多重参数区间软集

许宏伟， 刘卫锋

(郑州航空工业管理学院 数理系，河南 郑州 450015)

多重参数区间软集

许宏伟， 刘卫锋

(郑州航空工业管理学院 数理系，河南 郑州 450015)

将区间软集与多重参数软集相结合，提出了一种新的软集——多重参数区间软集，推广了多重参数软集和区间软集.然后，研究了多重参数区间软集的基本运算和性质.最后，给出多重参数区间软集在决策中的一个应用实例.

软集；区间软集；多重参数软集；多重参数区间软集；决策

1999年，Molodtsov在文[1]中提出了软集的概念，试图从参数化的角度为研究不确定性问题提供统一的数学框架，由于软集与模糊集、粗糙集等不确定性理论具有很强的互补性，因此受到了许多学者的关注和研究,并且成为不确定性理论研究的一个热点.目前，关于软集的研究已经取得了一系列的研究成果，其中，文[2-4]对软集的基本运算等进行了研究，完善了软集的运算体系,文[5-9]将模糊集理论与软集相结合，分别提出了模糊软集、区间模糊软集、Vague集软集、直觉模糊软集和区间值直觉模糊软集,文[10,11]通过将软集和模糊软集的参数集由经典集推广到模糊集，定义了具有模糊化参数的软集和模糊软集，文[12]在考虑多重参数的情况下，提出了多重参数软集，文[13-15]在文[16]基础上，提出了区间软集，进一步推广了软集,文[17-23]研究了软集和模糊软集在决策中的应用.

在上述研究基础上，本文将文[12]中的多重参数软集与文[13-15]中的区间软集相结合，提出了多重参数区间软集的概念，使得多重参数软集和区间软集成为其特例，从而推广了软集的概念.然后，定义和研究了多重参数区间软集的基本运算和性质.最后，通过一个实例说明多重参数区间软集在决策中的应用.

1 相关概念

定义1.1[1]设U是论域，P(U)是其幂集，E是一个参数集，A⊆E.若F:A→P(U)，则称(F,A)为U上的一个软集.

定义1.3[12]设(F，A)和(G，B)是U上两个多重参数软集，称(F，A)是(G，B)的多重参数软子集，如果(1)A⊆B, (2)∀x∈A,F(x)⊆G(x).

定义1.4[12]设(F,A)和(G,B)是U上两个多重参数软集，如果(F,A)是(G,B)的多重参数软子集，且(G,B)是(F,A)的多重参数软子集，那么称(F,A)与(G,B)相等.

定义1.5[12]设E={e1,e2,L,en}是一个参数集，则E的否定集定义并表示为E,，E={e1,e2,L,en}，其中ei为非ei.

称为区间集,这里Al⊆Au.

定义1.7[13-15]设U是论域，E是指标集，A⊆E，F：A→IP(U)是一个映射，称(F,A)是U上的一个区间软集，其中IP(U)表示U上的所有区间集.

IP(U)上的偏序关系≤定义为：

[Al,Au],[Bl,Bu]∈IP(U),[Al,Au]≤[Bl,Bu]⟺Al⊆Bl,Au⊆Bu.

定义1.8[13-15]设(F1,A1),(F2,A2)是U上的两个区间软集，则定义区间软集的运算如下：

(2)(F,A)=(F1,A1)U%(F2,A2),其中A=A1∪A2，

(3)(F,A)=(F1,A1)∩(F2,A2),其中A=A1∩A2，∀x∈A,F(x)=F1(x)∩F2(x).

(4)(F,A)=(F1,A1)∧(F2,A2),其中A=A1×A2,∀(x,y)∈A1×A2, H(x,y)=F1(x)∩F2(y).

2 多重参数区间软集

定义2.1若F：A→IP(U)，则称(F,A)为U上的一个多重参数区间软集.

E2={e21,e22}，E3={e31,e32,e33,e34}，A⊆E,且A=a1={e11},a2={e11,e21},a3={e11,e21,e31},

a4={e12,e32},a5={e13,e22,e34}}，且F(a1)=[{u1,u2},{u1,u2,u4}],F(a2)=[Φ,{u1,u3}],

F(a3)=[{u2,u3},{u2,u3,u5,u6}],F(a4)=[{u3,u4},{u2,u3,u4}],F(a5)=[{u2,u3,u4},U].

则多重参数区间软集表示为:

(F,A)={(a1,[{u1,u2},{u1,u2,u4}]),(a2,[Φ,{u1,u3}]),(a3,[{u2,u3,},{u2,u3,u5,u6}])，

(a4,[{u3,u4},{u2,u3,u4}]),(a5,[{u2,u3,u4},U]).

例2.2 在例2.1中，假设B={a1={e11},a2={e11,e21},a3={e11,e21,e31},a4={e12,e32},a5={e13,e22,e34},a6={e12,e21,e33}},且G(a1)=[{u1,u2},{u1,u2,u3,u4},G(a2)=[{u3},{u1,u3,u4}],G(a3)=[{u2,u3,u4},{u1,u2,u3,u5,u6}]，G(a4)=[{u2,u3,u4},U],G(a5)=[{u2,u3,u4,u6},U],G(a6)=[{u3},{u2,u3,u6}].

定义2.4多重参数区间软集(F，A)的补集(F，A)c定义为(F,A)c=(Fc，A)其中Fc:A→IP(U)，Fc(a)=[U,U]-F(a),∀a∈A,A⊆P(E).

例2.3 多重参数区间软集为例2.1中的(F，A)，则

(F，A)c={(a1,[{u3,u5,u6},{u3,u4,u5,u6}]),(a2,[{u2,u4,u5,u6},U]),

(a3,[{u1,u4},{u1,u4,u5,u6}]),(a4,[{u1,u5,u6},{u1,u2,u5,u6}]),(a5,[Φ,{u1,u5,u6}]).

定理2.1设(F，A)为论域U上的多重参数区间软集，则((F，A)c)c=(F,A).

证明：由定义2.4知，Fc:A→IP(U)，其中Fc(a)=[U,U]-F(a),∀a∈A,A⊆P(E).而(Fc)c:(A)→IP(U)，其中(Fc)c(a)=[U,U]-Fc((a)),∀a∈(A),(A)⊆(P(E)).由于(A)=A,(a)=a,(A)=A,(P(E))=P(E),因此有(Fc)c:A→IP(U)，其中(Fc)c(a)=[U,U]-Fc(a)=F(a),∀a∈A,A⊆P(E)，即((F,A)c)c=(F,A).

定义2.5设(F,A)(G,B)为论域U上的两个多重参数区间软集，则它们的并定义为：

定理2.2设(F，A)，(G，B)，(H，C)为论域U上的多重参数区间软集，则

证明：显然.

定义2.6设(F，A)，(G，B)为论域U上的两个多重参数区间软集，则它们的交定义为：

定理2.3设(F，A)，(G，B)，(H，C)均为论域U上的多重参数区间软集，则

证明：显然.

定理2.4设(F,A),(G,B),(H,C)均为论域U上的多重参数区间软集，则

证明：略.

定义2.7设(F,A),(G,B)为论域U上的两个多重参数区间软集，则它们的与定义为(F,A)∧(G,B)=(H,A×B),其中H(x,y)=F(x)∩G(y),∀(x,y)∈A×B.

定义2.10设(F,A),(G,B)为论域U上的两个多重参数区间软集，则它们的或定义为(F,A)∨(G,B)=(H,A×B)，其中H(x,y)=F(x)∪G(y),∀(x,y)∈A×B.

定理2.5设(F，A)，(G，B)为论域U上的多重参数区间软集，则

((F,A)∧(G,B))c=(F,A)c∨(G,B)c,((F,A)∨(G,B))c=(F,A)c∧(G,B)c.

证明：略.

定理2.6设(F,A),(G,B),(H,C)为论域U上的多重参数区间软集，则

((F,A)∧(G,B))∧(H,C)=(F,A)∧((G,B)∧(H,C))，

((F,A)∨(G,B))∨(H,C)=(F,A)∨((G,B)∨(H,C))，

(F,A)∨((G,B)∧(H,C))=((F,A)∨(G,B))∧((F,A)∨(H,C))，

(F,A)∧((G,B)∨(H,C))=((F,A)∧(G,B))∨((F,A)∧(H,C)).

证明：略.

3 决策应用

由于多重参数区间软集的参数为多个不同方面参数的组合，因此它更能体现出软集的优点，但是我们只要将每一种参数组合视为一个参数，则多重参数区间软集就仍然可以看做是一种区间软集.为此，我们借助文献[15]方法，给出利用多重参数区间软集进行决策的一种方法.具体步骤如下：

步骤1 根据实际情况建立多重参数区间软集(F，A)；

步骤2 将多重参数区间软集(F，A)的每个组合参数看做一个参数，建立多重参数区间软集的表格形式.表格中元素uij确定如下[15]：

对于∀a∈A,F(a)=[F-(a),F+(a)]，显然，F-(a)中元素必属于F(a),U-F+(a)，中元素必不属于F(a)，而F+(a)-F-(a)中元素可能属于F(a).于是，元素uij定义如下：

若uj∈F-(a)，则uij=1；若uj∈U-F+(a)，则uij=0；若uj∈F+(a)-F-(a)，则uij=*，其中uij=*表示我们不确定uj是否属于F(a).

步骤3 建立多重参数区间软集的拓展表格形式；

(F，A)={(a1,[h2,h3,h7,h10},{h2,h3,h6,h7,h10}]),(a2,[{h6,h7},{h1,h6,h7,h8}]),(a3,Φ),

(a4,[{h1,h8,h9},{h1,h8,h9,h10}]),(a5,[{h8},{h1,h7,h8}]),(a6,Φ),(a7,[{h9},{h1,h8,h9}])}

请利用多重参数区间软集帮助购房人选购合适的房子.

步骤1 建立多重参数区间软集的表格形式，见表1.

表1 多重参数区间软集的(拓展)表格形式Table 1 (Extended)Tabular representation of multiparameterized interval soft set

步骤2 建立多重参数区间软集的拓展表格形式，其中*后面括号内元素为F+(a)-F-(a)中元素属于F(a)的概率表示Pa，见表1.

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MultiparameterizedIntervalSoftSet

XU Hong-wei, LIU Wei-feng

(Department of Mathematics and Physics, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou, Henan 450015, China)

Combined interval soft set with multiparameterized soft set, the new soft set called multiparameterized interval soft set was defined, and multiparameterized soft set and interval soft set were generalized. Then, basic operations and properties of multiparameterized interval soft set were discussed. An application of multiparameterized interval soft set in decision making was given.

soft set; interval soft set; multiparameterized soft set; multiparameterized interval soft set; decision making

2013-07-23.

河南省教育厅科学技术研究重点项目(12B110027).

许宏伟(1957-)，男，副教授，江苏无锡人，主要从事应用数学研究.

许宏伟，刘卫锋.多重参数区间软集[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2014，37(4)：320-324.

O159

A

1001-2443(2014)04-0320-05