C2⊗C6中的最大纠缠基与无偏基

雷丽霞,王天娇,南华*

(1.延吉市第七中学 教导处,吉林 延吉 133000；2.延边大学理学院 数学系, 吉林 延吉 133002)

0 引言

本文利用C2⊗C6空间的特点,通过对比不可扩展的最大纠缠基的概念,给出了最大纠缠基的概念,即给出了一组完全由最大纠缠态组成的C2⊗C6空间的完备基,并通过构造C6的一个酉矩阵,以其为过渡矩阵,得到了C2⊗C6空间上的另一组完备的最大纠缠基,最后证明了这两组基是互不偏的.

1 C2⊗C6中的不可扩展最大纠缠基与最大纠缠基

在量子系统的研究中，由纠缠基的概念引发了许多具有不同纠缠程度的其他的基底的研究,例如:直积基、不可扩展的直积基、不可扩展的最大纠缠基.

定义1[8]一个态矢的集合{|φi〉∈Cd⊗Cd′:i=1,2,…,n,n

定义2一个态矢的集合{|φi〉∈Cd⊗Cd′:i=1,2,…,dd′}称为最大纠缠基(简记为MEB)当且仅当:(i)|φi〉,i=1,2,…,dd′是最大纠缠态；(ii)〈φi|φj〉=δij,∀i,j=1,…,dd′.

文献[8-9]研究了不可扩展的最大纠缠基，并构造了由完备化的UMEB构成的无偏基.本文将在C2⊗C6空间中构造由最大纠缠态组成的最大纠缠基.

设{|0〉,|1〉}和{|0′〉,|1′〉,|2′〉,|3′〉,|4′〉,|5′〉}分别是C2和C6中的一组标准正交基，考虑C2⊗C6中的态矢：

(1)

其中σi(i=1，2，3)是Pauli矩阵,σ0=I2是2×2的单位矩阵.可以验证(1)式中的12个态矢都是最大纠缠的,同时两两正交，因此(1)式构成了C2⊗C6中的一组完备的最大纠缠基.

2 用C2⊗C6的MEB构造MUB

利用上述在C2⊗C6空间中构造MEB的方法,构造两组两两无偏的MEB.设矩阵

类似于(1)式中的结果,可以构造C2⊗C6的另一组完备的MEB：

(2)

其中σi(i=1，2，3)是Pauli矩阵,σ0=I2是2×2的单位矩阵.

定理1在两体量子系统C2⊗C6中，两组最大纠缠基(1)与(2)是两两互不偏的.

证明从两组MEB中分别任取一个态作内积,如:

通过进一步计算可得

故两组完备的MEBs(1)和(2)是MUBs.

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