点—网—面—体，有效复习

赵斌

“空间与图形”是小学数学四大领域内容之一，高年级段教学中将这一领域内容的教学目标定位为：了解一些简单几何体和平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确定物体位置的方法，发展空间观念。单元复习课作为小学课堂教学重要课型之一，在小学数学教学中占有重要的地位。教学目标的达成不仅依赖新授课、练习课，也有赖于单元复习课的有效教学。

高年级“空间与图形”单元复习课如何教学？现笔者结合自己的学习和教学实践经验，谈一些认识和思考。

一、围绕重心，深化各“点”

“空间与图形”中的每一个知识点都不是独立存在的，它们在整个知识体系中分散而又相互联系地存在，共同形成知识体系。而这些知识点，在小学数学课堂教学中有的是重点，有的是非重点；有的让学生难以理解，有的则让学生易于掌握。通过单元复习课，要让学生对一单元学习的知识点有一个宏观的回顾，并通过复习，突出阶段的重点，突破学习难点，查漏并补缺。

1.课前把握重、难点，确定复习突破点

教师在复习课前，对该单元重点和学生学习的难点要有深入的研究，可以通过教材研究、学生课堂学习情况和作业情况反馈得到。了解重、难点后，复习课教学中要进行突出、突破，从而真正使学生“温故”能“知新”。

如在教学五年级上册《多边形面积的计算单元复习》前，笔者对班上学生的学情先进行了调查，对“易错题”进行收集、整理、分析，了解学生本单元学习后认为掌握得不好的地方。整理后发现学生“易错题”主要分成三类：（1）在点子图或方格图中画规定面积的多边形；（2）习题中出现的较难题。如“用长100米的栅栏靠着河边围梯形鸭圈，梯形高为20米，求鸭圈的面积”等；（3）涉及多边形面积的求“几里面有几个几”和“几个几一共是多少”的题，如“已知三角形地的底和高，在地里种菜，每棵菜占地2平方分米或每平方分米种2棵菜，求一共能种多少棵？”等。分析之后可发现：第三类题出错原因是学生对乘、除法意义理解不清，不是这一单元的典型错题，教学中应在各单元中渗透补缺，因此该类问题不是本单元复习课的重点补缺对象；一类、二类题出错原因直接是由本课知识点及知识点间的联系不清所造成，因此这两类问题应作为复习课重点补缺对象。再看二类题和一类题的关系，一类题直接指向多边形面积计算公式及联系本身，主要是因为对多边形图形特征把握不准、对计算公式理解不深；二类题出错既有一类题掌握不熟的原因，也涉及变式、生活实际情况等诸多原因。

因此，教学内容即安排为：第一课时解决一类题，主要以点子图为载体复习多边形面积计算公式及各公式之间的联系；第二课时主要是公式的实际应用和变式。

2.课始自主回顾，回忆知识点

高年级数学单元复习的知识点多，而且是学生已经学习过的内容，因此，对于知识点的呈现就不能像新授课那样一一依次切入。考虑到高年级的学生已具备一定的思维能力和语言组织、表达能力，因此，课始可让学生自主回顾已学过的知识，可以独立思考，也可小组交流之后再回顾，把阶段学习的知识点罗列出来，为下一步知识梳理奠定基础。

3.课间练习，夯实重点，突破难点

选择有针对性、典型性、启发性和系统性问题，引导学生进行练习。通过练习，使学生巩固知识点，提高学生运用知识解决实际问题的能力，发展学生的思维。

如在五年级上册《多边形面积的计算单元复习》的练习环节教学中，笔者首先出示的是各种多边形面积的计算，这是该单元教学的一个重点，习题设置旨在促使全体学生对公式的掌握和应用；再以点子图为载体比较多边形面积，然后再在点子图中画出规定面积的各种多边形。因为这是学生感觉中的难点，而且在点子图中的操作是教材中的基本内容，练习中通过这样的习题设计，能帮助学生夯实基础知识、突破难点。

二、纵横编织，梳理成“网”

如果把回顾知识点看作整理之初级阶段的话，那么，将知识点进行梳理成“网”，使之纳入到学生的认知体系中则是整理复习的高级阶段了。知识回顾可主要由学生自主完成，知识的梳理则需要教师有针对性地引领与学生的独立思考、合作交流相结合，帮助学生来完成。梳理时，既要将一个单元知识点梳理成知识网片段，也要适度将这一片段放置到知识体系中，引导学生宏观审视知识点在整个知识体系的位置，将梳理成的网络通过直观的板书呈现，帮助学生将其纳入认知体系中。

1.知识梳理，建构知识网

例如六年级下册教材《总复习——图形的认识》这部分内容知识点很多，包括直线、射线、线段、垂线、平行线的知识，锐角、直角、钝角、平角、周角的认识，长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆、扇形、五边形等知识。其中三角形的知识又包括三角形的分类、三角形三边长度的关系和角的特征等知识；四边形又可辐射出长方形、正方形、平行四边形、梯形等图形，每种图形又可辐射出图形的特征等知识；圆这一图形又能连出其特征及其相关概念。这一课时的教学如果能拎出这个知识网的起点，并沿着由易至难、由简单到复杂的线路进行梳理、辐射，有利于学生掌握知识点，完善认知结构。

2.适度延伸，开放知识网

“空间与图形”内容的一个单元或一个阶段教学的知识点，自身间既存在着或横向或纵向的联系，同时在整个知识体系中又起着或承上或启下或兼而有之的作用。因此，要让学生在宏观上更清晰地学习整个“空间与图形”知识体系，让学生更有效地建构完善的认知体系。我们的复习课不能只是在这一小段知识“链”或“网”上徘徊，适度将知识网横向、纵向延伸，让学生初步意识到该段内容在前后教学中所处的位置的同时，也可为下一阶段的教学打好基础。

笔者执教的五年级上册《多边形面积的计算单元复习》，在引导学生对多边形面积公式的推导进行梳理后，将整理的知识放置成树状（如图1），通过提问：“这个图形像什么？”“这些‘？你认为是什么？”引发学生的想象和联想。有的学生将其想象成树，故名“图形树”“知识树”。对其中的“？”，学生将其想成圆形、五边形等图形。通过引发学生猜想及教师简单的介绍将本课知识适度延伸。

图1

3.简洁板书，呈现知识网

板书在教学中一直起着重要的作用，简洁而条理清晰的板书在“空间与图形”复习课中作用更为突出：其一有利于加强学生的记忆。心理学研究表明，人在获得外部信息时，其中由视觉获得的信息占83%，复习课中整理出的知识点需要学生记忆，简洁、凝练的板书有助于学生的记忆；其二有助于学生抽象思维能力和空间观念的发展，知识梳理过程中以一定的点、线、简易图形、符号显示出来，知识间各关系以线条、箭头等形式呈现，可以帮助学生的思维由形象思维向抽象思维的发展，也有助于其空间观念的发展；其三有助于学生认知结构的完善，复习过程中梳理出的知识网络以板书的形式直观呈现，有助于学生将知识体系纳入到认知体系中。

三、精设练习，全面应用

复习课中的练习环节，除了要承载“巩固知识点、夯实重点、解决难点”的功能，还需担负起知识梳理、建构知识网络体系和提升学生解决现实问题能力的职责。具体教学策略有以下三点：

1.置于生活情景，现实地应用

“数学课程的内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，不断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系，使生活和数学融为一体。”体现在练习环节，教师要注重创设富有数学知识的生活情境，鼓励学生综合、灵活地选用复习的数学知识解决生活问题。

2.置于知识系统，贯通地应用

所学各分散知识点间的联系要稳定纳入到学生的认知体系中，不仅需要复习教学中的“回顾”、“梳理”环节的有效实施，还需要通过引导学生在“练习”环节予以深化，这就需要教师在“练习”环节尽可能统观知识体系，设计有助于稳固认知体系的练习。

笔者在教学五年级上册教材《多边形面积的计算单元复习》时，先呈现各平面图形（如图2，没有点子图和数据），引导学生估计各平面图形的面积关系；再出示完整的图2，让学生试着“不计算，如何能得出各平面图形的面积关系”，从而引导学生利用刚复习的各平面图形面积计算公式，抽象地推理出各图形的面积关系；最后再引导学生动手探索“你们能将平行四边形、三角形、梯形再变一变，使它们的面积都和长方形面积相等吗”，从而深化学生对各图形面积计算公式的理解，并将知识体系更深地纳入认知体系中。

图2

3.巧构题组练习，全面地应用

一位老师在教学六年级上册《长方体和正方体单元整理与复习》时设计了这样的练习：一个正方体玻璃鱼缸，棱长5分米。（只列式不计算）

（1）在鱼缸里注入50升水，水深大约多少厘米？（玻璃厚度忽略不计）

（2）再在水里放入鹅卵石、水草和鱼，水面上升了2.5厘米。这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是多少立方厘米？

（3）如果想将2个这样的金鱼缸装在一个外包装箱里，不计算接头处与损耗，最少需要多少硬纸片？

这样的练习，不是单个知识的简单应用，而是将该单元知识点熔为一炉，将数学知识与生活现实有机融合。通过这样的练习，帮助学生在应用知识解决问题的同时加强长方体、正方体之间的联系，提高学生应用知识解决现实问题的能力。

四、促进发展，整体提升

教学的目的是帮助学生获得整体的提升，小学高年级“空间与图形”内容的复习课教学也是如此。针对该学段学生的年龄特点、学习内容的特点、复习课型的特点，我们的教学尤其应重视从这两方面，以促进学生的全面发展。

1.“空间与图形”内容离不开空间观念的发展

例如一位教师在执教《长方体和正方体的整理与复习》一课时，设计了如下习题：

一个长方体的长是80分米，宽是30分米，高是40分米。

（1）可以求什么？

（2）6个面中最小的一个面的面积是多少？最大的一个面的面积是多少？占地面积是多少平方分米？

（3）如果是个金鱼缸，需要多少平方分米玻璃？

（4）如果是一节通风管，需要多少平方分米的铁皮？

（5）从这个长方体上截下一个最大的正方体，剩下部分的体积是多少？

通过这样的一组习题，激发了学生的空间想象力，丰富了学生对空间和图形的认识，有效促进了学生的空间观念的发展。

2.高年级数学教学离不开抽象思维和推理能力的发展

“空间与图形”内容的学习在小学阶段主要是以形象思维为主，因此在教学中常以实物、模型、图形等为载体辅助教学，尤其是在新授课中。但高年级学生抽象思维能力已有一定程度发展，同时在复习课前的学习中，学生已积累了一定的图像表象，这就要求我们在高年级单元复习课的教学中，要进一步促使学生思维从形象思维向抽象思维过渡，发展学生的抽象思维能力。当然，小学阶段“空间与图形”内容的教学的前提是不能完全抛开形象思维。同时，“空间与图形”内容也是提高学生推理能力的有效载体，高年级的数学教学也要让学生在这方面有所发展。

如在上文中对“图2”的教学环节中，引导学生通过各个多边形面积计算公式抽象地比较面积的大小，有助于培养学生合情推理的能力。最后引导学生探索：“你们能将平行四边形、三角形、梯形再变一变，使它们的面积都和长方形面积相等吗？”引导学生通过想公式、推关系、画图形，逆向进行抽象思维，再以直观形式表现出来。在形象和抽象的比照中，在顺向和逆向的转换中培养学生的推理能力和抽象思维能力。