具有轨道倾角和最大高度约束的耗尽关机闭路制导

张如飞 赵世范

1．北京控制与电子技术研究所信息系统工程重点实验室，北京 100038 2．中国航天二院研究生院，北京 100854



具有轨道倾角和最大高度约束的耗尽关机闭路制导

张如飞1,2赵世范1

1．北京控制与电子技术研究所信息系统工程重点实验室，北京 100038 2．中国航天二院研究生院，北京 100854

快速响应空间固体运载火箭轨道转移级以最大限度利用能量而非消耗能量为目的进行耗尽关机制导，基于椭圆轨道理论和牛顿迭代法，提出了一种适用于具有轨道、制导多种约束的耗尽关机闭路制导方法，通过实时寻找需要推力方向，充分利用轨道转移级能量，导引上面级进入具有给定轨道倾角和最大高度约束的转移轨道，同时实现耗尽关机。理论推导和数学仿真表明，本文提出的制导方法能在耗尽关机条件下实现对转移轨道的高精度控制。

快速响应空间；耗尽关机；闭路制导；能量管理

固体运载火箭[1]具有快速准备、按需发射、长服务周期、强生存、高可靠、低成本和便于长期贮存等突出特点，通常采用指令关机和耗尽关机两种关机方式，但指令关机需要推力终止系统[2]，不仅增加了结构重量，提高了系统使用成本，而且损失了有效运载能力，降低了系统可靠性。因此，耗尽关机制导问题成为研究的热点，能量管理闭路制导[3-5]是实现耗尽关机制导的有效技术途径，一系列需求牵引了能量管理闭路制导的发展与改进，如实现终端多约束[4]、提高耗尽关机末速控制精度[6]等，但能量管理的2个突出特点未变：1)通过姿态调制[7-9]消耗多余能量；2)常姿态导引段采用零射程线[7,10]保证命中目标。

本文以轨道转移级的耗尽关机闭路制导为方向，提出了一种具有轨道倾角和轨道最大高度约束的耗尽关机闭路制导方法，与基于能量管理闭路制导的耗尽关机制导不同，其目的不是通过姿态交变消耗多余能量，而是最大限度利用轨道转移级能量，形成尽可能大的转移轨道速度，从而减轻入轨级的能量需求。该方法数学逻辑简单、便于工程应用且对转移轨道的控制精度高，适合于固体运载火箭的轨道转移级制导及其它相似应用。

1 坐标系定义与转换

1.1 发射惯性坐标系

发射坐标系定义：原点取发射点在当地参考椭球体表面的投影点；OYg轴与当地参考椭球体的法线一致且指向上方；OXg与OYg轴垂直且指向射向；OXgYgZg为右手直角坐标系。

在运载器发射瞬间发射惯性坐标系OXIYIZI与发射坐标系OXgYgZg重合，运载器发射后发射惯性坐标系在惯性空间定位定向。

1.2 北天东坐标系

坐标原点在运载器质心，OYN轴与从地心到原点的矢量方向一致；OXN在当地子午面内与OYN轴垂直且指向北；OXNYNZN为右手直角坐标系。

1.3 坐标系间的转换矩阵

在发射惯性坐标系中描述的地球自转角速度方向和当前点地心矢径方向为

(1)

式中，A0为发射方位角，B0为发射点地理纬度；r0,x，r0,y，r0,z为发射点地心距向量在发射惯性坐标系中的分量，x，y，z为当前点在发射惯性坐标系中的坐标。

当前点地心纬度可以按照下式直接计算：

(2)

北天东坐标系到发射惯性坐标系的坐标转换矩阵为[7]

(3)

式中，F11，F12，F13以及F31，F32，F33计算式为

(4)

2 视速度模量计算与约束建模

2.1 总视速度模量

设运载器某级发动机比冲为Isp，其点火点质量为m0，该级发动机总装药量为mf，则其能产生的总的视速度模量为

(5)

可见，某级发动机总视速度模量ΔW0与其比冲Isp、初始质量m0和耗尽点质量(m0-mf)密切相关，由于m0，mf事先可以比较准确的得到，因此，按式(5)对ΔW0的估算偏差主要与比冲Isp相关。通常ΔW0的估算偏差能够控制在1.0%以内。

2.2 剩余视速度模量

(6)

式中，t0到t时刻的视加速度模量积分可根据加表实际测量值按照下式计算：

(7)

对于式(7)，当t=t0时，ΔW(t0,t0)=0，此时剩余视速度模量等于总视速度模量；当t=tK时，发动机已至耗尽关机时刻，按式(6)计算的剩余视速度模量为0。

2.3 轨道约束模型

为了进入轨道倾角为i0、高度为h0(相对平均地球半径Ra)的圆轨道，根据霍曼轨道转移理论，建议运载器预先进入轨道倾角为i0、远地点高度为h0(相对平均地球半径Ra)的椭圆转移轨道，该椭圆转移轨道就是本文研究的耗尽关机闭路制导预期进入的轨道。

下面根据轨道运动理论，用数学模型描述轨道倾角约束、轨道高度约束。

(1)轨道倾角i0的数学模型

由式(2)，可得当前点的地心纬度φK。为了进入轨道倾角约束为i0的椭圆转移轨道，根据轨道倾角、地心纬度与速度方位角的关系式

αR=arcsin(cosi0/cosφK)

(8)

可得当前点需要速度方位角αR。

(2)轨道高度h0的数学模型

轨道面内描述的转移轨道极坐标运动方程为

r=p/(1-ecosξ)

(9)

式中，p，e为转移轨道半通径和偏心率；r为飞行点地心距，ξ为飞行点真远点角。

要求转移轨道的远地点(ξK=0)高度为h0，则根据式(9)，该约束可以描述为

rA=Ra+h0=p/(1-e)

(10)

式中，rA为转移轨道远地点地心距，它等于平均地球半径加上轨道高度约束h0。

2.4 制导约束模型

要形成转移轨道，除了需要满足轨道倾角、轨道高度等约束外，还需要保证转移轨道通过当前点以及进入转移轨道时发动机能量刚好耗尽，这分别对应为当前点位置约束和耗尽关机约束，建立它们的数学模型将为形成耗尽关机导引律奠定基础。

(1)当前点位置约束

根据式(9)，当前点位置约束的数学模型为

rK=p/(1-ecosξK)

(11)

式中，rK为当前点地心距，ξK为当前点真远点角。

(2)耗尽关机的数学模型

设当前时刻的剩余视速度模量为ΔWR，当前速度为VpI，寻找一发射惯性坐标系中的需要速度VRI，使得下式成立

(12)

3 多约束耗尽关机闭路制导

3.1 转移轨道参数解算

假设给定当前点在转移轨道上的真远点角ξK以及当前点、远地点地心距rK，rA，则根据式(10)和(11)可以解得转移轨道偏心率及半通径

(13)

可见，通过调整当前点真远点角ξK，将会获得相同高度约束下的不同椭圆转移轨道。

3.2 发射惯性坐标系需要速度

已知当前点真远点角ξK、转移轨道半通径p，当前点需要速度及需要速度倾角为[7]

(14)

结合式(8)给出的需要速度方位角，可得北天东坐标系中的需要速度为

(15)

3.3 耗尽关机转移轨道的迭代计算

给定当前点在转移轨道上的真远点角ξK,i，结合式(12)～(15)，可得相应的椭圆转移轨道以及沿该轨道飞行的需要视速度增量ΔWi：

(16)

由式(12)描述的耗尽关机条件可知，当剩余视速度模量ΔWR等于当前点需要视速度模量ΔWi,即ΔWi=ΔWR时，可以实现耗尽关机。但实际上，不可能给定一个ξK,i，正好得到ΔWi等于ΔWR，因此需要对式(16)进行迭代计算，迭代过程如下：

1)给定真远点角ξK,i，由式(16)计算ΔWi；

2)给定ξK,i+δξ，由式(16)计算ΔWi+δΔWi，由此得偏导数

∂ξK/∂ΔW=δξ/δΔWi

(17)

3)根据牛顿迭代修正ξK,i，修正公式如下：

ξK,i+1=ξK,i-∂ξK/∂ΔW×(ΔWi-ΔWR)

(18)

4)判断迭代是否结束。计算对应ξK,i+1的ΔWi+1，当

(19)

时，设i:=i+1，ξK,i:=ξK,i+1，迭代计算步骤1)～ 3)；否则停止迭代。

迭代停止后，由式(18)得到的ξK,i+1即为当前点在椭圆转移轨道上的期望真远点角，此时，由式(19)再次调用式(16)得到的pi，ei即为期望的椭圆转移轨道半通径和偏心率，相应的Vg,i即表征了发动机的需要推力方向。

3.4 需要推力方向

(20)

式中，φC,P，ψC,P，γC,P表示俯仰、偏航、滚动通道指令姿态角。

4 数学仿真与结果分析

设期望的圆轨道的轨道倾角为32°,轨道高度(相对平均地球半径)为350km，因此，椭圆转移轨道的轨道倾角为32°,远地点轨道高度为350km。轨道转移级发动机总视速度模量为ΔW0=2484m/s，制导周期为TS=10ms。

应用本文提出的多约束耗尽关机闭路制导方法，仿真计算结果如图1～2和表1～2所示。图1～2中，φC,P，ψC,P分别表示俯仰姿态角指令、偏航姿态角指令；ha表示相对平均地球半径Ra的高度，即ha=r-Ra；Vf表示相对地球速度(即地速)模量。

表1 耗尽关机闭路制导轨道参数

图1 耗尽关机闭路制导指令姿态角

图2 耗尽关机闭路制导飞行轨道及飞行速度

图1～2和表1～2仿真过程中忽略了J2项扰动引力场的影响，上述计算结果表明，虽然耗尽关机点的待增速度残差约为0.698m/s，椭圆转移轨道远地点平均高度控制误差约为40.7m，轨道倾角的控制误差约为7.0×10-4(°)，可见轨道控制精度较高。

表2 耗尽关机闭路制导远地点高度控制偏差

由于多约束耗尽关机闭路制导基于中心引力场作用的椭圆轨道推导得到，因此J2项等高阶引力项对于飞行轨道的影响并没有得到补偿，其将对制导出的轨道产生影响。表2展示了仅有制导方法误差(即待增速度残差)以及同时有制导方法误差和J2项干扰的计算结果，表明J2项引起的高度控制误差约为541.8m，约为耗尽关机制导方法误差的13倍，可见J2项对飞行轨道影响明显。为了实现J2作用下的高精度轨道控制，在装订最大轨道高度时，提前补偿J2项的影响，此时计算得到的方法误差与J2项共同作用下的高度控制误差约42.5m，比方法误差引起的高度控制误差仅大1.8m，补偿效果明显。

此外，关于稀薄大气的仿真计算表明，高度150km处的稀薄大气作用力已小于0.1N，其对运载器的视加速度已小于5.0×10-5m/s2；而当高度大于200km时，稀薄大气作用力迅速下降1个数量级以上。实际飞行轨道计算结果亦表明，稀薄大气对转移轨道远地点高度的影响在米级，相对于制导方法误差和J2项干扰，其影响完全可以忽略。

5 结束语

基于椭圆轨道理论和牛顿迭代法，提出了一种具有轨道倾角和远地点高度约束能力的耗尽关机闭路制导方法，该方法适用于多级固体运载火箭的转移轨道制导。仿真计算结果表明，该方法对转移轨道倾角和远地点高度控制精度高，能够满足高精度入轨制导的制导精度要求，可以作为高精度入轨制导的轨道转移级制导方法，亦可以作为其它具有高度约束的椭圆轨道的耗尽关机闭路制导方法。

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TheDepletedShutdownClosedLoopGuidancewithConstraintsofOrbitInclinationandMaximumHeight

ZHANG Rufei1,2ZHAO Shifan1
1. Beijing Institute of Control and Electronic Technology， Science and Technology on Information Systems Engineering Laboratory, Beijing 100038, China 2. Graduate School, 2ndAcademy of China Aerospace, Beijing 100854, China

Thesolidrocketmotororbittransferstageforresponsivespaceaccess(RSA)isrequiredtoadoptdepletedshutdownguidancewhichaimsatmaximizingenergyuse,butnotconsumingredundantenergy.BasedonellipticalorbittheoryandNewtoniterationmethod,adepletedshutdownclosedloopguidancetodealwithmultipleorbitandguidanceconstraintsisoriginated,whichseekstherequiredthrustdirectioninrealtimeandutilizestheorbittransferstageenergysufficientlytoguidestheupperstagetoentertransferorbitwithconstraintsoforbitinclinationandmaximumheight.Meanwhile,thedepletedshutdownisimplemented.Theorydeductionandnumericalsimulationdemonstratethattheproposedguidancemethodcanachieveprecisecontrolfortransferringorbitunderconditionsofdepletedshutdown.

Responsivespaceaccess;Depletedshutdown;Closedloopguidance;Energymanagement

2014-04-16

张如飞(1981-)，男，安徽怀远人，博士后，高级工程师，主要研究方向为导航、制导与控制；赵世范(1943-)，男，上海人，研究员，主要研究方向为导航、制导与控制。

V448.21; TJ765.2

： A

1006-3242(2014)05-0016-05