谈高中数学教学中数学知识意义的发掘

成春霞

高中数学知识对于学生有哪些作用呢？如果只认为其具有应付考试的作用，那这样的认识显然是狭隘的。但若真的要让久经应试的老师去发掘数学知识的其它意义，似乎又有些困难。为什么会出现这样的情形呢？笔者认为可能是因为作为教学一线的数学教师，在面对学生的成长时，视野可能还不够开阔。知道了原因，问题也就有了解决的希望，笔者以“正弦定理”的教学为例，进行了一次数学知识意义的发掘旅程。

一、教材分析，数学意义发掘的首要步骤

这里所说的教材分析，是指从学生的知识积累、思维发展、数学理解等角度进行的分析。其中，知识积累是数学教学的应有之义，思维发展也是数学教学的常规要求，而数学理解则常常是游离于数学教师视野之外，却是学生数学素养提升十分重要的因素。

从内容地位的角度来看，正弦定理一方面是前面三角形知识的“升级版”，揭示了三角形边与角之间的关系，同时又综合了三角函数知识与平面向量的知识，而往后看，正弦定理又是后面更为复杂的余弦定理的学习前奏。因此在学习本知识之前，要帮学生梳理好前面三角形及三角函数之类的知识，同时又要考虑到本知识的学习可能会给后面的余弦定理带来的积极作用；从思维发展的角度来看，正弦定理可以说是第一次比较明确地确定了三角形边与角的关系，因而在打开学生对三角形（包括多边形）边与角的关系的思路上，具有重要的地位。且在学生的学习过程中，正弦定理的得出运用到化归思想，显然本知识又是一次数学思想的再次重复；而从数学理解的角度来看，正弦定理迈开了任意三角形的角边关系求解的第一步，这是数学研究中特殊走向一般的普遍规律，其中涉及到数学课程标准特别强调的“问题解决”的相关内容，而在问题解决过程中又涉及到数学问题研究的思路与方法，涉及到用数学视角看待问题、研究问题并解决问题的过程，培养学生严密的逻辑推理与理性精神，是数学理解的重要施力点。

一般来说，出现在高中教材中的数学知识，所蕴含的意义都是十分丰富的，但这种意见的发现需要教师的一双慧眼。实际上，意义的发现也没那么神奇，无非是从数学促进学生发展的角度去看待数学教学。

二、教学实践，数学意义发掘的实现步骤

一段数学意义是否能够最终实现，关键还在于教学实践。笔者在发现“正弦定理”知识意义的过程中，经历了这样的教学过程。

其一，教学引入。引入语言是：在人类的生活中，利用三角形解决实际问题，是一件彰显数学智慧的事情。在以前的学习中，我们还很少利用三角形知识去解决实际问题，今天我们就来尝试一下。出示实际问题：在一条河的两岸，分别住着两个人家A和B（AB连线与河不垂直）。现在只给你一把米尺和量角器，你能测出这两个人家之间的距离吗？

数学意义：本问题的情境十分接近现实，而问题的解决需要学生根据文字描述去建立适当的模型（数学建模），一般情况下，学生可能建立的模型是以A、B连线为直角边，C为直角的直角三角形，利用余弦函数即可求出相应的距离。而这样的情境创设，显然可以帮学生确立数学知识可以致用的认识。

其二，新课教学（拓展延伸）。以刚才学生构建的直角三角形为载体，在刚才运用余弦函数的基础上，引导学生拓展延伸：直角三角形ABC 中还有哪些边角关系？学生此时可以顺利地回答出正弦、余弦、正切、余切等关系，然后教师将正弦关系挑选出来并在黑板上利用板书进行上下对应的呈现：sinA=a/c；sinB=b/c；然后将其变形为c=a/sinA；c=b/sinB。当这一形式出现之后，教师停顿片刻以让学生对比以发现规律，并进而思考、猜想，学生自然就会产生一种想法：边a、b以及角A、B都有了，那边c与角C有可能出现吗？由于是直角三角形，c=c/sinC的关系也就自然而然地出现了。

那么，对于一般的三角形，这样的关系是否成立呢？于是作一个任意三角形，并将目光锁定在角与对应边的正弦上，就成了学生下一步探究的内容。由于上面知识的启发，学生在这里一般都会想到作高的方法，但作一条高往往只能寻找到一对关系，于是需要作出另一条边上的另一个高……于是问题就迎刃而解。

数学意义：一般情况下，如果遵循简单的模式实施本内容教学，那学生的思维过程可能是生硬的、被动的，而在这样的情境中，学生的思维是一贯的、自然的。其数学意义主要体现在在数学建模的基础上，通过数学知识的综合运用，寻找到从直角三角形到一般三角形的角与边的关系，尤其是根据数学表达式的对称美猜想完全的对应关系，这是本课教学的一个重点，也是数学美的一种体现。

其三，数学语言。当正弦定理的表达式出现之后，如何表达其实也是一个重要问题。重点在于训练学生对数学语言精确性的理解。

数学意义：数学语言的精确性、简洁性。

三、教学总结，数学意义发掘的“启后”步骤

一般情况下，学生自己是很少考虑数学意义的，这就需要教师在教学的过程中进行引领。在高中数学教学中，有价值的引领方法往往是让学生体会到数学知识前后的一贯性，通过一个知识学习之后的教学总结，让学生发现数学学习的一般规律，为后面数学知识的学习做好准备。

而这就要求教师对数学知识的体系有一个准确理解，对高中数学知识发展的脉络有一个清晰的把握。譬如本课知识的教学，在得出正弦定理的过程中所用到的化归思想，就必须在定理得出之后再跟学生梳理；基于数学对称美而进行的猜想，就必须在定理得出之后再跟学生强调；而数学语言的精确性则可在正弦定理得出过程中，基于学生自己得出的结论，不断地进行梳理、删减、抽象而体验。如果能切实做到这样，那就为后面的余弦定理的学习打下坚实的数学基础。有经验的老师可以发现，两者之间在得出过程、对称美、数学语言上有着很大的相似性。

事实表明，如果在数学教学中，能够从数学意义的角度去思考这种“启后”性，对于学生数学学习中的可持续发展是有着极大的促进作用的。而且，这样的教学方式，可以解决高中数学难学的问题，可以让学生对新的知识自主产生预期感和学习过程中的成就感。

综上所述，在高中数学教学中发掘数学知识的意义，不仅可以帮学生建构数学知识，更可以促进学生在数学学习中地可持续发展，可谓一举两得，必须长期坚持！

（作者单位：江苏省海门实验学校）