简单平面桁架的稳定性及极限承载基于有限元的几何非线性分析

王国权等

摘 要：本文首先介绍了分析压杆稳定的线性有限单元，然后引入对几何非线性问题的一般讨论，提出了结构的切线刚度矩阵。最后介绍了求解几何非线性方程的牛顿——拉斐逊法，应用此方法通过编程分析得出简单桁架荷载—位移曲线。

关键词：稳定性；有限元；几何非线性；切线刚度矩阵；简单桁架

桁架是由一些细长杆在其两端连接（利用焊接或铆接等方法）而成的几何形状不变的结构。它在桥梁、起重机与屋架等工程对象中得到广泛的应用。如果桁架所有杆件的轴线与其受到的载荷均在一个平面内，称此类桁架为平面桁架，否则称为空间桁架。

结构的稳定性是结构平衡状态的稳定性，任何结构的平衡状态可能有三种形式：稳定的平衡状态，不稳定的平衡状态和随遇平衡状态。

假设结构在平衡状态附近作无限小偏离后，如果结构仍能恢复到平衡状态，则这种平衡状态为稳定的平衡状态；如果结构在微小扰动作用下偏离其平衡状态后，不能再恢复到原平衡状态，反而继续偏离下去，则这种平衡状态为不稳定的平衡状态；如果结构在微小偏离其平衡状态后，既不能再恢复到原平衡状态，也不继续偏离下去，而是在新的位置形成新的平衡，则这种平衡状态为随遇平衡状态，随遇平衡状态往往是从稳定平衡状态向不稳定平衡状态过渡的一种中间状态。

1.压杆稳定的线性有限单元法——瑞利-里兹法

变形体的虚位移原理表明：变形体处于平衡状态的充分和必要条件是，对与支承约束条件相协调的任意微小虚位移，外力虚功与内力虚功的总和等于零。

如以δWe代表外力因虚位移而作的虚功，以δWi代表内力因虚位移所做的虚功，则当该变形体处于平衡状态时，应满足δWe+δWi=0 （1）

在保守系统中，外力虚功等于虚位移引起的外力势能改变的负值，则δWe可改写为-δV。内力虚功等于虚位移引起的变形体内应变能的变化的负值，则δWi可改写为：-δU，则式（a）可写为δV+δu=0 （2）

虚位移是满足体系支承约束条件下的一个微小位移变化，是实际位移的一阶变分，因此虚应变能δu就是实际应变能的一阶变分，-δWe就是实际外力势能（-We）的一阶变分，简写为-δWe。故式（b）可以写成：δ（U+V）=δ（U-W）=0 （3）

即 δⅡ=0，式中Ⅱ=U+V=U-W为体系具有的总势能。当体系处于在平衡状态时，总势能的一阶变分为零，或此体系的总势能为驻值。这就是势能驻值原理。

瑞利-里兹法是建立在势能驻值原理基础上的近似方法。今假定体系在中性平衡时的位移用沿坐标轴x，y，z方向的三个位移u，v，w来表示，并分别取下列位移函数

在简单桁架达到极限荷载后，由于切线刚度矩阵行列式的值趋近于零，从而产生奇点，根据牛顿——拉斐逊法编制的程序计算发生溢出。

通过上述算例可知，可以将基于有限元的非线性（几何非线性、材料非线性）分析方法应用于分析网壳、网架，从而为进一步研究复杂结构的稳定性提供了启示，克服现行的有限元分析软件收敛性要求过高、单元划分过于严格的缺点。

参考文献

[1] 丁皓江、何福保等.弹性和塑性力学中的有限单元法.机械工业出版社，1989

[2] 刘光栋、罗汉泉.杆系结构稳定.北京：人民交通出版社，1988

[3] 尹越.单层球面网壳结构的稳定性研究.天津大学博士生论文，1998

[4] 夏志斌、潘有昌.结构稳定理论.高等教育出版社，1989

[5] 王国权.长悬臂桁架基于有限元的稳定性和极限承载研究.天津大学硕士毕业论文，2005

摘 要：本文首先介绍了分析压杆稳定的线性有限单元，然后引入对几何非线性问题的一般讨论，提出了结构的切线刚度矩阵。最后介绍了求解几何非线性方程的牛顿——拉斐逊法，应用此方法通过编程分析得出简单桁架荷载—位移曲线。

关键词：稳定性；有限元；几何非线性；切线刚度矩阵；简单桁架

桁架是由一些细长杆在其两端连接（利用焊接或铆接等方法）而成的几何形状不变的结构。它在桥梁、起重机与屋架等工程对象中得到广泛的应用。如果桁架所有杆件的轴线与其受到的载荷均在一个平面内，称此类桁架为平面桁架，否则称为空间桁架。

结构的稳定性是结构平衡状态的稳定性，任何结构的平衡状态可能有三种形式：稳定的平衡状态，不稳定的平衡状态和随遇平衡状态。

假设结构在平衡状态附近作无限小偏离后，如果结构仍能恢复到平衡状态，则这种平衡状态为稳定的平衡状态；如果结构在微小扰动作用下偏离其平衡状态后，不能再恢复到原平衡状态，反而继续偏离下去，则这种平衡状态为不稳定的平衡状态；如果结构在微小偏离其平衡状态后，既不能再恢复到原平衡状态，也不继续偏离下去，而是在新的位置形成新的平衡，则这种平衡状态为随遇平衡状态，随遇平衡状态往往是从稳定平衡状态向不稳定平衡状态过渡的一种中间状态。

1.压杆稳定的线性有限单元法——瑞利-里兹法

变形体的虚位移原理表明：变形体处于平衡状态的充分和必要条件是，对与支承约束条件相协调的任意微小虚位移，外力虚功与内力虚功的总和等于零。

如以δWe代表外力因虚位移而作的虚功，以δWi代表内力因虚位移所做的虚功，则当该变形体处于平衡状态时，应满足δWe+δWi=0 （1）

在保守系统中，外力虚功等于虚位移引起的外力势能改变的负值，则δWe可改写为-δV。内力虚功等于虚位移引起的变形体内应变能的变化的负值，则δWi可改写为：-δU，则式（a）可写为δV+δu=0 （2）

虚位移是满足体系支承约束条件下的一个微小位移变化，是实际位移的一阶变分，因此虚应变能δu就是实际应变能的一阶变分，-δWe就是实际外力势能（-We）的一阶变分，简写为-δWe。故式（b）可以写成：δ（U+V）=δ（U-W）=0 （3）

即 δⅡ=0，式中Ⅱ=U+V=U-W为体系具有的总势能。当体系处于在平衡状态时，总势能的一阶变分为零，或此体系的总势能为驻值。这就是势能驻值原理。

瑞利-里兹法是建立在势能驻值原理基础上的近似方法。今假定体系在中性平衡时的位移用沿坐标轴x，y，z方向的三个位移u，v，w来表示，并分别取下列位移函数

在简单桁架达到极限荷载后，由于切线刚度矩阵行列式的值趋近于零，从而产生奇点，根据牛顿——拉斐逊法编制的程序计算发生溢出。

通过上述算例可知，可以将基于有限元的非线性（几何非线性、材料非线性）分析方法应用于分析网壳、网架，从而为进一步研究复杂结构的稳定性提供了启示，克服现行的有限元分析软件收敛性要求过高、单元划分过于严格的缺点。

参考文献

[1] 丁皓江、何福保等.弹性和塑性力学中的有限单元法.机械工业出版社，1989

[2] 刘光栋、罗汉泉.杆系结构稳定.北京：人民交通出版社，1988

[3] 尹越.单层球面网壳结构的稳定性研究.天津大学博士生论文，1998

[4] 夏志斌、潘有昌.结构稳定理论.高等教育出版社，1989

[5] 王国权.长悬臂桁架基于有限元的稳定性和极限承载研究.天津大学硕士毕业论文，2005

摘 要：本文首先介绍了分析压杆稳定的线性有限单元，然后引入对几何非线性问题的一般讨论，提出了结构的切线刚度矩阵。最后介绍了求解几何非线性方程的牛顿——拉斐逊法，应用此方法通过编程分析得出简单桁架荷载—位移曲线。

关键词：稳定性；有限元；几何非线性；切线刚度矩阵；简单桁架

桁架是由一些细长杆在其两端连接（利用焊接或铆接等方法）而成的几何形状不变的结构。它在桥梁、起重机与屋架等工程对象中得到广泛的应用。如果桁架所有杆件的轴线与其受到的载荷均在一个平面内，称此类桁架为平面桁架，否则称为空间桁架。

结构的稳定性是结构平衡状态的稳定性，任何结构的平衡状态可能有三种形式：稳定的平衡状态，不稳定的平衡状态和随遇平衡状态。

假设结构在平衡状态附近作无限小偏离后，如果结构仍能恢复到平衡状态，则这种平衡状态为稳定的平衡状态；如果结构在微小扰动作用下偏离其平衡状态后，不能再恢复到原平衡状态，反而继续偏离下去，则这种平衡状态为不稳定的平衡状态；如果结构在微小偏离其平衡状态后，既不能再恢复到原平衡状态，也不继续偏离下去，而是在新的位置形成新的平衡，则这种平衡状态为随遇平衡状态，随遇平衡状态往往是从稳定平衡状态向不稳定平衡状态过渡的一种中间状态。

1.压杆稳定的线性有限单元法——瑞利-里兹法

变形体的虚位移原理表明：变形体处于平衡状态的充分和必要条件是，对与支承约束条件相协调的任意微小虚位移，外力虚功与内力虚功的总和等于零。

如以δWe代表外力因虚位移而作的虚功，以δWi代表内力因虚位移所做的虚功，则当该变形体处于平衡状态时，应满足δWe+δWi=0 （1）

在保守系统中，外力虚功等于虚位移引起的外力势能改变的负值，则δWe可改写为-δV。内力虚功等于虚位移引起的变形体内应变能的变化的负值，则δWi可改写为：-δU，则式（a）可写为δV+δu=0 （2）

虚位移是满足体系支承约束条件下的一个微小位移变化，是实际位移的一阶变分，因此虚应变能δu就是实际应变能的一阶变分，-δWe就是实际外力势能（-We）的一阶变分，简写为-δWe。故式（b）可以写成：δ（U+V）=δ（U-W）=0 （3）

即 δⅡ=0，式中Ⅱ=U+V=U-W为体系具有的总势能。当体系处于在平衡状态时，总势能的一阶变分为零，或此体系的总势能为驻值。这就是势能驻值原理。

瑞利-里兹法是建立在势能驻值原理基础上的近似方法。今假定体系在中性平衡时的位移用沿坐标轴x，y，z方向的三个位移u，v，w来表示，并分别取下列位移函数

在简单桁架达到极限荷载后，由于切线刚度矩阵行列式的值趋近于零，从而产生奇点，根据牛顿——拉斐逊法编制的程序计算发生溢出。

通过上述算例可知，可以将基于有限元的非线性（几何非线性、材料非线性）分析方法应用于分析网壳、网架，从而为进一步研究复杂结构的稳定性提供了启示，克服现行的有限元分析软件收敛性要求过高、单元划分过于严格的缺点。

参考文献

[1] 丁皓江、何福保等.弹性和塑性力学中的有限单元法.机械工业出版社，1989

[2] 刘光栋、罗汉泉.杆系结构稳定.北京：人民交通出版社，1988

[3] 尹越.单层球面网壳结构的稳定性研究.天津大学博士生论文，1998

[4] 夏志斌、潘有昌.结构稳定理论.高等教育出版社，1989

[5] 王国权.长悬臂桁架基于有限元的稳定性和极限承载研究.天津大学硕士毕业论文，2005