灌注桩承载力的Usher与灰色理论预测模型研究★

詹 鹏 王少东 方光秀*

(延边大学工学院，吉林 延吉 133002)

·岩土工程·地基基础·

灌注桩承载力的Usher与灰色理论预测模型研究★

詹 鹏 王少东 方光秀*

(延边大学工学院，吉林 延吉 133002)

采用灰色理论GM(1,1)模型和Usher曲线模型预测了单桩的极限承载力，指出其模型具有合理性和精确性，并运用MATLAB软件实现预测模型算法，通过工程实例分析表明：灰色预测模型对原始数据预测较精确；Usher模型对桩极限承载力的预测具有较高的精度。

钻孔灌注桩，极限承载力，灰色预测模型，Usher曲线模型，预测

0 引言

钻孔灌注桩由于对周围环境没有振动、挤土效应，又具有单桩承载力高、对地层适应性强等特点，得到了广泛的应用[1]。但不同地区不同的地质条件，不同的施工工艺而导致规范推荐的钻孔灌注桩单桩承载力估算公式的计算参数适用性降低，实验证明规范推荐值和地质报告值过于保守[2]。灰色系统理论是我国著名控制论专家邓聚龙教授于1982年创立的。它是基于小部分已知信息或部分未知信息的小样本研究，并对已知部分信息的采集和开发，从中提取有用的信息，最终能够有效控制系统运行行为和正确认识与描述事物演化规律的理论[3]。Usher曲线是用来描述增长信息随时间变化的数学模型(S型曲线)，由美国学者Usher提名而得名[4]。如何在土木工程领域进一步扩大该曲线模型的适用范围，提高其适应能力，就成为一个值得研究的问题。基于灰色系统理论、Usher曲线来拟合钻孔灌注桩的单桩竖向极限承载力随沉降的变化数据进行分析，预测单桩的极限承载力值，具有重要的实用价值。本文结合文献[5]的凌海陈家风电场工程的S2,S3桩荷载值和沉降值，利用灰色系统理论、Usher权限来预测钻孔灌注桩单桩竖向极限承载力，并验证其模型的精度，供类似工程借鉴。

1 灰色预测模型的建立

1.1 非等步长G(1,1)模型建立

灰色预测模型(Grey Model)为一阶微分方程且只有一个自变量，记为GM(1,1)模型。对于桩荷载与沉降的关系，由于只有一个自变量，故可采用灰色预测模型GM(1,1)[3]。

通过单桩静载试验，将荷载实测值作为一定范围的灰变量，把沉降看做广义时间上的数值，则可得到根据荷载序列建立的GM(1,1)白化模型。GM(1,1)灰微分方程[6]为：

x(0)(k)+a×z(1)(k)=b。

基于以上微分方程，建立与静载荷试验Q(i)和所对应的沉降值S(i)有关的微分方程。

荷载原始值及对应的沉降为：

做一次累减成：

根据灰色系统理论的建模方法，可建立一阶线性动态微分方程，记为GM(1,1)模型：

(1)

其中,a为发展系数,mm-1；b为灰作用量,kN/mm。

由最小二乘法，可以求得:

[a,b]T=(DTD)-1DTY。

其中：

从中解微分方程可得：

(2)

(3)

式(2)，式(3)即为Q—S曲线的灰色模型公式。

最终非等步长GM(1,1)的单桩极限承载力为：

(4)

1.2 灰色预测GM(1,1)模型群

用原始序列之荷载—沉降序列建立的GM(1,1)模型为全数据GM(1,1)模型。

灰色系统在发展过程中会有一些不可避免的因素进入系统，影响预测的准确性。所以必须考虑随时间的推移进入的新信息，同时将老信息剔除。因此，从预测角度来看，新陈代谢信息GM(1,1)模型是最理想的模型。

2 灰色预测模型的精度检验

在原有GM(1,1)模型下建立残差序列，对残差序列进行灰预测，最终预测由GM(1,1)和残差GM(1,1)两部分组成。由此建立高精度GM(1,1)灰色预测模型，即带残差的非等步长GM(1,1)单桩极限承载力预测模型。

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后验差比值为：

(5)

小误差概率：

(6)

根据C和T两个指标，可综合评定预测模型的精度，指标C越小越好，C越小表示R2大而R1越小，R2越大表示原始数据(荷载)方差大，即原始数据离散程度大，R1小表示残差方差小，即残差离散程度小，C小就表明尽管原始数据很离散，而模型所得计算值与实际值之差并不太离散。指标T越大越好，T越大，表明残差与残差平均值之差小于给定值0.674 5R1的点较多，即拟合值(预测值)分布比较均匀。一般将模型的精度分为四级，如表1所示。如果不合格，则根据式(5)建立残差GM(1,1)模型，将残差的预测值加到原来的预测值上。

表1 预测精度表

最终带残差的非等步长GM(1,1)的单桩极限承载力模型为：

(7)

其中，a为发展系数；b为灰作用量；aε为残差发展系数；bε为残差灰作用量。

3 Usher曲线模型预测

Usher曲线模型不但在生物领域应用广泛，而且现在土建领域预测模型中开始逐步应用[7]。Usher曲线的微分方程：

其中，y为模型函数；a为增长速度因子；b为形状因子；ym为极限值。

(8)

由于桩的荷载—沉降关系也属于增长类曲线，故可设桩顶荷载Q为因变量,桩顶沉降S看作广义时间,Qu作为y的极限值，可得：

(9)

其中，a，b，c，Qu均为模型参数，根据桩的静载荷试验数据，通过拟合的方法，一并确定。

4 工程实例分析

采用文献[5]的凌海陈家风电场工程的S2,S3桩荷载值和沉降值，选用桩长17 m,20 m，桩径800 mm的钻孔灌注桩。

根据工程实践，单纯求桩的极限承载力没有实际意义，按照GB 50007-2011建筑地基基础设计规范规定，当陡降段明显时，单桩竖向极限承载力取相应于陡降段起点的荷载值[8]。因此，均取陡降段明显时陡降段起点对应的荷载值为单桩竖向极限荷载。

运用上述公式，建立S2桩,S3桩的全数据GM(1,1)模型和Usher模型，并通过MATLAB 2010软件进行模拟和计算，由计算出的后验差比值、小误差概率，评定该灰色模型的精度，且验证预测模型是否合格、是否满足工程要求。

表2 钻孔灌注桩静载荷资料

钻孔灌注桩静载荷与沉降值，如表2所示。

S2桩三种灰色模型比较，如表3所示。

表3 S2桩三种灰色模型比较

S2桩Usher曲线模型的预测值、实测值、计算值，如表4所示。

表4 S2桩Usher曲线模型

S3桩三种灰色模型的预测值、实测值、计算值比较，如表5所示。

S3桩Usher曲线模型的预测值、实测值、计算值，如表6所示。

从表3～表6可知，经三种灰色模型预测，S2，S3桩的相对误差没有超过5%，根据后验差比值C和小误差概率T，通过查表1得出，预测极限承载力的精度等级为好。

表5 S3桩三种灰色模型比较

表6 S3桩Usher曲线模型

经Usher曲线模型预测，S2桩的相对误差没有超过2.19%，S3桩相对误差没有超过3.56%，预测精度高。S2桩各预测模型图像，如图1所示；S3桩各预测模型图像如图2所示。

从图1和图2可知，实测Q—S值作为预测数据列计算得到的单桩极限承载力预测值与极限承载力实测值基本相同，二者吻合较好。

5 结语

1)非等步长GM(1，1)模型预测单桩极限承载力的精度与竖向静载试验的数据级数有密切关系。

2)通过设计值与实测值的对比，可知现行规范对钻孔灌注桩的承载力计算比较保守，建议该地区在规范的设计值基础上乘以1.1～1.15的系数。

3)根据工程实例分析，新陈代谢GM(1,1)模型比全数据GM(1,1)、新信息GM(1,1)模型预测精度更高。Usher模型对桩极限承载力的预测效果比灰色理论模型要好，特别是在曲线的尾部。基于该模型桩顶极限荷载预测值与实测值的相对误差绝对值平均为2.88%，具有较高的精度。

[1] 杨位光.地基及基础[M].北京：中国建筑工业出版社，1998.

[2] 王 华,李连营,孙云文.估算钻孔灌注桩单桩竖向承载力有关问题探讨[J].天津城市建设学院学报，1999(2):15-21.

[3] 邓聚龙.灰色系统基本方法[M].武汉:华中理工大学出版社,1988.

[4] 蒋建平.桩极限承载力的Usher模型预测[J].江苏大学学报，2009(9)：11-15.

[5] 刚绍壮.大直径钻孔灌注桩承载特性分析[D].沈阳：沈阳建筑大学，2012：38-51.

[6] 邓聚龙.灰预测与灰决策[M].武汉:华中科技大学出版社,2002.

[7] SIEW-Ann Tan.Hyperbolic method for settlement in clays with vertical drains[J].Geotech J,1994,31(1):125-131.

[8] GB 50007-2011,建筑地基基础设计规范[S].

Study on prediction model of Usher curve and grey theory of the pile vertical ultimate bearing capacity★

ZHAN Peng WANG Shao-dong FANG Guang-xiu*

(CollegeofEngineeringYanbianUniversity,Yanji133002,China)

Use grey theory GM(1,1)model and Usher curve model to predict ultimate bearing capacity of single pile, points out the model is reasonable and accurate. MATLAB software to realize predictive model algorithm, and by analyzing engineering instance, indicate: grey prediction model to the original data more accurate， Usher model has higher accuracy for the forecast of ultimate bearing capacity of pile.

cast-in-place pile, ultimate bearing capacity, grey forecasting model, Usher curve model, predict

1009-6825(2014)11-0067-03

2014-01-21★：延大科技发展基金资助金项目(项目编号：2013-G)

詹 鹏(1989- ),男,在读硕士； 王少东(1991- )，男，在读硕士； 方光秀(1967- ),男,博士,副教授

TU473.4

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