一类解析函数类的凸性

李小飞，熊良鹏

（1.长江大学工程技术学院，湖北 荆州434020；2.成都理工大学工程技术学院，四川 乐山614000）

0 引言

本文中用U表示复平面内的单位圆盘U＝｛z：｜z｜＜1，z∈C｝，并用H（U）表示U内的解析函数族，S表示U内的单叶函数族.记

并记A（1，1）＝A.定义

为p叶α阶星象函数类［1-2］，并记S＊1（1，α）＝S＊（α）表示传统意义下的α阶星象函数类，S＊1（1，0）＝S＊表示传统意义下的星象函数类.定义

为p叶α阶凸函数类［3-4］，并记K1（1，α）＝K（α）表示传统意义下的α阶凸函数类，K1（1，0）＝K表示传统意义下的凸函数类.由定义容易知道，Kn（p，α）⊂S＊n（p，α）⊂S.

Frasin［5］定义了A中的函数类B（μ，α）：

Macarie V M等［6］定义了积分算子函数：

本文中新定义一类函数类BS（n，p，μ，α）：

当μ＝1时，BS（n，p，1，α）当p＝n＝1时，BS（1，1，μ，α）＝B（μ，α）；当p＝n＝1，μ＝0时，BS（1，1，0，α）⊂R（α），许多作者［7-11］研究过这些函数类的性质.本文中利用解析函数理论，研究得到函数类BS（n，p，μ，α）中积分算子函数Hn（z），H（z），G（z）的凸性和α阶凸性.

1 主要结果

引理1.1［12］设函数f（z）是圆盘UR＝｛z∈C，｜z｜＜R｝内的解析函数且｜f（z）｜≤M，M是回定的非负实数.若f（z）在z＝0处有大于或等于m阶的零点，则等号（不等式中z≠0）成立当且仅当这里θ为常数.

定理1.2 设fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1为常数，则Hn（z）∈Kn（p，δ），这里

定理1.2的证明 假设fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），i＝1，2，…，n，则

令

因此，Hn（z）∈Kn（p，δ）.

推论1.3 设fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＞p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤M，M≥1为常数，则Hn（z）∈Kn（p，δ），这里则即因此

推论1.3的证明 在定理1.2中令Mi＝M即可.

推论1.4 设fi（z）∈B（μi，αi），μi≥0，0≤αi＜1，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1为常数，则Hn（z）∈这里

推论1.4的证明 在定理1.2中令n＝p＝1即可.

推论1.5 设fi（z）∈R（αi），0≤αi＞1，i＝1，2，…，n，则Hn（z）∈K（δ），这里

推论1.5的证明 在定理1.2中令n＝p＝1，μi＝0，i＝1，2，…，n即可.

推论1.6 设fi（z）∈S＊n（p，αi），0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1为常数，则Hn（z）∈Kn（p，δ），这里

推论1.6的证明 在定理1.2中令μi＝1，i＝1，2，…，n即可.

定理1.7 设fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1为常数，则H（z）∈Kn（p，δ），这里1］＋n｜β-1｜≤1，β∈C／｛0｝.

定理1.7的证明 假设fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），i＝1，2，…，n，则

且

由引理1.1可知，对i＝1，2，…，n，有且｜z｜p＜1.又fi（z）∈BS（n，p，μi，αi）知，所以，

因此，H（z）∈Kn（p，δ）.

推论1.8 设fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤M，M≥1为常数，则H（z）∈Kn（p，δ），这里1］＋n｜β-1｜≤1，β∈C／｛0｝.

推论1.8的证明 在定理1.7中令Mi＝M，i＝1，2，…，n即可.

推论1.9 设fi（z）∈B（μi，αi），μi≥0，0≤αi＜1，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1为常数，则H（z）∈K（δ），这里1，β∈C／｛0｝.

推论1.9的证明 在定理1.7中令n＝p＝1即可.

推论1.10 设fi（z）∈S＊n（p，αi），0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1为常数，则H（z）∈β∈C／｛0｝.

推论1.10的证明 在定理1.7中令μi＝1，i＝1，2，…，n即可.

定理1.11 设fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1为常数，

则G（z）∈Kn（p，δ），这里Kn（p，δ），这里

定理1.11的证明 假设fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＜p，由G（z）的定义，知由引理1.1和fi（z）的定义可得，

推论1.12 设fi（z）∈BS（n，p，μi，αi），μi≥0，0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）≤M，M≥1为常数，则G（z）∈Kn（p，δ），这里

推论1.12的证明 在定理1.11中令Mi＝M，i＝1，2，…，n即可.

推论1.13 设fi（z）∈B（μi，αi），μi≥0，0≤αi＜1，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1为常数，则G（z）∈K（δ），这里

推论1.13的证明 在定理1.11中令n＝p＝1即可.

推论1.14 设fi（z）∈S＊n（p，αi），0≤αi＜p，i＝1，2，…，n，若｜fi（z）｜≤Mi，Mi≥1为常数，则G（z）∈Kn（p，δ），这里

推论1.14的证明 在定理1.11中令μi＝1，i＝1，2，…，n即可.

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