随机产出和需求下的定价与库存控制研究综述

王东红

（1.北京交通大学 经济管理学院，北京 100081；2.广西财经学院 管理科学与工程学院，广西 南宁 530003）

1 引言

现实生活中，由于受到市场环境的影响，对产品的需求往往具有很大的不确定性，因此，在供应链的生产、库存和定价问题的研究中，更多的是考虑到需求的不确定性。但实际上，供应商的供应和生产商的生产能力或产出(Yield)的不确定性对库存和定价问题的研究同样有着重要的影响。因此，在过去的几十年里，随机产出也成为生产和库存领域的一个重要研究对象，同时也是一个难点问题。产出的随机性往往是由于一些难以预测的突发事件引发的，比如无法预料的自然灾害、机器的损坏、经济事件（例如工人罢工）、未计划的设备维修导致的停产或系统故障等因素。Chopra和Sodhi(2004)，Serel(2008)讨论了一些与产出随机性相关的问题，并列举了大量的现实例子。例如，在半导体和电子产品制造业中，由于产品制造过程和工艺特性使得某些电子产品的有效产量是具有随机性的。又比如，一些农产品(蔬菜、瓜果等)，其生产种植和销售都受到季节和天气的严重影响，在投入一定农资数量的情况下，其产量却是难以确定的。除此之外，采购全球化(Global Sourcing)趋势引入了更多的不确定性因素，例如金融市场波动、订货提前期(lead-time)延长、各种可能的供货延迟等，都无疑增加了供应和产出的不确定性。

传统的库存控制模型一般把需求率看成固定的常数，产出也是确定的，价格又是一个外生变量，这种类型的库存决策模型没有办法真正解决实际中随机环境下的库存补货策略和定价问题。近年来，许多学者对随机环境下的库存控制模型及定价问题作了大量的探索，因此，本文对这些研究进行一个详细的综述，通过对文献的梳理，指出其中存在的问题，并提出进一步的研究方向，希望为该领域的研究提供参考。

2 随机产出和需求下的定价与库存控制

2.1 生产批量与库存控制问题

在随机供应（产出）的模型中，库存管理者所订购的数量无法完全确定地收到，而是收到一个依赖于订单数量的随机数量。Karlin(1958)最早建立了在随机需求下考虑随机供应的库存模型。之后Shih(1980)，Noori和Keller(1986)，Lee和Yano(1988)均对该问题做了研究。大量的研究（例如：Parlar和Berkin(1991)，Parlar和Wang(1993)，Anupindi和Akella(1993),Gupta(1996)，Parlar和Perry(1996)，Parlar(1997)，Arifoglu和

（1）单周期生产和库存控制。Karlin(1958)建立了在随机需求下考虑随机供应的库存模型，他选择的决策变量是订购量，如果发出订货，收获量却是一个随机的数量。他证明了如果库存持有成本和缺货成本函数分别是凸的递增函数，那么存在唯一一个临界点，当初始库存低于临界点就发出订货，反之，最优策略就是不订货。Shih(1980)假定消费者可以自费将次品返回给生产商，库存持有成本和缺货成本是线性的，且次品占有率不随生产水平改变，还假定次品的比例是一个已知概率分布的随机变量，并推导出成本函数，证明了它的凸性。他推导出在需求量和次品比例是一般概率分布情况下的最优性必要条件，证明了最优的生产或订购量可以通过一个Newsvendor模型的变形求得。

Noori和Keller(1986)考虑当收货量是一个随机变量且具有随机需求的单周期库存模型，研究了在需求函数均匀分布和指数分布以及实际收获量在不同的分布情形下，求解最优订购量的封闭式解。Ehrhardt和Taube(1987)推广了Shih(1980)的模型，在假设持有成本和缺货成本是一般形式而不是线性的情形下推导出最优性条件。对于需求均匀分布，他们得出了一个收货量的封闭解的表达式。Gerchak等(1986)通过利润最大化获得同样的结果。他们假定需求和产出连续，并考虑一个具有初始库存I的模型。他们允许成本正比于计划量Q或净产出，并证明期望成本函数对I和Q是凹的。他们证明当初始库存大于一个临界点时就不发出订货，且这个临界水平是一个和确定产出情况下相同，但又不像确定产出的情况，在随机产出下的最优策略不再是“order-up-to”类，即当初始库存低于这个临界点时，相应订购量的期望值将不是通常简单地等于临界点与初始库存的差额。

在单周期库存系统的仿真研究上，Why-bark和Williams(1976)证明了安全库存(safety stock)比安全时间(safety time)更有效，更能有效缓冲来抵制数量上的不确定性(包括随机产出)。具有不确定产出的生产控制研究的文献(例如：Porteus(1986)，Sepehri等(1986)，Lee和Rosen-blatt(1986))也都局限于单周期系统。

Inderfurth(2004)探索了通过期望总成本函数的一阶偏导求出一个需求和产出都是随机情形下的单周期生产-库存问题的最优生产策略。他证明了与现有文献结果相比，随机产出模型的最优策略对于均匀分布的需求和产出可以是一个非线性类型的。最优生产策略是在需求和产出相互独立，需求和产出服从均匀分布的特殊情况下推导得出。他的分析考虑到了诸如收获量的标准差正比于订购量的一些误差。

Keren等(2006)在假定一个生产商生产一种单周期产品供应给一个零售商且零售商所面临的需求是确定的前提下，考虑了生产商和销售商的最优生产订购决策问题，分析了不同产出随机函数对生产商和销售商最优决策的影响。Yuanjie He则在随机产出和需求随机的情形下，分别建立确定最优计划生产量的模型。Keren(2009)研究了一个需求已知情形下，随机产出的特殊的单周期库存问题（报童模型问题）。分析求解在加和式(additive)和乘法式(multiplicative)两种类型的产出风险下的最优策略，并用数值例子描述了产出风险均匀分布的特殊例子的求解，还分析了在一个零售商和生产商的两阶段供应链中，零售商能够找到最优的大于所需的订购量，而这个较大的订购量增加了生产商的最优生产量。

Dada等(2007)对经典的报童模型进行扩展，讨论了多供应商的选择和订单分配的问题。他们在分析中假设每一个供货商或者完全可信，或者完全不可信。该模型只考虑了单周期问题，也不包括供货商的固定订货成本。

（2）多周期生产和库存控制。Lee和Yano(1988)研究了一个具有随机产出的多周期系统的生产控制，通过开发的一套程序得出在一个串行生产系统中，每阶段的生产都具有随机性的条件下的最优输入量。这套程序采用了LED显示器的生产制造系统中的实际随机性数据。他们还通过量化的数据分析了在生产阶段减少产出的可变性所获得的成本上的节约。

Henig和Gerchak(1990)讨论了在许多一般性的关于随机补货量分布和成本结构假设下的单周期和多周期模型，他们证明对一个单周期模型，存在一个独立于补货量随机性的最优订货点。还证明了这种具有不确定性产出的库存系统在多周期情形最优的策略不是基本存储策略(base-stock policy)，并通过模型分析求解得出多周期下最优库存水平的下界。

Bassok和Yano(1992)研究了当需求是一个确定的但在每周期必须是一个特定概率的情形下，一个具有随机产出率下的库存问题。他们证明在确定条件下，最优生产批量是一个整数周期的净需求量的倍数值，并给出了最优策略的充分条件。

Ciarallo等(1994)考虑在模型中的随机产出，它是一个稳定的成本和稳定的需求分布下随机生产能力所导致的，他们证明了一个“order-up-to”策略在有限和无限周期的模型中都能够最小化期望总成本。

Wang和Gerchak(1996)研究了一个多周期具有周期检查（periodic review）的生产模型，同时考虑了产能的可变性、随机产出和不确定需求。他们证明了总的贴现期望成本的目标函数是拟凸的(quasi-convex)，最优策略是一个“re-order point”类，即如果经考虑产能的可变性，可简化为“order-up-to”类的一个最优策略。Erdem等(2002)也做了类似的研究。

Rekik等(2007)参考了Inderfurth(2004)所分析的乘式误差（multipicative errors），给出了一个具有不确定供给情况下的Newsvendor模型的广泛分析。他们的分析有助于研究在系统参数的所有值存在误差情况下的最优订购量。他们还评价了通过对比在没有误差的模型和有误差干扰从供应商处有效收货量的模型中，减少收货量的不确定性对系统参数的好处。

Tagaras和Vlachos(2001)分析了周期检查(periodic review)的订货和库存策略。他们主要考虑了两种供应模式（常规供应模式和紧急供应模式），该研究也仍然集中在针对需求不确定性情形下的订货-库存策略的分析。Qi等(2004)分析了由一个供应商和一个制造商组成的供应链，对于供货中断所造成的不确定性供应合作问题进行了研究。Zhao等(2007)研究了有限期的订货-库存问题，在面临需求不确定性时，供应商的数量和采购成本的期望值之间的关系。该研究同时考虑缺货拖后(back-order)和缺货不补(lost sales)两种情况。在工业品供应链中，Guler和Bilgic(2009)专门对随机产出和随机需求下的供应链协调问题开展了研究，文中决策变量为生产商定购的零部件数量，产品销售价格为外生变量。

2.2 联合定价与库存控制问题

联合定价与库存控制的研究在近些年已成为学术界的热点。Thomas(1974)考虑一个具有固定订购成本的模型，并提出了一个简单的(s，S，p)策略。Chen和Simchi-Levi(2002)证明该策略在需求不确定且为加和式函数的情形下是最优的，但在乘法式函数情形下却不是最优。Thowsen(1975)考虑了一个零固定订购成本的模型，证明了“a base-stock-list-price”策略是最优的，且该价格是初始库存的一个减函数。Federgruen和Heching(1999)扩展Thowsen的模型到一个更一般的情形，他们证明，在一般的随机需求情形下，当价格可以随意改变或只降低时，“the base-stock-list-price”策略仍然最优。Elmaghraby和Keskinocak(2003)，Yano和Gilbert(2003)分别给出了该领域研究的文献综述。

由于报童定价问题可以协调供应链系统的收益和市场需求不确定环境，近年来受到越来越多的关注，不少学者对经典报童模型(Newsvendor Model)考虑了定价决策问题进行模型扩展研究。Whitin(1955)最早对报童模型的研究考虑了定价决策问题，他主要研究了在不确定需求环境下同时决策库存数量和销售价格优化问题，Mills(1959)，Karlin和Carr(1962)也做了类似的研究。Petruzzi和Dada(1999)对单产品报童模型的定价问题进行了一个全面的综述，并提出了一些有意义的扩展。Petruzzi和Dada(2001)对一个两周期/两个市场零售情况下的联合库存和定价决策的报童模型进行研究。Karakul(2008)研究了在一个出清市场上时尚产品的联合定价和采购策略。Granot和Yin(2008)分析了采用乘法式的、加和式价格依赖的需求，分析了一个集中的报童模型的定价和订购延迟的效果。Chen和Bell(2009)研究了当消费者可以退货时的联合定价和库存补货决策。Pan等(2009)构建了一个两阶段模型，对需求随机和降价环境下一个供应链中地位劣势的零售商联合定价和订购策略进行了研究。He等(2009)考虑了需求不确定，且需求对零售价格和销售努力敏感下的报童模型的扩展问题。Khouja(1999)对经典的报童模型及它的11种扩展做了一个非常全面的综述，总结了从20世纪50年代至1999年以来的相关文献的主要贡献和模型的扩展研究。例如扩展到不同的目标和效用函数；扩展到不同的供应商定价策略、折扣问题；需求规律和信息的缺乏度问题；随机产出以及多产品库存问题等。并提出了进一步的研究方向，认为将上述扩展两个或多个相结合对报童模型来说会更加实际。总之，目前大多数文献探讨报童模型在不同的供应链环境下的应用，并获得了一些管理见解。

近年来，学者对假定产出为随机变量的研究进行了一定的研究。Hening和Gerchak(1990)给出了一个具有随机产出的一般的周期检查(periodic review)的库存系统的研究综述，他们证明了最优策略具有一个阈值的特征，他们还讨论了产出随机性的含义。Yano和Lee(1995)在综述中对生产商产出随机下的供应链模型进行了分析，并归纳了3种主要的生产商随机产出函数。而在Grosfeld-Nir和Gerchak(2004)的研究中也对此做了一定的概述。Qing Li(2007)等研究了一个生产系统的随机产出和需求下的联合库存补货和定价问题。需求在连续的周期内是相互独立的随机变量，且它们是对价格敏感的。产出是不确定的，因此一次补货的收获量是一个随机变量且依赖于生产量，缺货量完全拖后(backlogged)。目标是同时决策每周期的补货量和价格的最优动态策略以最大化总的贴现利润，并证明了最优补货策略是一个阈值类型，即当且仅当一周期的起初库存量低于该阈值时，最优的策略是生产，且最优的生产量和价格在每周期内对起初库存是一个递减函数。作者还进一步研究了随机产出对生产运作的影响，证明了单周期情况下，补货的阈值是独立于产出的可变性的，而在多周期情况下，具有随机产出系统下的补货阈值比在单周期情况下的要高。此外，具有随机产出的系统的价格总是比较高。Li等(2009)以最大化企业效用为目标，得出了产出和需求都为随机的情况下再制造系统的最优收购价格。

Santoso等(2005)针对供应链网络设计的问题建立了随机规划模型，采用取样平均近似方法 (Sample Average Approximation，SAA)结合改进Benders分解算法(Benders decomposition)进行求解，并通过计算检验了其求解方法在解决实际规模问题时的可行性和有效性。而在随机规划模型中，他们考虑了需求、供应和生产能力等方面的不确定性，但在具体算例中仍主要集中于需求的不确定性。

由于库存决策在不同决策期间的相互关联性，对周期检查(periodic-review)类库存策略，当决策期间为长期（多周期），并且需求或其他因素为不确定的情况下，库存决策体现的是随机动态规划特征。当各类成本为订货量的线性函数时，Clark和Scarf(1960)指出，最优的库存策略为(order-up-tolevel)类，也称Base-stock。如果需求和其他随机变量的分布为稳态的(stationary)，最优的库存水平(level)可以容易求得，反之，如果需求和其他的随机变量的分布非稳态的(non-stationary)，就会由于状态空间的增大而使求解的难度加大。需求不确定且分布随时间变化下的periodic-review类库存策略是近年来库存管理领域研究的热点，关注点在于算法（策略）的提出。

Anupindi和Akella(1993年)研究了供货不确定性时的原材料或零部件采用双供应商的订单分配策略，讨论了其对库存策略的影响。他们研究了3种基于不同交货合同的模型，并且从单周期和多周期角度分别分析了这3种模型。在多周期角度的分析中，他们采用了动态规划求解法。但是，这些分析主要集中于双供货商的问题，而当供应商数量多于两个时的模型及分析方法的复杂性显著提高。

Herer等(2006)考虑了不确定需求服从正态分布情况下的零售商间的同级转运问题，证明了最优的“order-up-to”补货策略的存在，并采用样本路径算法(IPA)求得最优策略。Zhao和Sen(2006)采用两阶段随机规划模型对同样的零售商之间的同级转运问题进行了建模，证明了Herer等(2006)中的IPA算法和随机伪梯度算法(Stochastic Quasi-Gradient，SOG)的等价关系。他们还采用带有二次项的随机分解算法（Regularized Stochastic Decomposition，RSD）求解出该问题。试验计算的结果表明了SOG和RSD所得到的解的质量非常相似，但由于RSD利用了两阶段随机线性模型的特定结构的优势，其求解的计算时间明显少于SOG。

3 文献评述

定价与库存控制问题涉及到方方面面，是一个十分困难且具有挑战性的研究领域。目前，有关该领域的研究主要集中在两个方面：一方面是在确定性条件下的库存控制问题，典型的经济批量订货模型(Economic Order Quantity)就是考虑了在确定性条件下如何制定最优订购量、最优订购周期和总的费用最低等问题。虽然已有多种成熟的方法解决这一问题，但是，多数库存管理的数学模型是在假定的理想条件下建立的，当外界条件、环境发生变化，甚至扰动存在时，该数学模型已远不能适应上述诸多变化的要求，因此，根据理想条件制定的最优策略自然就不准确；另一方面，考虑了随机因素的定价与库存控制的问题，该问题的一个方向就是考虑基准库存(base-stock)策略问题和由基准库存拓展的基准库存-价格(base-stock-list-price)策略问题的研究，该问题考虑了周期检查情况下的库存补货策略，研究的方法多采用动态规划法；另一个方向则是在报童模型(Newsvendor Model)基础上延伸出来的补货和定价问题，这方面的研究已经具有较丰富的理论成果，主要是随机需求条件下单产品单周期库存控制问题以及单产品多周期下的补货策略问题，但多数研究假定产出是确定的。如果只考虑需求的随机性，那么可以想象在执行供应链的库存控制时所涉及到的成本并不能达到最低。产出随机性是在生产和库存管理过程中一个不容忽视的问题，其对生产和库存管理造成的影响也是相当大的。近年来，学者展开了对随机产出情形下的报童模型的研究。然而，在具有不确定性或随机性条件下制定的库存控制策略虽然在一定程度上解决了部分存储问题，但多数存储模型过于复杂且不符合库存管理实际，绝大多数随机条件下的库存模型所制定的存储策略也只停留在理论探讨阶段。而企业的管理者一直所面临的问题就是如何平衡好商品的供应和需求以获取更多的利润，企业在实现定价和库存控制决策时，不可避免地要考虑到需求和供给的动态变化的影响。因此，如果要使供应链绩效达到最优，库存成本达到最低，产品定价达到最优，就要充分考虑供应链中的随机因素，主要包括产出和需求的不确定性等因素。因此，进一步研究的方向集中在考虑随机产出和随机需求情况下的联合定价与库存控制策略，另外，考虑到市场竞争激烈、产品的多样化等特点，对多产品的联合定价与库存控制的研究也是一个更贴近实际的研究方向。但考虑到随机因素及多产品等问题，使得研究的模型变得更为复杂，求解难度增加，因此，对该问题求解算法的研究更是未来必然的研究方向，其中，针对求解最优解或近似最优解的启发式算法的研究无疑势在必行。

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