x^2+z(2)*x+z(1)-y)^2);

@for(chazhi:z(4)*a^3+z(3)*a^2+z(2)*a+z(1)=b);

@for(chazhi:3*z(4)*c^2+2*z(3)*c+z(2)=d);

@for(chazhi:6*z(4)*e+2*z(3)=f);

@free(z(1));

@free(z(2));

@free(z(3));

@free(z(4));

end

运行结果

VariableValueReduced CostZ(1)24.955950.000000Z(2)5.0321400.000000Z(3)-3.5321400.000000Z(4)0.34404650.000000

[1]颜宁生. 带Hermite插值条件的最小二乘估计[J].大学数学学报: 2011, 27(5) : 80-84.

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[3]颜宁生. 带一个插值点的最小二乘估计和最大似然估计[J].北京服装学院学报， 2008, 28(3) : 56-59.

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