混合系数线性模型的一类有偏估计

蔡择林

(湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002)

混合系数线性模型的一类有偏估计

蔡择林

(湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002)

研究了连续测量数据情况下的混合系数线性模型的参数估计问题. 利用压缩估计方法给出了该模型的一类有偏估计，并讨论了该估计的一些优良性质和压缩系数的选取问题.

混合系数线性模型;stein估计;岭估计;均方误差 .

0 引言

考虑如下混合系数线性模型

z(t)=[x(t)]′a+[y(t)]′β

(1)

式中x(t)=(x1(t),x2(t),…,xp(t))′,y(t)=(y1(t),y2(t),…,yq(t))′,x1(t),x2(t),…,xp(t) 及y1(t),y2(t),…,yq(t)都是t的已知函数，a是p×1的固定系数向量，β是q×1的随机系数向量，且β～(b,∑).

现对m个样品，分别在tij(ti1p+q) 时测得以下数据：

(2)

这里的βi和εij分别是每个样品的随机系数和每次测量的误差，βi与εij独立，且

若记zi=(zi1,zi2,…,zini)′,εi=(εi1,εi2,…,εini)′

则可得

zi=Xia+Yiβi+εi

(3)

式中

设Ci=(Xi,Yi),d=(a′,b′)′,ei=Yi(βi-b)+εi, 则式(3)变为

(4)

进一步，记

D=diag(D1,D2,…,Dm)

z=Cd+e,e～(0,D)

(5)

这里p≥0,q≥0. 显然，当p=0时模型化为完全随机系数形式，当q=0时模型化为一般的线性模型.这里还要求 rank(Xi)=p,rank(Yi)=q,rank(Xi,Yi)=p+qg.混合系数线性模型的结构和性质与一般的线性模型及完全随机系数的线性模型有很大的差异，而在实际问题中又有着广泛的应用背景，如经济分析、可靠性退化分析以及生物学等领域，因此，对该模型的研究无论是从理论上还是从应用角度都是十分重要和必要的.自庄东辰、茆诗松(文献[4])提出了混合系数线性模型以后，许多学者研究了这种模型的参数估计(见文献[5]-[18])，基于(5)，文献[4]给出了d的LS 估计, LS估计虽然无偏，但当系数阵接近病态时， LS估计的均方误差过大，稳定性不好，针对此情况，文献[7]提出了一种有偏估计——Stein估计.本文亦利用压缩估计方法给出了该模型的一类有偏估计，并讨论了该估计的一些优良性质和压缩系数的选取问题.

1 新估计的提出

其中L=CQ,r=Q′d,Q′C′CQ=Λ=diag(λ1,λ2,…,λg)

文献[7]给出了d的如下Stein 估计

(6)

其典则形式为

其中0≤k≤ 1 称为压缩系数

本文给出d的如下估计

(7)

其典则形式为

其中0≤K=diag(k1,k2,…,kg)≤I称为压缩系数。

显然，当K=kI,0≤k≤1 时即为普通stein估计(6),当K=(Λ+S)-1Λ,S=diag(s1,s2,…,sg)≥0 时即为岭估计。

2 新估计的一些性质

证明 显然

其中

lj=(L′ML)jj≥0

引理1 对于模型y=Xβ+e,e～(0,V),

假定X=I,则Ay～β的充要条件为1)AV对称,2)A的所有特征根在[0,1]内.

KL′ML=L′MLK

证明 将模型(5)变为

(C′C)-1C′Z=d+(C′C)-1C′e,(C′C)-1C′e～(0,(C′C)-1C′DC(C′C)-1)

其中A=QKQ′,y=(C′C)-1C′Z,V=(C′C)-1C′DC(C′C)-1

故AV=(AV)′⟺QKQ′(C′C)-1C′DC(C′C)-1=(C′C)-1C′DC(C′C)-1QKQ′ ⟺KΛ-1L′DLΛ-1=Λ-1L′DLΛ-1K⟺KΛ-1L′MLΛ-1+σ2KΛ-1=Λ-1L′MLΛ-1K+σ2Λ-1K⟺KL′ML=L′MLK

A=QKQ′的特征根显然均在[0,1]内，由引理1知，定理得证。

3 压缩系数 K的选取

1)极小化均方误差法

2)极小化均方误差的无偏估计法

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Keywords:mixed-effect coefficient linear model;stein estimator;ridge estimator;mean square error

Anewbiasedestimatorforamixed-effectcoefficientlinearmodel

CAI Ze-lin

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)

In the paper, we consider a mixed-effect coefficient linear model with the repeatedly measured data. Using the shrunken method, a new biased estimator of the model are given and its optimal property is shown. And the optimal value for the shrunken coefficient is established.

2013—09—15

湖北省教育厅科学技术研究资助项目(Q20122203)

蔡择林(1963— )，男，湖北浠水人，教授，主要研究方向为数理统计.

O212

A

1009-2714(2014)01- 0005- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.01.002