带双参数的四次均匀B样条*
2014-08-08盛鸿宇
盛鸿宇
(北京联合大学电子信息技术实验实训基地,北京100101)
在CAGD中,均匀B样条是一个很有用的工具,但也有不足的地方,如对给定控制点,均匀B样条曲线的位置也是确定的,如果要调整曲线形状需调整控制多边形.为此,人们作了不同探索,提出了用张量参数构造曲线的方法[1-2],有理Bézier曲线和有理B样条曲线[3-4]及其它类型的可调形状有理曲线[5-6],另外,CB-样条曲线[7]Barsky构造的β样条曲线[8],韩旭里等对三次均匀B样条曲线的扩展[9],带形状参数的均匀B样条[10]及带形状参数的三角多项式均匀B样条[11]等,它们都可通过对形状参数改变调整曲线形状.以上各种方法美中不足的是当参数值改变时这些曲线整体变动,不能对曲线作局部调整.本文构造的四次带双参数均匀B样条,曲线既可作整体变动,又可局部调整,λ控制整条曲线位置,当λ固定时,各曲线段端点固定,改变参数μ可以对曲线段在保持端点不动的情况下进行局部调控.如果λ固定,改变参数μ且各曲线段μ取同一值时,所构造的曲线C1连续.如果λ固定,改变参数μ且各曲线段μ取不同值时,所构造的曲线G1连续.三次均匀B样条是本文特例.
1 曲线构造与连续性
定义1 对t∈[0,1],λ,μ∈R,称关于t的多项式
定理2 (1)当μ=-1/2时,bi(t)(i=0,1,2,3)是文献[10]中的带形状参数四次均匀B样条基;(2)当λ=0,μ=-1/2时,bi(t)(i=0,1,2,3)是三次均匀B样条基.
证明 把μ=-1/2与λ=0,μ=-1/2代入(1)式计算可得(1)与(2).
图1分别给出了μ固定λ变动(a图)以及λ固定μ变动(b图)时,调配函数首尾相接的曲线图.
图1 调配函数图
由式(1)可以定义带双参数λ,μ的四次均匀B样条曲线.
定义2 给定控制点Pi∈Rd(d=2,3;i=±1,±2,…)和均匀节点… <ti<ti+1<…,对t∈[ti,ti+1]定义带双参数的四次均匀B样条曲线段:
定理3 由式(3)构造的曲线具有如下性质:
(1)当λ固定,μ改变且各曲线段μ取相同值时,曲线C1连续;
(2)当λ固定,各曲线段μ取不同值时,曲线G1连续.
证明 直接计算得
2 参数λ,μ对曲线的调控情况
定理4 当λ固定时,曲线段(2)端点固定,改变参数μ可以对曲线在保持端点不动的情况下进行局部调控.
证明 由定理3的证明中ri(λ,μ;0)与ri(λ,μ;1)可知,曲线段ri(λ,μ,ti)只与λ有关而与μ无关,故当λ固定时,曲线段端点固定.
图2分别给出了μ固定λ变动(a图)以及λ固定μ变动(b图)时,曲线段的变动情况示例图.
图2 形状参数影响效果图
3 曲线应用实例图
与三次均匀B样条曲线一样,对四次带双参数均匀B样条曲线若要求曲线以P1和Pn分别为起点和终点,并且在P1和Pn处的切线分别为P1P2和Pn-1Pn时,只要增加两个顶点P0=2P1-P2和Pn+1=2Pn-Pn-1,其中P0,P1,…,Pn+1是曲线(3) 的控制多边形.当要构造封闭曲线(P1=Pn)时,只要对控制多边形多取两个顶点Pn+1=P2,Pn+2=P3.
图3分别给出了μ固定λ变动的开曲线(a图)闭曲线(b图).
图3 μ=-1/2,λ=1,-0.8,-2.6,-4.4的开曲线闭曲线
图4 酒瓶效果图
图4中a图是μ=-1/2且λ=-3.2即文献[10]中λ=-3.2时带形状参数四次均匀B样条所构成的葡萄酒瓶,b图与c图是用本文基函数构造的λ=-3.2,μ变动所构成的不同形状的葡萄酒瓶.
4 小结
本文方法可以生成位于三次均匀B样条附近的不同曲线,C1连续.参数λ,μ都能调整曲线形状,λ控制整条曲线位置,当λ固定时,各曲线段端点固定,改变参数μ可以对曲线段在保持端点不动的情况下进行局部调控.如果λ固定,改变参数μ且各曲线段μ取同一值时,所构造的曲线C1连续.如果λ固定,改变参数μ且各曲线段μ取不同值时,所构造的曲线G1连续.当μ =-1/2时,就是文献[10]中的带形状参数四次均匀B样条基.三次均匀B样条是本文特例,当λ=0,μ=-1/2时,就是三次均匀B样条.所给图形实例说明运用本文方法进行曲线设计是很有效的.
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[11]王文涛,汪国昭.带形状参数的三角多项式均匀 B样条[J].计算机辅助设计与图形学学报,2004,28(7):1192-1198.