Logistic反应扩散方程的周期波解

窦丽萍，何延生

(延边大学理学院 数学系，吉林 延吉 133002)

0 引言

格点动力系统(LDSs)是无穷多个常微分方程(Lattice ODEs)或差分方程(CMLs)的系统.由于传播波可以根据系统的初值来决定其长期行为，因此目前关于格点动力系统的研究很多集中在格点微分方程传播波的问题上.1984年Bell等在文献[1]中给出了以下典型例子：

(1)

对于给定的线性函数f，并利用初始状态研究了其解的长期性.之后,文献[2]的作者分析了一类微差分方程的传播波，文献[3]的作者给出了一类时滞发展方程的数值解.Shao Yuanhuang等[4]在一定的假设条件下，研究了λ-ω型非自治反应扩散方程周期传播波的存在性.关于波解的存在性结果可以参阅文献[5-7].

本文引入2+1维格点离散动力系统的传播波的一般概念，首先建立了系统的传播波与其剖面序列所满足的偏差分方程,并证明了一个反应扩散方程波解的存在性与其相应的偏差分方程解的存在性之间的关系;其次，利用基本分析法研究了一类带有Logistic控制的反应扩散方程

(2)

1 基本概念及引理

对于序列φ={φm}，如果存在ω∈Z+使得φm+ω=φm，m∈Z，那么ω是φ的一个周期.如果ω是φ的一个最小正周期，那么φ称为ω-周期的.

下面的定义和引理可参阅文献[8].

引理1如果y={yi}是一个ω-周期，而ω1是y的一个周期，则ω1modω=0.

定义2若r∈Z+(Z+表示自然数集)，(p,q)∈N2，gcd(p,q,r)=1，那么数组(p,q,r)是相容的.

定义3设m是正整数，a，b是整数，a与b同余，如果m|(a-b)，并记为a=bmodm.

定义5令y={ym,n}(m,n)∈Z2是一个双序列，如果y关于第一变量m是ρ-周期的，而关于第二变量n是σ-周期的，那么y称为是(ρ,σ)周期的.

引理2设(p,q,r)相容，对于任意(z1,z2)∈Z2，如果存在(m,n)∈Z2，s∈{0,1,…,r-1}使得(z1,z2)=r(m,n)+s(p,q)，那么(m,n)和s是唯一的.

本文记W={(z1,z2)|(z1,z2)=r(m,n)+s(p,q), 对于所有(m,n)∈Z2，s∈{0,1,…,r-1}},

显然，如果r=1，那么Ω=Z2.

引理3设(p,q,r)相容，对于任意(z1,z2)∈Z2，如果存在(m,n)∈Z2，使得(z1,z2)=r(m,n)+i(p,q)，则(z1,z2)∈Ω.

考虑带有Logistic控制项的反应扩散方程：

(3)

(4)

是偏差分方程

φ(m+p,n+q)=φ(m-r,n)+φ(m+r,n)+φ(m,n-r)+φ(m,n+r)-

4φ(m,n)+βφ(m,n)(1-φ(m,n)), (m,n)∈Z2

(5)

2 Logistic反应扩散方程的周期波解

考虑Logistic反应扩散方程：

(6)

其中β≠0为参数.

假设φ(m,n)是(2,2)-周期波解，φ(m,n)的形式为

φ(m,n)=a0+a1(-1)m+a2(-1)n+a3(-1)m(-1)n, (m,n)∈Z2,

(7)

其中a0,a1,a2,a3∈R且a3≠0.由于方程(4)中t∈Z+，(p,q)∈Z2是未知的，因此须考虑如下7种不同情况：(i)p,r,q都是奇数; (ii)p,q是偶数，r是奇数; (iii)q,r是偶数，p是奇数; (iv)p,r是偶数，q是奇数; (v)p,q是奇数，r是偶数; (vi)q,r是奇数，p是偶数; (vii)p,r是奇数，q是偶数.

情况(i).由(5)式有

φ(m+1,n+1)-2φ(m+1,n)-2φ(m，n+1)+(4-β)φ(m,n)+βφ2(m,n)=0, (m,n)∈Z2,

将(7)式代入上式得

a0-a1(-1)m-a2(-1)n+a3(-1)m(-1)n-2[a0-a1(-1)m+a2(-1)n-

a3(-1)m(-1)n]-2[a0+a1(-1)m-a2(-1)n-a3(-1)m(-1)n]+(4-β)[a0+

2a0a2(-1)n+2a0a3(-1)m(-1)n+2a1a2(-1)m(-1)n+2a1a3(-1)n+2a2a3(-1)m]=0.

即如能找到下面非线性系统的一组实数解(a0,a1,a2,a3)：

(8)

其中a3≠0，那么φ(m,n)是由(7)式定义的方程(6)的一个(2,2)-周期解.

(9)

(10)

(11)

(12)

综上所述，当p,r,q都是奇数，gcd(p,q,r)=1时，方程(6)的周期波解有如下形式：

情况(ii).由(5)式有

(5-β)φ(m,n)-2φ(m+1,n)-2φ(m，n+1)+βφ2(m,n)=0, (m,n)∈Z2.

(13)

将(7)式代入方程(13)得

(5-β)[a0+a1(-1)m+a2(-1)n+a3(-1)m(-1)n]-2[a0-a1(-1)m+a2(-1)n-

2a1a3(-1)n+2a2a3(-1)m]=0.

类似情况(i)可考虑如下非线性系统：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

综上所述，当p,q是偶数，r是奇数，gcd(p,q,r)=1时，方程(6)的周期波解有如下形式：

β<-3或β>5;

β<-3或β>5;

由于篇幅所限本文只讨论了前两种情况，剩余情况做类似的讨论即可，故省略.

参考文献：

[1] Bell J, Cosner C. Threshold behavior and propagation for nonlinear differential-difference systems motivated by modeling myelinated axons[J]. Quart Appl Math, 1984,42:1-14.

[2] Britton N F. Traveling wave front solutions of a differential-difference equation arising in the modeling of myelinated nerve axon[J]. Ordinary and Partial Differential Equations, Lecture Notes in Mathematics, 2006，1151(1985)：77-89.

[3] Chi H, Bell J, Hassard B. Numerical solutions of a nonlinear advanced-delay differential equation from nerve condition theory[J]. J Math Biol, 1986,24:583-601.

[4] Shao Yuanhuang, Sui Suncheng. Existence of periodic traveling wave solutions of non-autonomous reaction-diffusion equations with lambda-omega type[J]. J Math Anal Appl, 2014,409:607-613.

[5] Zinner B. Existence of traveling wavefront solutions for the discrete Nagumo equation[J]. J Differ Eq, 1992,96:1-27.

[6] Fu S C, Guo J S, Shieh S Y. Traveling wave solutions for some discrete quasilinear parabolic equations[J]. Nonlinear Anal, 2002,48:1137-1149.

[7] Wu J, Zou X. Asymptotic and periodic boundary value problems of mixed FDEs and wave solutions of lattice differential equations[J]. J Differ Eq, 1997,135:315-357.

[8] He Yansheng, Hou Chengmin. Traveling wave for 2-1 dimension lattice difference equations[J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics, 2013,28(2):214-223.