火灾下混凝土板温度场的几种计算方法

邱俊男 袁 勇 崔彦轩

1 引 言

发生火灾的建筑不仅灾后要评估建筑结构的性能，还应分析火灾过程结构的性能变化，这意味着高温不仅导致结构性能退化，还会引起结构内力响应变化。因此，确定构件内温度场分布是进行构件乃至整体结构分析的前提。

针对混凝土温度场的计算，欧洲规范[1]给出了试验法、实用图表法以及数值分析三种方法；一些学者[2,3]提出了简化计算的方法；我国目前尚没有统一的混凝土结构抗火计算规范，只在广东省编写了一本地方性抗火规范[4](其后简称广东规范)，在该规范中规定使用实用图表法与数值分析计算构件温度场。困扰结构工程师的问题是，这些温度场分析方法繁简不一，工程应用中不同方法的计算参数选取以及各方法的普适性和解答的一致性。

混凝土板作为混凝土结构中最基本的构件，在火灾下，部分板(如中隔板)需要具有隔火功能，另一部分板(如楼板)不仅要具有隔火功能还要有承载功能，因此，选取分析混凝土板的温度场具有一定的代表性。本文拟通过混凝土板的温度场分析比较常用方法的一致性。此外，有研究表明，钢筋混凝土结构的内力和变形状态对结构的热传导和温度场变化的影响很小[5]，本文的分析不考虑混凝土结构内力与温度场的耦合作用。

2 混凝土温度场的基本原理

2.1 混凝土温度场控制方程与边界条件

就混凝土结构而言，当火灾发生后，周围空气温度随时间上升，混凝土构件通过与热空气之间的传热及构件内部的导热实现热的传递。其传热过程分为两个阶段三种方式，第一阶段热由室内(或室外)以对流换热和物体间的辐射换热方式传给混凝土构件外表面；第二阶段构件内部热以固体导热的方式传递到内部各点。

钢筋混凝土在火灾下，属于非稳态导热，构件内温度场为不稳定温度场，其控制方程为非线性的抛物线形偏微分方程。

混凝土内部的导热微分方程为[6]

(1)

方程定解的边界条件共有三种[6]：

第一类边界条件，已知s1边界上各瞬时的温度分布，即

Ts=Tb(P,t) (P∈s1,t>t0)

(2)

式中，T为温度;P为空间点或空间坐标变量;t为时间。

第二类边界条件，已知s2边界上各瞬时的热流密度，即

(3)

式中，n表示外法线方向；λ为混凝土的导热系数。

第三类边界条件，已知s3边界上热交换情况。

(4)

式中，qc为对流交换的热量；qr热辐射交换的热量：

qc=β(Tg-T)

(5)

式中，β为对流换热系数，W/(m2·K)；Tg为空气温度；T为构件表面温度。

qr=Φ·σ·ε[(Tr+273)4-(Tm+273)4]

(6)

式中，Φ为外形系数;σ为Stephan Boltzmann常数，值为5.67×10-8W/(m2·K4);ε为表面辐射系数;Tr为有效的火灾环境辐射温度;Tm为构件的表面温度。

2.2 混凝土温度场的热工参数

由式(1)不难发现，影响混凝土温度场的热工参数主要是混凝土的导热系数λc、比热容cp以及密度ρ。混凝土的组成材料的成分复杂且离散性大，热工系数很难准确地给定。目前，欧洲规范[1]中的参数取值得到较普遍接受。

1) 导热系数

混凝土的导热系数由于骨料、含水量等的不同而存在较大差异。

欧洲规范[1]给出了常规混凝土导热系数λc的范围：

上限：

λc=2-0.245 1(T/100)+0.010 7(T/100)2

20 ℃≤T≤1 200 ℃

(7)

下限：

λc=1.36-0.136(T/100)+0.005 7(T/100)2

20 ℃≤T≤1 200 ℃

(8)

式中，λc为混凝土导热系数；T为混凝土温度。

Lie[7]忽略了各种因素的影响，给出的建议导热系数：

λc=1.9-0.000 85T0 ℃≤T≤800 ℃

(9)

λc=1.22T>800 ℃

(10)

式中，λc为混凝土导热系数;T为混凝土温度。

2) 比热容[1,4]

混凝土的比热容随温度变化而变化，广东规范对欧洲规范的计算式进行了简化，给出如下计算式。

cp(T)=900 J/(kg·K)

20 ℃≤T≤100 ℃

(11)

cp(T)=900+(T-100) J/(kg·K)

100 ℃

(12)

cp(T)=1 000+(T-200)/2 J/(kg·K)

200 ℃

(13)

cp(T)=1 100 J/(kg·K)

400 ℃

(14)

式中，cp为混凝土比热容。

3) 密度[1]

一般认为，混凝土常温密度可以取为ρ(20 ℃)=2 300 kg/m3，由于失水的影响，密度随温度的变化，可以定义如下：

ρ(T)=ρ(20 ℃)

20 ℃≤T≤115 ℃

(15)

ρ(T)=ρ(20 ℃)·[1-0.02(T-115)/85]

115 ℃

(16)

ρ(T)=ρ(20 ℃)·[0.98-0.03(T-200)/200]

200 ℃

(17)

ρ(T)=ρ(20 ℃)·[0.95-0.07(T-400)/800]

400 ℃

(18)

式中,ρ为混凝土的密度。

3 混凝土温度场计算方法

3.1 试验法

试验法指通过足尺火灾试验得到的测试数据的方法。它可为其他方法提供验证和基本数据，应用新材料或构建新型建筑的火灾场景应进行温度场的试验研究。但试验法相对于其他设计方法花费大，一些大型试验费用高昂，有时也难以全面模拟边界的物理和力学条件。

陈礼刚[8]按照ISO834标准火灾升温曲线进行的厚度120 mm普通混凝土板的试验中，测定了板特定部位的温度发展过程。混凝土板长、宽、厚分别为4 300 mm、1 500 mm、120 mm。空气温度25 ℃,板的下表面暴露在燃烧炉中，升温曲线为图1中的虚线曲线，为第三类边界条件；上表面暴露在空气中，同样是第三类边界条件；侧边用耐火保温材料石棉盖住，可简化认为其为绝热面，第二类边界条件。本文采用其试验数据作为试验法的代表值，为了方便比较，后面几种方法的温度场计算，均采用这一试验的尺寸。需要指出的是，试验中实测的升温曲线较ISO834曲线略低，见图1，这在后面的数值模拟计算中将予以考虑。

图1 空气升温曲线[8]Fig.1 Temperature increase curve

3.2 实用图表法

若规范以图表方式给出了特定升温曲线下混凝土构件截面的温度场，可方便地进行结构抗火计算。但在使用图表法时，应注意建立图表的具体条件，据此加以使用，否则易产生错误。

欧洲规范中结构抗火部分[1]与广东的地方规范[4]均在附录中给出了ISO834升温曲线下的混凝土温度场，所选取的室温为20 ℃，两本规范中热工参数的选取只有少许差别，广东规范给出更多情形的温度场分布。图2为取自广东规范中板厚度为120 mm的温度分布。

图2 广东规范120 mm板的温度场[4]Fig.2 Temperature distribution of an 120 mm RC slab in Guangdong Standard

3.3 简化计算法

对于简单形状的混凝土构件高温下温度场，如果能建立简化的计算式则比其他方式简洁方便。在各种简化计算方法中，Hertz[3]与Wickström[2]提出的方法得到了普遍接受。本文使用Wickström的方法来计算在ISO834火灾升温条件下普通混凝土板的温度场。

1) 混凝土板受火面表面温度

Tw=ηwTf

(19)

(2) 混凝土板内温度

Tc=ηxηwTf

(20)

式中，ηx=0.18ln(th/x2)-0.81(无量纲)；Tc为混凝土板深度x处的温度(℃)；x为距受火面深度(m)。

这个方法也可以使用在二维情况，例如计算梁上的温度场。此时，需要引入y方向的系数ηy，具体形式如下：

Tc=[ηw(ηx+ηy-2ηxηy)+ηxηy]Tf

(21)

式中，参数意义与式(19)、式(20)相同。

该公式通过修正等效爆火时间等参数，可以适用于其他类型混凝土和火灾升温条件。

不难发现，计算系数ηw，ηx需要保持正值，公式才有意义。ηw为正值的条件是时间t>2.53 min,见图3；而ηx为正值的条件与距受火面深度x有关，图4为ηx=0时，时间t与距受火面深度x的对应关系。为了保证ηx值为正，点(x,t)需要在直线上侧。不难发现随着深度x的增加，需要更长的时间t来保证ηx的值为正。

图3 系数ηw与时间th的关系Fig.3 The relation between ηw and time th

在这种计算法的公式中，没有考虑构件的厚度问题。具体来说，对于不同厚度的板，计算公式都是相同的，同一受火深度的温度值的计算结果都是相同的，这会在计算中带来误差，特别是深度x积累到一定量或构件背火面温度计算的时候。

图4 ηx=0时，时间th与深度x的关系Fig.4 The relation between time th and depth x when ηx=0

3.4 数值模拟

火灾下混凝土的温度场是瞬态的抛物线形偏微分方程，复杂初边值条件时难以获得解析解，如果考虑混凝土热工参数随温度变化时，解析解基本无法求出。对于高温混凝土温度场的计算，数值模拟一般通过时间变量差分法和空间域的有限元单元相结合的方法，可用来计算任何材料组合、形状、火灾场景等的混凝土温度场。数值模拟没有试验法的危险性与高昂花费，又较简化设计法更能适应初边界、材料条件。本文采用大型通用软件Abaqus来计算混凝土的温度场。模型的边界与尺寸同陈礼刚[8]的试验条件。具体情况如下。

建立了长、宽、厚分别为4 300 mm、1 500 mm、120 mm的混凝土板，计算模型如图5所示。相关研究表明，钢筋对混凝土温度场计算的影响不大[9]，本模型中忽略钢筋。混凝土温度场所涉及的参数，混凝土材料的密度、比热，选取第2.2节中的相应数值；导热系数由于材料和含水量的原因差异较大，同时它对温度场的分布也有较大影响，在4.1节根据陈礼刚[8]的建议，计算中取式(9)、式(10)，在4.2节的计算中取式(8)。

图5 Abaqus中板模型图Fig.5 Abaqus model

计算模型为单面受火形式：板的下表面为受火面，下表面通过对流和辐射两种方式传热，依据式(4)—式(6)进行计算，其中对流换热系数为25 W/(m2·K)[10]，辐射的形状系数取1，表面辐射系数取0.8[10]；上表面为背火面，暴露于室温的空气中，欧洲规范规定此时可把与空气的辐射和对流简化看成对流换热系数为9 W/(m2·K)的对流边界[10]；由于板长度和宽度较厚度大很多，且经过隔热处理，可简化认为四个侧面为绝热面，按式(3)计算。

4 结果的比较与分析

4.1 试验数据与数值模拟的比较

数值模拟按照试验条件设定，其中，燃烧炉的升温曲线取图1中虚线曲线，室温设定为25 ℃，计算时间取120 min。

混凝土板的温度场选取距受火面深度20 mm、40 mm、60 mm、80 mm、120 mm五处为代表截面，所得数据绘于图6中。

图6 混凝土板内升温曲线Fig.6 Temperature increase in the slab

通过图6不难发现，数值模拟的结果与试验结果趋势一致，且吻合很好。

在20 mm、40 mm、60 mm、80 mm开始阶段可明显观察到试验的升温速率比数值模拟快，出现“加速增长”段，同时这种现象随着深度的增加逐渐减弱，在120 mm处就不存在了。这种情况的出现主要可能是因为试验在加载情况下进行，混凝土下部产生裂缝，高温气体可直接侵袭混凝土内部，所以试验升温速率较快；随着深度的增加，裂缝宽度减小，再加上温度的绝对数值也减小使得试验的“加速增长”段逐渐平缓，向靠近数值模拟中的升温曲线发展；而在位于受压区的120 mm处，远离裂缝，且开始阶段温度的绝对数值很小，所以没有出现 “加速增长”段。

混凝土试验温度场在稍高于100 ℃的地方出现明显的恒温平台，这主要是由于水分蒸发吸热导致的[11]，而在本文的数值模拟中没有考虑混凝土内部自由水的相变问题，故没有该平台。由于恒温平台的出现，试验的升温曲线在经过恒温平台阶段后，本该低于数值模拟结果；但由于下部裂缝导致的“加速增长”的影响，在20 mm、40 mm处经过恒温平台阶段后两条曲线符合很好，在60 mm、80 mm处甚至稍高于数值模拟结果；但在120 mm处由于没有裂缝的存在，使得在经过恒温平台阶段后，大约80 min处，试验数据低于数值模拟。

4.2 实用图标法、简化计算、数值模拟比较

参照规范表格与简化计算中规定的升温环境，数值模拟取图1中的ISO834升温曲线，室温设定为20 ℃，计算时间取180 min。

同样，选取混凝土板距受火面深度20 mm、40 mm、60 mm(板中)、80 mm、120 mm(背火面)五处为代表截面，所得数据绘于图8。图7为板在不同时刻的温度场云图。

图7 混凝土板温度场云图Fig.7 Temperature nephogram in the RC slab

由图8不难发现，三种方法运算结果的趋势是一致的，特别在20 mm、40 mm处三个结果符合得很好。

数值模拟的结果一直与广东规范给出的结果吻合很好，相差较小。在距离受火面较近的20 mm处数值模拟的结果比广东规范稍小，但在120 mm处比规范数值稍大，这主要是数值模拟中导热系数比广东规范中稍小引起的。

不计系数ηw，ηx非正的部分，简化计算方法的结果在20 mm、40 mm处能与其他结果较好符合，当厚度加大到120 mm时其结果会产生较大偏差。总体来说，简化计算在计算深度较小的时候，结果符合较好；随着计算厚度的增加，计算结果与其他方法相差逐渐变大。

图8 混凝土板中升温曲线Fig.8 Tempreature increase in the middle of the RC slab

5 结 论

通过计算比较，说明了在合理选取参数的前提下，数值模拟与试验法、数值模拟与实用图表法计算结果较一致。

简化计算方便快捷，但只有在ηw，ηx同时为正值时结果才具有意义。由于该方法中没有考虑构件厚度，即背火面的边界条件，所以随着计算深度x的增加误差会逐渐变大。但是，在靠近受火面的深度，计算结果较精确，例如本文计算案例中的20 mm处。建议使用该方法时，计算深度不要超过30 mm。

实用图表法计算快速精确，但只能给出特定火灾情景、混凝土参数条件下的温度场，具有很大的局限性。例如本文中的实用图表法与试验法结果不具可比性。

本文中针对四种混凝土温度场计算方法的比较主要是基于ISO834标准升温曲线下的，若针对不同的火灾场景，各种方法的可行性、一致性、繁简性还有待进一步研究。

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