基于压缩感知的灰色理论模型及其在航空货运量预测中的应用

游庆山, 徐海文, 雷开洪

(1.中国民用航空飞行学院 计算机学院,四川 广汉 618307;2.电子科技大学 电子工程学院,成都 611731)

基于压缩感知的灰色理论模型及其在航空货运量预测中的应用

游庆山1,2, 徐海文1, 雷开洪1

(1.中国民用航空飞行学院 计算机学院,四川 广汉 618307;2.电子科技大学 电子工程学院,成都 611731)

重点研究经济突发事件对中国航空货运量的影响，采用压缩感知理论提取经济突发事件对航空货运量的影响，并利用灰色理论拟合航空货运量的总体变化趋势。以2002～2009年中国每月航空货运量的统计数据为基础，通过Matlab的CVX工具箱得到航空货运量基于压缩感知理论的灰色模型。通过对原始数据拟合的结果分析可知，基于压缩感知理论的灰色模型既可以体现中国航空货运量的逐年递增趋势，也可以得到每年的逐月变化趋势，还可以得到经济突发事件对中国航空货运量的影响。给出基于压缩感知的灰色模型的2010年每个月预测值，最大预测误差不超过5.92%，为航空运力市场调控和发展提供理论支持。

凸优化；航空货运量预测；灰色GM(1,1)；回归分析法；压缩感知

在评价国民经济以及航空运输经济发展水平时，航空货运量是其中一项重要指标；同时也是航空运输企业，特别是航空公司安排生产计划，并组织和实施此计划时需要考虑的重要内容。因此，研究航空货运量内在规律、建立科学模型，并准确预测未来一段时间内需求量是民航领域的研究热点之一。关注航空货运量的内在运行规律，并根据其未来一段时间的动态变化趋势采取相应的措施，是航空运输业持续健康发展的有效保障，同样为航空运输业的各级部门制定发展规划提供重要理论依据[1,2]。

航空货运量预测问题广泛应用现代数学理论，比如：文军等在研究相关问题时采用灰色GM(1, 1)理论和回归分析理论，在此基础上研究基于诱导有序几何加权平均算子的组合优化在航空货运量预测中的应用[1]，验证结果表明组合预测模型是有效、可靠的，且具有较高的预测精度；林小平等研究灰色模型对于双流机场货、邮吞吐量预测中应用，并通过实际数据与预测结果的比较证明此预测方法具备可行性[3]；随着压缩感知理论快速发展，游庆山研究压缩感知理论在中国航空货运量建模与预测中的应用，得到中国航空货运量的压缩感知模型，实验证明中国航空货运量的压缩感知模型较灰色GM(1, 1)理论和回归分析理论具有更好的拟合精度[4,5]。

上述方法均是以年份为统计单位。以年份为统计单位可以研究中国航空货运量的整体变化趋势，但是不能反映中国航空货运量随季节的变化规律。周叶等挖掘中国航空货运量发展变化具有明显的上升趋势和季节性等特点，建立中国航空货运量的ARIMA模型[6]；方文清等研究中国航空货运量每年随月份变化的自相似性，采用分形理论对中国航空货运量进行建模，取得良好效果[7]。然而，ARIMA模型以及分形理论模型均未考虑突发经济事件对中国航空货运量的影响，比如1998年的东南亚金融风暴、2008年的全球金融危机等等。此类事件对航空货运量的影响主要表现在航空货运量的突变，然而发生此类事件的月份具有稀疏性。本文主要挖掘中国航空货运量突变的稀疏性，利用压缩感知基本理论研究中国航空货运量按月份的变化趋势。在实验方面，以2002～2009年中国每月航空货运量的统计数据为基础，利用压缩感知理论建立中国航空货运量模型，以期得到比较符合现实的中国航空货运量变化规律，并为航空运输市场调控和发展提供理论支持。

1 压缩感知理论以及灰色GM(1,1)理论

灰色系统理论及其微分方程模型(Grey Model,简称GM)[8-10]在不同领域具有广泛应用，目前研究表明灰色系统理论能为中国的航空货运量建立比较合理的数学模型，实验数据证明此模型具有较高的拟合精度[1-3]。灰色理论模型理论上的最优解始终是连续没有瞬时跳变的函数，但是现实问题由于受突变因素的影响往往会出现较大跳变，因此研究具有突发跳变性的灰色理论是十分必要的。压缩感知理论是研究稀疏性的基本理论，随着最近十几年压缩感知理论研究深入，在实际应用领域取得了满意结果，比如图像处理[11,12]、机器学习[13,14]、波束到达方向估计[15]、雷达成像[16]、语音处理[17]等。

1.1 灰色理论模型

(1)

其中，a,u为有待估计的灰色参数。

将常微分方程(1)离散化，容易求得此差分方程通解如下

(2)

其中，[a,u]T=(BTB)-1BTyn，而向量yn为yn=[x(0)(2),…,x(0)(n)]T，矩阵B如下

1.2 灰色理论模型

压缩感知的数学模型为：已知测量向量y∈m，满足y=Ax+en，求满足测量条件x∈n的稀疏解，其中m

(3)

文献理论上证明了如果采用组合优化方法求解(3)式最优化问题[18]，则求解过程是多项式复杂程度非确定性(Non-deterministic Polynomial，简称NP)问题。显然(1)式最优化问题是欠定的方程，求解此类问题传统的算法是以l2范数最小为目标函数。最小范数最优解虽然可以得到测量向量y在列向量ai中的线性表示，但是最小l2范数解通常不是稀疏解，因此，在求解过程中必须充分利用稀疏性约束。目前求解(3)式最优化问题的常用方法主要分2类——贪婪算法[19-21]、基于凸优化方法[22,23]。由于凸优化无论是理论还是具体算法均比较完善，因此基于凸优化方法得到广泛研究。基于凸优化方法的本质是将非凸的目标函数‖x‖0凸松弛为凸函数‖x‖1，即在求解(1)式最优化模型时，求解如下凸优化问题

(4)

其中‖x‖1表示向量x的l1范数，也称为l0范数的凸松弛。

最优化(4)式的无约束正则化问题为(least absolute shrinkage and selection operator，简称LASSO)

(5)

本文利用压缩感知基本理论研究如下模型在中国航空货运量预测中的应用

(6)

其中l1=[1,2,…,n]T。

2 基于压缩感知的航空货运量灰色理论模型

本节重点讨论具有稀疏性的灰色理论模型在中国航空货运量建模中的应用，并通过Matlab的CVX工具箱得到基于压缩感知的航空货运量灰色理论模型。通过对基于压缩感知理论的灰色理论模型的拟合误差指标比较可知，基于压缩感知理论的灰色理论模型更符合航空货运量的实际情况，拟合精度高，预测误差小。

具体处理方法为：第一步将中国航空货运量数据矩阵(X=[xab])取对数处理，即Z=lnX；第二步将矩阵Z的每一列作为新的向量代入优化模型(6)式，选择合适参数μ并通过Matlab的CVX工具箱得到基于压缩感知的航空货运量灰色理论模型；第三步进行指数运算重建原始数据，即以2002～2009年中国航空货运量的统计数据为基础，选择参数μ=0.41，通过Matlab的CVX工具箱得到基于压缩感知的航空货运量灰色理论模型的指数项(此项主要体现中国航空货运量的整体变化，体现中国航空货运量的内在规律)以及稀疏项(充分体现经济突发事件对中国航空货运量的影响)，其中指数项如表1。

表1 基于压缩感知的各月灰色理论模型Table 1 Gray dynamic models of months based on compressed sensing

稀疏项理论上为8×12矩阵，为文章的简洁性以图形直观展现代替具体抽象数值。图1中红色的方框代表此位置数据的绝对值较大，而蓝色的方框代表此位置数据的绝对值较小。

图1 稀疏项的绝对值Fig.1 Absolute value of the sparse component

从图1可以得知稀疏位置主要集中在2003年以及2008年的下半年以及2009年上半年。这一结果充分体现2008年金融危机对中国航空货运量的影响。为清楚得到此结论，将稀疏矩阵每个数据的绝对值与e0.01比较，可得如下逻辑矩阵图2、图3分别给出2002～2005、2006～2009年按月份的实际航空货运量以及基于压缩感知的航空货运量灰色理论模型拟合值。从实验结果分析可知，基于压缩感知的航空货运量灰色理论模型具有拟合精度高的优点。

为充分展现中国航空货运量的基本内在变化规律，将所得基于压缩感知的航空货运量灰色理论模型指数项按年份以及按月份作图如下。

图4直观展现中国航空货运量一年内的变化规律；图5直观展现中国航空货运量逐年变化规律。从图4很容易发现指数项是低秩矩阵(每年内的变化规律几乎是一样的)，严格数学分析同样可得此结果(指数项奇异值主要集中在前2项，而真实奇异值比较分散)，真实数据以及指数项的奇异值如表2所示。

图2 2002～2005年真实数据与拟合数据Fig.2 True air cargo volume and the corresponding fitted data from 2002 to 2005

图3 2006～2009年真实数据与拟合数据Fig.3 True air cargo volume and the corresponding fitted data from 2006 to 2009

图4 2002～2009年各年份12个月的拟合数据图Fig.4 Fitted data of 12 months of every year from 2002 to 2009

图5 2002～2009年各月份每年的拟合数据图Fig.5 Fitted data of every month from 2002 to 2009

利用本文所得基于压缩感知的航空货运量灰色理论模型可以预测2010年中国的航空货运量。将中国航空货运量按时间排列可得航空货运量的时间序列，实际航空货运量的时间序列、基于压缩感知的航空货运量灰色理论模型所得时间序列以及预测值详见图6。

表2 真实数据以及指数项的奇异值Table 2 Singular values of the true air cargo volume and the exponential component

表3列出2010年中国航空按月份的货运量真实值以及本文提出方法的预测值，从预测结果可知2010年全年12个月份的最大预测误差为5.92%。通过对预测误差的分析可知，基于压缩感知的航空货运量灰色理论模型给出符合现实规律的航空货运量模型，并且此模型可在中国航空货运量的短期预测中得到应用。上述结论为航空货运市场进一步调控提供强有力的理论支持。

图6 2002～2009年真实数据、拟合数据以及2010年的预测值Fig.6 Fitted data from 2002 to 2009 and the predicted value of 2010表3 预测值与预测误差Table 3 Prediction value and prediction error

月份123实际值45.0734.2747.96预测值44.0533.4545.71误差/%2.272.394.69月份456实际值46.6046.7343.63预测值46.5744.4441.53误差/%0.064.904.80月份789实际值44.5446.3251.57预测值44.5343.5852.32误差/%0.025.921.46月份101112实际值49.6449.8251.54预测值47.0751.8651.46误差/%5.184.100.16

3 结 论

本文研究存在稀疏干扰下的航空货运量预测问题，充分挖掘中国航空货运量发展变化的总体趋势性和每年的季节性等特点，建立中国航空货运量基于压缩感知的灰色理论模型。以2002～2009年中国每月航空货运量的统计数据为基础，按月份划分为12组时间序列并建立相应的基于压缩感知理论的灰色模型。通过Matlab的CVX工具箱得到航空货运量基于压缩感知理论的灰色模型，对原始数据拟合的结果分析可以得到基于压缩感知理论的灰色模型，不但可以得到中国航空货运量的逐年递增趋势，并可以得到每年的逐月季节变化趋势，同时还可以得到突发事件对中国航空货运量的影响，特别是2008年全球经济危机对中国航空业的冲击，其主要表现为稀疏项主要集中在2008年的9、11、12月份以及2009年的1～4月份。本文同时给出基于压缩感知的灰色模型的2010年每个月预测值，最大预测误差不超过5.92%，预测结果表明基于压缩感知理论的灰色模型可应用于短期内中国航空货运量的预测。

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Gray dynamic model based on compressed sensing and its application to prediction of air cargo volume

YOU Qing-shan1,2, XU Hai-wen1, LEI Kai-hong1

1.CollegeofComputerScienceandTechnology,CivilAviationFlightUniversityofChina,Guanghan618307China;2.SchoolofElectronicEngineering,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,Chengdu611731,China

This paper studies the influence of the economic emergency on the air cargo volume. The sparse matrix can be recovered by compressed sensing, and the low-rank matrix can be recovered by a gray dynamic model. According to the air cargo volume statistical data in China from the year 2002 to 2009, an air cargo volume gray dynamic model based on compressed sensing is established by the CVX tool box. By comparing the true value and fitted value of the air cargo volume, the gray dynamic model can not only recover the variation tendency of the air cargo volume, but also recover the seasonal fluctuation of the air cargo volume, and even can recover the sparse influence of the economic emergency. The predicted value of the air cargo volume of 2010 is also provided. The maximum error is 5.92%. This result tells us the gray dynamic model based on compressed sensing of the air cargo volume can be used to forecast the short-term aeronautic cargo capacity, and even can provide some effective theory evidence to supervise the native aeronautic cargo market.

convex optimization; prediction; air cargo volume; GM(1,1); regression analysis; compressed sensing

10.3969/j.issn.1671-9727.2014.05.16

1671-9727(2014)05-0651-06

2013-03-04 [基金项目] 国家自然科学民航联合基金资助项目(U1233105)

游庆山(1981-)，男，博士，讲师，研究方向：随机信号处理、 凸优化理论与算法, E-mail:13990287510@163.com。

O29:F562

A