广义太极代数：∅R上的逻辑代数

王俊龙

(《高等学校文科学术文摘》杂志社，中国 上海 200234)

广义太极代数：∅R上的逻辑代数

王俊龙*

(《高等学校文科学术文摘》杂志社，中国 上海 200234)

采取太极代数与布尔代数相比较、算术运算与逻辑运算相比较的方法，介绍超越布尔代数的太极代数和超越扩展的布尔代数的广义太极代数，其中扩展的布尔代数是建立在扩展含0的自然数上的布尔代数．证明了广义太极代数是一种建立在∅R(实数R包含∅的扩张)上的逻辑代数．同时通过广义太极代数的建构，讨论了“数学的基础是什么”这一问题．

太极代数；广义太极代数；布尔代数；扩展的布尔代数

本文介绍太极代数和广义太极代数，但都是初步的．太极代数最初是笔者将中国传统的太极阴阳思想与逻辑运算规则相结合而提出的一种新的逻辑代数[1]．采取太极代数与布尔代数相比较、算术运算与逻辑运算相比较的方法，介绍超越布尔代数的太极代数和超越扩展的布尔代数的广义太极代数．其中扩展的布尔代数由笔者所发现，是建立在扩展的(含0的)自然数上的布尔代数[2]．正如自然数是可扩张的，实数R也是可扩张的．实数结构R可以扩张为包含∅的结构∅R．本文证明，广义太极代数是一种建立在∅R上的逻辑代数．同时希望通过广义太极代数的建构引起对“数学的基础是什么”这一问题的讨论．

1 太极代数和广义太极代数

1.1 太极代数及其新定义

在空无集合{0，∅}上定义布尔加、布尔乘和补运算就得到太极代数，这是关于“空”、“无”的二元代数结构．进一步地，在空无集合上引进阴阳集合{-1，1}就得到四元集合{0，∅，-1，1}.在四元集合{0，∅，-1，1}上定义布尔加、布尔乘和补运算得到的还是太极代数，这是关于“空、无、阴、阳”的四元代数结构[3]．

其中定义在空无集合{0，∅}上的太极代数是布尔代数的原型，即本原布尔代数(定义在二元集合{0，1}上)与二元太极代数同构．因此，布尔代数是四元太极代数的子代数．

布尔代数与太极代数的区别有二：一是一元运算有别，前者是补运算后者是负运算，负运算是比补运算更具普遍意义的一元运算；二是全集和空集的定义有别．正因为太极代数所采用的一元运算是比补运算更具普遍意义的负运算，才能将空集与全集的关系表现为空(空类)与无(全类)之间的绝对矛盾．

笔者曾对太极代数给出一个新定义[4]：

1)(存在性)对于任意x(集合或类)，存在y，使得x-y=x成立．

其中包含差运算．依此性质可引入空集，表明空集是任意集合的子集．

2)(对称性)若x-y=x，则y-x=y．

对称性使差运算与算术中的减法运算区别开来．依此性质可引入与空集互补的全集或全类．

3)(相容性)x+y=y+x．

其中包含加法(析取)运算．此性质表明，互不相干的两个元素可以析取相容．

满足以上3个条件的代数系统仅有2个，布尔代数和太极代数，且布尔代数是太极代数的子代数．

1.2 扩展的布尔代数

布尔代数的创建人布尔认为：空集为0，全集为1．这样就导致1和0亦构成一元互补关系．这与1和-1构成一元互补关系是相互矛盾的．换言之，在严格的意义上，布尔当初设定1与0构成互补关系是存在问题的，其当初设定只是凭借普通算术的加法单位元0和乘法单位元1．太极代数正是基于克服或纠正布尔代数的概念错误而建立的[4]．但是，为了避免概念上的争论，笔者在扩展的(含0的)自然数集上建立了扩展的布尔代数[2]，如图1．

图1 扩展的布尔代数Fig.1 The extended Boolean algebra

图1是扩展的布尔代数，其中仍以0为空集．根据皮亚诺公理[5]，对于任意给定的非负整数n，存在数I，使得n≤I(算术上的大小关系在逻辑上表现为包含关系n⊆I)．

在扩展的布尔代数中全集不是1也不是2或4，而是不小于任意给定的非负整数n的那个I．这就超越了布尔代数中全集为1的规定．

图1中2-1，4-1，4-2等都是差集，I-n是n关于I的相对补集．

显然，扩展的布尔代数是建立在扩展的(含0的)自然数系上的．正如布尔代数是太极代数的子代数，扩展的布尔代数是广义太极代数的子代数[2]．

1.3广义太极代数：∅R上的逻辑代数

实数序是偏序结构的，遵循序公理──三分律(trichotomy law)[6]．扩展的布尔代数是建立在偏序的扩展的(含0的)自然数上的逻辑代数．实数R是偏序的算术结构，笔者发现，若在实数R上引进∅生成∅R，则∅R是对称的逻辑结构，从而发现广义太极代数．

若实数R要成为逻辑结构须作如下改进，且需引入空元(∅)成为扩展的实数系∅R：

Ⅰ．若a>0，b>0且b>a，则[a]⊂[b]；

Ⅱ．若a<0，b<0且b>a，则[a]⊂[b]；

Ⅲ．[a]+(-[a])=0是最大元，[a]·(-[a])=∅是最小元．

其中a、b为非0非∅实数．[a]表示逻辑实数，以此与算术实数a相区别．Ⅰ和Ⅱ可以合并为一句：若ab>0，且b>a，则[a]⊂[b]．Ⅲ表示逻辑实数[a]及其逻辑相反数-[a]关于0是二分的．

广义太极代数公理系统

公理1空无律

对于任意∅R上的逻辑变量[a]，有

[a]+∅=[a]，[a]·∅=∅，[a]+0=0，[a]·0=[a].

公理2互补律

对于任意∅R上的逻辑变量[a]，存在唯一的-[a]，使得

[a]+(-[a])=0，[a]·(-[a])=∅.

公理3交换律

对于任意∅R上的逻辑变量[a]和[b]，有

[a]+[b]=[b]+[a]，[a]·[b]=[b]·[a].

公理4分配律

对于任意∅R上的逻辑变量[a]、[b]和[c]，有

[a]+[b]·[c]=([a]+[b])·([a]+[c])，[a]·([b]+[c])=[a]·[b]+[a]·[c].

2 算术与逻辑计算的一致性

2.1 一元双重否定律

算术运算：-(-a)=a．

逻辑运算：-(-[a])=[a]．

无论是算术运算还是逻辑运算，都遵循相同的一元双重否定律．

2.2 二元双重否定律

2.2.1 加法双重否定律

算术运算：a+b=-(-a-b)．

逻辑运算：[a]+[b]=-(-[a]-[b])．

2.2.2 减法双重否定律

算术运算：a-b=-(-a+b)．

逻辑运算：[a]-[b]=-(-[a]+[b])．

无论是算术运算还是逻辑运算，加法与减法都遵循相同的二元双重否定律．

2.3 和合律相同

算术运算：a+(-a)=0．

逻辑运算(广义太极代数)：[a]+(-[a])=0．

以上算术公式对于任意实数皆成立，逻辑公式对于∅R上的任意实数皆成立．

3 算术与逻辑的分歧点

算术运算：a-b=a+(-b)．

逻辑运算：[a]-[b]=[a]·(-[b])．

减运算相异转换是算术运算与逻辑运算的唯一区别所在，因此也造成算术运算与逻辑运算的分别．

在算术运算中，a+(-b)=-(-a-(-b))(加法双重否定律)，代入-(-b)=b(局部运用一元双重否定律)，得到a+(-b)=-(-a+b)．而a-b=-(-a+b)(减法双重否定律)，所以，a-b=a+(-b)．

在逻辑运算中，[a]-[b]=-(-[a]+[b])(减法双重否定律)，-([a]-[b])=-[a]+[b](整体运用一元双重否定律)．而-([a]·(-[b]))=-[a]+[b](De-Morgan律)，所以，-([a]-[b])=-([a]·(-[b]))，即[a]-[b]=[a]·(-[b])．

4 分析和结论

算术运算与逻辑运算(广义太极代数)在一元双重否定律和二元双重否定律以及和合律等三方面具有一致性．其中的二元双重否定律在以往的数学文献中鲜有提及．

减运算相异的转换方式是算术运算与逻辑运算的唯一区别所在，因此也造成算术运算与逻辑运算的分别．

在算术运算中竟然通过局部代入一元双重否定律强行实现减法双重否定律与加法双重否定律的转换，混淆了一元双重否定律与二元双重否定律的界限，减号这个二元运算符号被移花接木地误读为一元运算符号．算术运算就像毕加索绘画一样嵌入了错位的嫁接结构从而产生奇妙的近乎于错觉的运算效果．

在逻辑运算(广义太极代数)中，减法双重否定律经由De-Morgan律为中介间接地实现与加法双重否定律的转换．De-Morgan律是二元反演否定律，这说明在逻辑运算中存在三种双重否定律，其中De-Morgan律是加法和减法双重否定律转换的桥梁．

广义太极代数建立在扩展的实数序的对称结构之上．在数的对称结构模型中，尽管数的无穷性被保持，但是，数已不再是在一条无首无尾的直线数轴上所显示的“量”，而是毫无例外地变成存在于0内的所有潜在的“质”．

∅R上对称的逻辑结构有三条性质[7]：

1)0是最大元，没有比0更大的数；∅是最小元，没有比∅更小的数．

2)比0小的数并非一定要求其真实存在，即理论上允许存在这样绝对的情形：0内除了0自身之外仅有空元(∅)再没有任何其他实数．

3)任意实数x(包括0和∅)都有其相反数-x，而且没有两个相反数是相等的，-x≠x．特别地，0和∅互为相反数．

在广义太极代数中，0是最大元．0是∅R上全体逻辑实数的析取总和．换言之，∅R结构是0内的结构．从外延上看，广义太极代数是∅R上的逻辑代数．从内涵上看，广义太极代数是0内的逻辑代数．

算术结构是∅R上的外延结构，逻辑结构是0内的内涵结构．前者视0为虚为空洞(空集)，后者视0为无为圆实(全集)．前者已成为认知上的常识，后者尚是一种新知．

结论：由0开始可以引入任意一对相反数(实数)x和-x，包括0自身的相反数∅，从而生成∅R(含∅)．广义太极代数是∅R上的逻辑代数．实数R(不含∅)是∅R的子结构，普通算术是R上的代数．扩展的(含0的)自然数是实数R的子结构．扩展的布尔代数是扩展的(含0的)自然数上的逻辑代数．布尔代数是扩展的布尔代数的子代数．太极代数是广义太极代数的子代数．布尔代数是太极代数的子代数．扩展的布尔代数是广义太极代数的子代数．这是一套全新的数学结构谱系．

5 讨论

布尔代数的创建人布尔认为：空集为0，全集为1，这样就导致1和0亦构成一元互补关系．这是与太极代数和广义太极代数都证明1和-1构成一元互补关系是相互矛盾的．现有逻辑代数或集合代数是建立在布尔代数基础上的，而布尔代数本身是不完善的．众所周知，1是乘法单位元，0是加法单位元是就算术运算而言的．而逻辑运算与算术运算是不同的运算系统．布尔代数以1为逻辑乘法单位元，以0为逻辑加法单位元，显然是混淆了逻辑运算与算术运算之间的区别[2]．无论是算术运算和逻辑运算(太极代数和广义太极代数)都遵循和合律：x+(-x)=0．这就证明0是蕴涵x和-x两方面内容(量或质)的．由此可见，0是有隐含的内涵的、非空的．因此，布尔代数中设定0为空类(或空集)是包含极为隐蔽的错误的．其中隐含的错误直到发现太极代数和广义太极代数才真正显露出来．

另外，即使以0为空集，全集也未必是1．笔者在扩展的(含0的)自然数上建立的扩展的布尔代数证明：其全集可以是不小于任意自然数n的I．因此，布尔代数的基础是扩展的(含0的)自然数．布尔代数充其量是建立在实数系0到1的闭区间上的[8]．

广义太极代数正是基于克服或纠正布尔代数的概念错误而建立的．广义太极代数是建立在扩展的(含∅的)实数∅R上的逻辑代数．在太极代数和广义太极代数中，绝对的全集(或全类)不是1而是0，绝对的空集(或空类)不是0而是∅．由此可知，布尔代数中的全集1只是一种相对全集，其空集0实际上是∅[4]．因此，太极代数和广义太极代数不属于现行西方数学的ZF公理集合论的框架范围，因为后者的自然数集构造在0=∅的前提之上[5]．“空集合∅一无所有，自然数零也一无所有．因此，把数零定义为空集是合理的．”[9]

太极代数和广义太极代数的发现证明，0和∅是一对相反数．以往认为0=∅是依据常识得出的错误结论．由此可见，基于0=∅建立起来的数学基础存在根本性缺陷．这预示着西方现有数学理论隐含严重的危机，甚至，西方数学的宏伟大厦实际上是一座危房，因为它建立在空洞的基础上．“集宇宙的建造者是人．人们建筑集宇宙，开头一无所有，白手起家．空集是个集，于是便想起用空集∅作为建筑材料．”[5]太极代数和广义太极代数的发现证明了这样一种数学基础是完全错误的．数学的基础不是∅而是0；0非空，因而才有资格作为建造数学大厦的合格材料和牢固的基础．

[1] 王俊龙.论太极代数及其辩证内涵[J].湖南师范大学社会科学学报， 2009，38(3)：43-47.

[2] 王俊龙.论语言研究需要怎样的逻辑工具[J].山西大学学报：哲学社会科学版， 2013，36(5)：57-61.

[3] 王俊龙.论八卦是八个逻辑范式[J].周易研究， 2012(3)：90-96.

[4] 王俊龙.人体形态逻辑：生物逻辑学研究[J].湖南师范大学自然科学学报， 2012，35(2)：76-81.

[5] 汪芳庭.数学基础[M].北京：科学出版社， 2001.

[6] HERBERT B E.数理逻辑[M].沈复兴,译.2版.北京：人民邮电出版社， 2007.

[7] 王俊龙.太极数理哲学：身心统一的世界观[J].学术月刊， 2013，45(6)：27-35.

[8] ЯГЛОМ И М.不平常的代数[M].方伟武,译.北京：知识出版社， 1984.

[9] 张锦文.公理集合论导引[M].北京：科学出版社， 1991.

(编辑 胡文杰)

Generalized Tai Chi Algebra：Logic Algebra on∅R

WANGJun-long*

(Journal Office of China University Academic Abstracts, Shanghai 200234, China)

The Tai Chi algebra and the generalized Tai Chi algebra are introduced by comparing the Tai Chi algebra with Boolean algebra and arithmetic operations with logic operations. The generalized algebra is proved to be a logic algebra built on∅R. Furthermore, the cornerstone of mathematics is discussed at the end.

Tai Chi algebra; generalized Tai Chi algebra; Boolean algebra; expanded Boolean algebra

2013-10-30

上海师范大学科研基金资助项目(A-0230-14-001107)

*

,E-mail：cttvvv@shnu.edu.cn

O143

A

1000-2537(2014)05-0085-05