复习教学中感悟数学活动的特点

顾锋

数学家波塞尔这样描述数学活动：数学是人类的一种最重要的活动；数学活动是包容了从粗俗的手工劳作到高雅的理性发现的系统活动.比如，函数概念的形成，就是人们在生活实践活动中对相变化关系的量逐渐感悟、领会，并通过数学形式的精微活动而逐渐得以发展的.

下面通过高二年级“导数在函数中的运用”的第一节复习课的教学设计，来感悟数学活动教学的特点.

一、学生参与活动的主动性

人的活动是丰富多彩的，因而数学活动的对象也是丰富多彩的.教学中数学活动的对象基本有两类：一类是以实物存在的客观事物和客观环境，另一类是以心理映象或符号存在的心理表象.根据高中学生的思维特点，数学教学活动应适当应用双重编码即形象编码和语义编码.通过将静态对象动态化，抽象概念形象化，激发学生活动的主动性、积极性和能动性，从而在对活动对象的占有、改造过程中主动实现主体的发展.

“导数在函数中的应用”的第一节复习课，着重是复习导数在研究函数的单调性中的应用.它包括利用导数求函数的单调区间，已知函数的单调性，用导数法求参数的取值范围，约束条件下求参数的值等几个模块.在进行教学设计时，教师可以安排了如下四道题目作为学生的课前小练.（1）函数y=x3-3x2+4x的单调性为；（2）函数f（x）=xlnx的单调减区间为；（3）函数y=ex·sinx在[0，π]的单调增区间是；（4）已知a<0，函数f（x）=y3+ax2-a2x+2的单调减区间为.复习课一开始，首先请学生汇报结果并相互纠错，然后请两个学生总结导数在研究函数单调性中的有关知识，由学生提炼出如求单调区间的前提是求定义域等注意点.接着，教师给出例1：求函数y=12x2-2x+lnx的单调区间.设计例1的目的：一是为巩固学生在课前小练总结的结论；二是为下面的变题服务.变题：求函数f（x）=sinx2cosx-1，x∈[0，π）的单调区间.学生在例1的变题中，易忽略2cosx-1≠0这一限制条件.这一设计是为了激发学生在探究活动中的主动性，从而在对旧知的改造过程中实现主体性的发展.

二、学生参与活动的整体性

数学活动的整体性，一方面是指数学活动的结构具有整体性，即学生主动的活动应该由外部活动和内部活动两个部分组成.另一方面，数学活动的整体性是指数学活动过程的整体性.从教学活动的运行机制来看，教学过程正是学生主体的外部活动与内部活动的双向转化过程.具体地说，数学活动既是一个操作活动数学化，又是数学材料逻辑化、逻辑材料实践化的过程.这三个过程转化正是一个由外而内、由内而外的物质活动和观念活动相互联系，相互作用，相互渗透的过程，是学生主体活动外化和内化的统一.

已知函数的单调性，用导数法求参数的取值范围的复习，教师可以根据学生参与活动的整体性，设计例2：函数f（x）=ax―12x―lnx在（0， +∞）上是增函数，求a的范围.变题：已知函数f（x）=4x+ax2-23x3在区间（0，1]是减函数，求实数a的取值范围.而在例2的变题中，学生意识到f′（x）=4x+2ax-2x2≤0对x∈[-1，1]恒成立，即不等式x2-ax-2≥0在x∈（0，1]要恒成立.如果采用例2求最值的方法，比较烦琐，故要求学生想出其他解法.学生经过讨论，想出参变分离的方法.在例2及变题的设计中，笔者并未一味地将解法灌输给学生，让学生被动地接受，而是由学生自己总结出参变分离的方法，并指出这种方法与求极值方法的各自适用情况，适用的条件及题目中关键词对参变分离方法的暗示等.由此，体现了数学活动教学的特点.

三、学生参与活动的开放性

数学活动的开放性具体体现在数学活动内容的多样性和选择性，数学活动过程的动态化、活动空间的广阔性和活动结果的多样化.对于某段教学过程，通过教师的恰当引导，思维活动层层深入，确保了学生的主体地位，充分发挥和发展学生的主体性，从而实现了学生不是知识的被动接受者，而是主动的发现者和探求者.这同时也表明，学生能力的形成和发展起自于学生参与活动的开放度，起自于学生这个主体的积极过程，离开了主体的活动，也就没有学习的动力而言了.

四、学生参与活动的建构性

数学是数学认知结构的改造和重新组织.数学有意义学习特别强调原有认知结构对新知识学习的作用，同时强调学习材料本身的内在逻辑结构.有内在逻辑结构的材料与学生原有认知结构关联起来，新旧知识相互作用，建立起非人为和实质性联系，才能导致学习者在头脑中获得新知识的意义，这种主客体相互作用的活动过程，会使学习的主体的能力和倾向发生相对稳定的变化.endprint

数学家波塞尔这样描述数学活动：数学是人类的一种最重要的活动；数学活动是包容了从粗俗的手工劳作到高雅的理性发现的系统活动.比如，函数概念的形成，就是人们在生活实践活动中对相变化关系的量逐渐感悟、领会，并通过数学形式的精微活动而逐渐得以发展的.

下面通过高二年级“导数在函数中的运用”的第一节复习课的教学设计，来感悟数学活动教学的特点.

一、学生参与活动的主动性

人的活动是丰富多彩的，因而数学活动的对象也是丰富多彩的.教学中数学活动的对象基本有两类：一类是以实物存在的客观事物和客观环境，另一类是以心理映象或符号存在的心理表象.根据高中学生的思维特点，数学教学活动应适当应用双重编码即形象编码和语义编码.通过将静态对象动态化，抽象概念形象化，激发学生活动的主动性、积极性和能动性，从而在对活动对象的占有、改造过程中主动实现主体的发展.

“导数在函数中的应用”的第一节复习课，着重是复习导数在研究函数的单调性中的应用.它包括利用导数求函数的单调区间，已知函数的单调性，用导数法求参数的取值范围，约束条件下求参数的值等几个模块.在进行教学设计时，教师可以安排了如下四道题目作为学生的课前小练.（1）函数y=x3-3x2+4x的单调性为；（2）函数f（x）=xlnx的单调减区间为；（3）函数y=ex·sinx在[0，π]的单调增区间是；（4）已知a<0，函数f（x）=y3+ax2-a2x+2的单调减区间为.复习课一开始，首先请学生汇报结果并相互纠错，然后请两个学生总结导数在研究函数单调性中的有关知识，由学生提炼出如求单调区间的前提是求定义域等注意点.接着，教师给出例1：求函数y=12x2-2x+lnx的单调区间.设计例1的目的：一是为巩固学生在课前小练总结的结论；二是为下面的变题服务.变题：求函数f（x）=sinx2cosx-1，x∈[0，π）的单调区间.学生在例1的变题中，易忽略2cosx-1≠0这一限制条件.这一设计是为了激发学生在探究活动中的主动性，从而在对旧知的改造过程中实现主体性的发展.

二、学生参与活动的整体性

数学活动的整体性，一方面是指数学活动的结构具有整体性，即学生主动的活动应该由外部活动和内部活动两个部分组成.另一方面，数学活动的整体性是指数学活动过程的整体性.从教学活动的运行机制来看，教学过程正是学生主体的外部活动与内部活动的双向转化过程.具体地说，数学活动既是一个操作活动数学化，又是数学材料逻辑化、逻辑材料实践化的过程.这三个过程转化正是一个由外而内、由内而外的物质活动和观念活动相互联系，相互作用，相互渗透的过程，是学生主体活动外化和内化的统一.

已知函数的单调性，用导数法求参数的取值范围的复习，教师可以根据学生参与活动的整体性，设计例2：函数f（x）=ax―12x―lnx在（0， +∞）上是增函数，求a的范围.变题：已知函数f（x）=4x+ax2-23x3在区间（0，1]是减函数，求实数a的取值范围.而在例2的变题中，学生意识到f′（x）=4x+2ax-2x2≤0对x∈[-1，1]恒成立，即不等式x2-ax-2≥0在x∈（0，1]要恒成立.如果采用例2求最值的方法，比较烦琐，故要求学生想出其他解法.学生经过讨论，想出参变分离的方法.在例2及变题的设计中，笔者并未一味地将解法灌输给学生，让学生被动地接受，而是由学生自己总结出参变分离的方法，并指出这种方法与求极值方法的各自适用情况，适用的条件及题目中关键词对参变分离方法的暗示等.由此，体现了数学活动教学的特点.

三、学生参与活动的开放性

数学活动的开放性具体体现在数学活动内容的多样性和选择性，数学活动过程的动态化、活动空间的广阔性和活动结果的多样化.对于某段教学过程，通过教师的恰当引导，思维活动层层深入，确保了学生的主体地位，充分发挥和发展学生的主体性，从而实现了学生不是知识的被动接受者，而是主动的发现者和探求者.这同时也表明，学生能力的形成和发展起自于学生参与活动的开放度，起自于学生这个主体的积极过程，离开了主体的活动，也就没有学习的动力而言了.

四、学生参与活动的建构性

数学是数学认知结构的改造和重新组织.数学有意义学习特别强调原有认知结构对新知识学习的作用，同时强调学习材料本身的内在逻辑结构.有内在逻辑结构的材料与学生原有认知结构关联起来，新旧知识相互作用，建立起非人为和实质性联系，才能导致学习者在头脑中获得新知识的意义，这种主客体相互作用的活动过程，会使学习的主体的能力和倾向发生相对稳定的变化.endprint

数学家波塞尔这样描述数学活动：数学是人类的一种最重要的活动；数学活动是包容了从粗俗的手工劳作到高雅的理性发现的系统活动.比如，函数概念的形成，就是人们在生活实践活动中对相变化关系的量逐渐感悟、领会，并通过数学形式的精微活动而逐渐得以发展的.

下面通过高二年级“导数在函数中的运用”的第一节复习课的教学设计，来感悟数学活动教学的特点.

一、学生参与活动的主动性

人的活动是丰富多彩的，因而数学活动的对象也是丰富多彩的.教学中数学活动的对象基本有两类：一类是以实物存在的客观事物和客观环境，另一类是以心理映象或符号存在的心理表象.根据高中学生的思维特点，数学教学活动应适当应用双重编码即形象编码和语义编码.通过将静态对象动态化，抽象概念形象化，激发学生活动的主动性、积极性和能动性，从而在对活动对象的占有、改造过程中主动实现主体的发展.

“导数在函数中的应用”的第一节复习课，着重是复习导数在研究函数的单调性中的应用.它包括利用导数求函数的单调区间，已知函数的单调性，用导数法求参数的取值范围，约束条件下求参数的值等几个模块.在进行教学设计时，教师可以安排了如下四道题目作为学生的课前小练.（1）函数y=x3-3x2+4x的单调性为；（2）函数f（x）=xlnx的单调减区间为；（3）函数y=ex·sinx在[0，π]的单调增区间是；（4）已知a<0，函数f（x）=y3+ax2-a2x+2的单调减区间为.复习课一开始，首先请学生汇报结果并相互纠错，然后请两个学生总结导数在研究函数单调性中的有关知识，由学生提炼出如求单调区间的前提是求定义域等注意点.接着，教师给出例1：求函数y=12x2-2x+lnx的单调区间.设计例1的目的：一是为巩固学生在课前小练总结的结论；二是为下面的变题服务.变题：求函数f（x）=sinx2cosx-1，x∈[0，π）的单调区间.学生在例1的变题中，易忽略2cosx-1≠0这一限制条件.这一设计是为了激发学生在探究活动中的主动性，从而在对旧知的改造过程中实现主体性的发展.

二、学生参与活动的整体性

数学活动的整体性，一方面是指数学活动的结构具有整体性，即学生主动的活动应该由外部活动和内部活动两个部分组成.另一方面，数学活动的整体性是指数学活动过程的整体性.从教学活动的运行机制来看，教学过程正是学生主体的外部活动与内部活动的双向转化过程.具体地说，数学活动既是一个操作活动数学化，又是数学材料逻辑化、逻辑材料实践化的过程.这三个过程转化正是一个由外而内、由内而外的物质活动和观念活动相互联系，相互作用，相互渗透的过程，是学生主体活动外化和内化的统一.

已知函数的单调性，用导数法求参数的取值范围的复习，教师可以根据学生参与活动的整体性，设计例2：函数f（x）=ax―12x―lnx在（0， +∞）上是增函数，求a的范围.变题：已知函数f（x）=4x+ax2-23x3在区间（0，1]是减函数，求实数a的取值范围.而在例2的变题中，学生意识到f′（x）=4x+2ax-2x2≤0对x∈[-1，1]恒成立，即不等式x2-ax-2≥0在x∈（0，1]要恒成立.如果采用例2求最值的方法，比较烦琐，故要求学生想出其他解法.学生经过讨论，想出参变分离的方法.在例2及变题的设计中，笔者并未一味地将解法灌输给学生，让学生被动地接受，而是由学生自己总结出参变分离的方法，并指出这种方法与求极值方法的各自适用情况，适用的条件及题目中关键词对参变分离方法的暗示等.由此，体现了数学活动教学的特点.

三、学生参与活动的开放性

数学活动的开放性具体体现在数学活动内容的多样性和选择性，数学活动过程的动态化、活动空间的广阔性和活动结果的多样化.对于某段教学过程，通过教师的恰当引导，思维活动层层深入，确保了学生的主体地位，充分发挥和发展学生的主体性，从而实现了学生不是知识的被动接受者，而是主动的发现者和探求者.这同时也表明，学生能力的形成和发展起自于学生参与活动的开放度，起自于学生这个主体的积极过程，离开了主体的活动，也就没有学习的动力而言了.

四、学生参与活动的建构性

数学是数学认知结构的改造和重新组织.数学有意义学习特别强调原有认知结构对新知识学习的作用，同时强调学习材料本身的内在逻辑结构.有内在逻辑结构的材料与学生原有认知结构关联起来，新旧知识相互作用，建立起非人为和实质性联系，才能导致学习者在头脑中获得新知识的意义，这种主客体相互作用的活动过程，会使学习的主体的能力和倾向发生相对稳定的变化.endprint