浅谈主动建构理论在概念教学中的实施与思考

☉江苏省石庄高级中学 张蔓莉

中学数学对数学概念的获得主要认为有两种方式：概念形成和概念同化.概念形成要求在教师引导下，指导学生从具体感性材料抽象概括出新的数学概念，利用大量的生活实例和经验，从感性认知到理性抽象的一种概念构成方式；而概念同化是由教师直接展示概念，并根据学生已有的知识体系和经验，从数学知识的联系角度下手，重在推进式的概念教学方式.而从高中数学课堂教学来看，有时存在重结论轻过程、重灌输轻引导；有时感性认知“情境化过度”，使得理性抽象、形式化达不到，从而无法建构起概念的内涵和外延，无法触及概念的本质.

传统的高中数学教学是以双基为载体，以解题教学为基准，以应试为主要目的的教学，这种教学方式不能培养学生的创造力和创新精神，渐渐为新课程改革所摒弃.新课程的教育理念恰恰重在培养学生主动探索的能力，旨在通过主动地建构去完成对知识的掌握和理解.这一教学理念和美国数学教育家杜宾斯基提出的一种建构主义学说——主动建构理论不谋而合，不仅解决了传统课程模式下只被动接受学习，不主动思考知识的来源这一弊病，还有效地提高了学生从特殊情形抽象成一般情形的演绎归纳能力.

一、“主动建构理论”界定

主动建构理论的出发点：任何一个数学教育理论应该致力于“学生是如何学习的”以及“什么样的教学计划可以帮助这种学习的理解”，而不仅仅是陈述一些事实.主动建构理论是美国数学家、教育家杜宾斯基于1960年提出的，其由操作、过程、对象、图式四部分组成，从美国教育学家杜宾斯基的构建主义学说中，可以看出他认为在数学概念学习的过程中，需要对这个四个组成部分，分别进行学习，也就是在数学概念学习的过程中，需要经历下面四个阶段.

第一经历阶段——操作阶段.操作是指导学生对所学内容首先进行外部刺激，通过该阶段使学生了解教师提供的情境指向，主要目的是通过感官化的素材给与学生概念形成的外部轮廓，为下一阶段的概括塑造基础.

第二经历阶段——过程阶段.在进行了多次熟练的操作阶段之后，学生在脑后渐渐形成了一定的抽象架构，这在心理学中称之为进入“过程”的模式，此时对数学概念的认知不需要大量的感性材料做辅助，而是通过抽象能力对前期处理的操作进行数据处理、抽象概况、思维提升，这是一个思维上升的阶段，也是概念教学中对教师而言稍难处理的环节.

第三经历阶段——对象阶段.经历过程阶段之后，学生能将学习过程完全在具体形象和抽象概况之间熟练转换，这样的过程心理学中称之为对象.我们知道，有了上升的对象阶段的能力，学生在解决具体情境问题时，可利用具体的方式去操作；处理抽象问题时候，利用抽象的特点去完成，这是一个新的高度，既是完成对上一过程的整合，也是进入更高阶段的途径.

第四经历阶段——图式阶段.这是概念学习的最终阶段.将数学概念通过具体、抽象、整合等环节，进入一个精致的心理图形环节.在图形结构中，学生能够清晰地认知到数学概念合适的使用范围.在不同外部情境下的问题，学生可以辨别该问题属于概念范畴的何等层次，有了清晰的图式架构，学生能利用这些脑海中的架构将问题分类置入图式中，做出正确的、应有的心理反应.

下面笔者结合某次市级公开课比赛中某位选手的设计片段来说明如何在教学中运用主动建构理论.所选内容是人教版选修2-2中的《数学归纳法》第一课时.

二、“主动建构理论”案例

1.活动阶段——情境引入，积极思考

探究1：合情尝试

给出n=1，2，3，4，5，6，7，8，请学生动手验算，看这8个函数值能否进行猜测并满足上述猜想.

探究2：实践性尝试

请学生针对探索的可行性进行讨论，并对演绎如何对其进行操作.

设计意图：针对学生了解熟知的或者是相关的探究引入归纳法为主，对符合学生自身认知能力，以及最近发展区，从表面上看教师给出的探究与归纳法没有直接的联系，但实际上教师设置三个探究的目的旨在将数学归纳法的可行性范围融入到学生的潜意识中去，此类探究的另一层目的是让学生感受数学归纳法的感受、形成过程以及自我的建构，了解为什么要学习数学归纳法？学习归纳法有什么用？这样对概念的接触、理解是以螺旋式上升为目的呈现的，通过教师课堂设计，循序渐进地引导学生接触归纳法的核心，这样的引入显得既必不可少又合乎情理.

2.过程阶段——螺旋上升，启迪思维

通过上述探究，学生会发现手段单一、不可行.在进一步研究第一阶段的基础上，将对问题进行提炼、小结、再思考，这一过程的经历相比第一阶段来得稍有抽象，其目的旨在将具体的数学过渡到抽象的数学，体现数学化的本质.在此过程阶段，教师努力引领学生去加深对归纳法的基础和依据的认知、理解.

新的困惑：面对无限的数学等式，学生往往难以接受、难以解决.

设计意图：通过以上研究的几个问题，以及进行的探索，将数学概念中的归纳法进行了明确，为此数学教师，以等差数列和等比数列为例，为学生构建一个最近发展区，让学生证明以上这个命题是成立的.整理这个命题成立的过程中，是学生类比思想形成的过程，也正是通过针对一个真实的数学问题，进行探索和研究，得出了一个全新的数学概念，这个概念就是数学归纳法.

3.对象阶段——对数学概念有一个清晰的认识，可以灵活地使用

在以上两个阶段研究的基础上，在进一步的进行思考和研究.

思考3：上述过程哪种题型可以用新的证明方式？

思考4：通过上述论证，你能不能总结新的论证方法的解题思想和解题过程？

通过以上的两个思考可以给出这个结论：在数学概念中的数学归纳法，让学生亲自参与数学概念的研究过程，可以清楚地、自然地得出数学归纳法形成的每一个步骤.

思考5：多米诺骨牌游戏能不能用这种论证方式进行阐述呢？

设计意图：在上面“活动阶段”和“过程阶段”的基础上，教师引导学生对实际问题进行合理抽象，完成对数学归纳法步骤的小结，以及新的论证方法可以使用的范围，可以将这个数学归纳法中的关键性步骤，准确、及时地给出，教师对其中容易出现错误的地方进行指导，让学生从情境——案例——抽象整个过程中，实现飞跃性的完成.

4.图示阶段——针对错误环节和步骤进行分析，将其数学思维升华

（1）和数学概念中的数学归纳法存在一定关系的，例如，世界上著名的费马质数：在费马质数中给出代数式2P-1，当P为质数时，2P-1这个代数式就为质数代数式.而在费马去世半个多世纪之后，著名的数学家通过自己的理论知识和实验，证明了费马质数的这个命题是错误的.

（2）在世界上，曾经有人声称，其证明了数学数字中所有的奇数都是2的倍数.为此，针对这个问题，进行了课堂总结，针对这个证明，有人提出将这个命题简单地使用三个英语单词将课堂进行了简单利索的结束.我们将这三个单词称之为3W——Why，Where，What.

设计意图：让学生在已经掌握的数学概念、数学知识的基础上，针对其中的数学归纳法，给出一个反例，对其进行分析，证明反例中缺少归纳总结的基础以及数学理论中的递推关系，由此证明这个反例，也让学生明白在数学归纳法研究中，递推关系和基础这两个要素缺一不可.通过采用三个简单的英语单词，引发学生思考，在数学学习中为什么要使用数学归纳法，学生要怎样有效地使用，在何时使用.在整堂课的教学中将主动建构理论运用进去，通过对一个具体题目的层层研究，得到了本节课的主题.

三、主动建构理论的一些认识

对于数学概念教学，最怕的是停留在概念教学的表面，必须层层深入挖掘概念的内涵和外延，最终将其上升到抽象层面，达到图式架构的阶段.在概念教学运用主动建构理论时，实质上是新课标中“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，有助于学生从本质上上理解数学概念.在教学过程中，笔者有以下几点心得体会.

1.选用合适的情景事半功倍

形成概念，需要寻找它生存的现实土壤，需要通过合理的现实情境去发现、总结、归纳概念，既不能只停留在活动表面，也不能过度形式化，这是不符合主动建构理论四个步骤的合理实施的.因此情境问题选择要关注下列方面：（1）可以揭示数学概念的背景和形成过程；（2）层层递进地挖掘概念的产生；（3）有些趣味性，引起大家积极参与.

特别是数学概念的形成，选用合适的情景可以起到事半功倍的效果.通过合理的现实情景去挖掘、发现和总结，满足不同程度的学生自身学习、发展的需求.在数学教学中，通过让学生参与到教学活动中，亲身经历解决数学问题，在参与的过程中引发学生思考，让学生从实际生活中发现数学.在数学教学中采用的概念教学，其目的不仅是对操作层面进行分析和探究，达到图式架构才是其学习的最终目标.

2.让学生经历数学概念的形成过程

著名数学家波利亚曾指出：“学习的最好途径是发现.”而主动建构理论强调的就是学生的学习是一个主动建构的过程，每个学生都是一个主体，都有自己的思维意识，让学生从短短的课堂中体会到概念形成的源头，亲身经历概念的形成过程.如果没有学生的主动参与、自行建构，即使教师讲得天花乱坠，也只能是“对牛弹琴”，学生只记住概念本身，并没有领会概念的实质，起不到良好的作用.

3.主动建构知识的使用范围

主动地对数学知识和数学理论的使用范围进行构建，其实就是在构建主义的基础上，提升的一种全新的概念.在教学中是否所有的概念课程都需要进行构建？是否在构建的过程中都需要经历以上四个阶段？可以明确地告诉你，答案是否定的.同时主动建构理论也不仅仅适用于概念建构，也可以用于更多的数学教学中去.对于一个新的理论，我们要在努力学习的同时，也要用创新、灵活的思想来看待它，使之更好地为我们优化教学设计、把握教学过程服务，更好地为学生认识数学思想服务.

4.值得探讨的问题

所有的概念教学都要经历主动建构理论所描述的四个过程吗？显然不是的.对于这种理论和“本土化”的概念教学四个阶段之间有何区别和练习？还有对于“过程阶段”的理解似乎连杜宾斯基本人在华师大讲座时都无法说清.笔者通过本课的实践，产生了一点的想法：理论并非完美，我们更应该有自己的创新意识，将自己对适用我们教学的理论进行拿来，进行适合本校学情的改造，使其发挥教学的最大功效，这需要教师自身的不断学习和不断发展.