基于响应面法的蜂窝芯固有频率优化设计*

2014-07-24李永新吴金玺李天齐吴巍巍

机械研究与应用 2014年4期

关键词：面法蜂窝固有频率

刘明，李永新，吴金玺，李天齐，吴巍巍

(中国科学技术大学精密机械与精密仪器系，安徽合肥 230027)

基于响应面法的蜂窝芯固有频率优化设计*

刘明，李永新，吴金玺，李天齐，吴巍巍

(中国科学技术大学精密机械与精密仪器系，安徽合肥 230027)

对负泊松比蜂窝芯单元结构动态性能进行研究，选择蜂窝芯单元横梁长度、斜梁长度和其夹角三个参数为优化变量，运用响应面法理论模型建立了蜂窝芯单元结构前2阶固有频率近似显式数学模型；以提高蜂窝芯单元结构抗振性为研究目标，运用加权系数法将2阶固有频率模型转化为单目标问题研究，采用遗传算法对目标进行优化。参数优化结果表明，其前2阶固有频率分别提高了20%和35%，为航空航天结构应用提供了一定的参考价值。

负泊松比蜂窝芯；响应面法；固有频率；正交试验设计；多目标优化

Abstract: The dynamic performance is researched for the honeycomb core structure with negative Poisson′s ratio, and aiming to improve its resistance to vibration. Explicit expressions of the first-two-order modal′s natural frequencies were established using the response surface method, and the optimized parameters included the length of the beam and the oblique beam, as well as the angle between them. Then weighting coefficient method was adopted to fuse the two modals into one cost function, and genetic algorithm was used to optimize it. Experimental results showed that the natural frequencies of the first-two-order modals is increased by 20%, 35% , respectively, which may provide some references for its application in aerospace.

Key words: negative Poisson′s ratio honeycomb core; response surface method; natural frequency; orthogonal experimental design; multi-objective optimization

0 引言

蜂窝芯单元结构在航空航天方面应用的研究被广泛关注，负泊松比六边形蜂窝芯单元具有很高的比强度、比刚度等优良特性，是组成超弹性蒙皮结构的基本组成元件。笔者以超弹性蜂窝芯蒙皮为基础，选取典型的负泊松比六边形蜂窝结构[1-2]作为研究对象，对其动态性能进行深入研究。笔者的设计目的是使蜂窝结构具有大的固有频率；采用最小二乘法建立的固有频率响应面的数学模型可以反映结构的抗振能力，而蜂窝结构单元需要有大的抗震能力，因而需要尽可能大的固有频率，优化后的蜂窝芯尺寸结构在航天航空上的应用有很强的现实意义。

1 建立固有频率数学模型

图1为负泊松比六边形蜂窝芯结构的最小结构单元。其中a、b、θ、t、w、h分别为蜂窝芯单元横梁长度、斜梁长度、斜梁与横梁夹角、斜梁厚度、横梁厚度、单元z向厚度尺寸参数。

基于响应面法的蜂窝芯结构多目标优化设计流程如图2，首先选择横梁长度a、斜梁长度b和夹角θ这三个关键尺寸作为设计变量，固有频率f作为设计目标，用正交试验的方法设计试验，和ANSYS-APDL语言对不同蜂窝芯单元结构尺寸参数组合条件下进行参数化模态分析，用遗传算法对建立的固有频率响应面数学模型进行多目标优化，最终得到优化后新型蜂窝芯结构。

图1 负泊松比蜂窝特征单元

图2 基于响应面法进行优化流程

1.1 响应面法理论模型

响应面法是数理统计和试验设计相结合的方法[3-5]，通过合理的试验设计方法解决了建立目标与约束，同设计变量之间近似函数问题。笔者采用由二次多项式建立的响应面模型，其非线性部分构造简单固有频率与尺寸参数xi的响应面表达式为:

(1)

β=(β0,β1,…,β(n+1)(n+2)/2-1)T

式中：β为频率响应值系数矩阵，其求解方程为：

β=(XTX)-1(XTf)

(2)

(3)

(4)

式中：X、f分别为试验点矩阵、响应值固有频率值矩阵，m、n为试验次数和因素个数。

1.2 有限元法确定响应面系数

应用响应面法的关键环节为拟合的准确度和效率，因此选择合适的试验设计是非常重要的。为兼顾时间和拟合精度并减少实验次数，提高实验效率，采用正交实验设计方法[6]，其可在设计变量空间内寻找分布均匀的状态点。笔者对众多蜂窝芯单元尺寸参数进行取舍，选取a、b和θ三个尺寸参数作为因素进行试验设计。以蜂窝单元试验件为基础，使a、b和θ尺寸上下变动10%为边界约束范围，其他参数尺寸值不变。设计为因素、水平试验，如表1。

根据表1中的因素水平，设计16次正交试验L16(43)，如表2，进行有限元ANSYS模态仿真分析。

通过对试验件的模态分析可知，低阶模态振型对结构的影响较大，可能产生共振破坏。如图3为蜂窝芯单元第1阶振动模态图，在X-Y平面内存在明显变形，而图4为第2阶振动模态图，发生了弯曲扭转振动。

表1 因素和水平

表2 正交试验表

因此选取具有代表性的前2阶振型进行固有频率多目标优化。对表2中试验点进行有限元分析，利用ANSYS-APDL语言对16组试验数据进行参数化建模和模态分析，因此根据试验设计，单元类型选择SOLID187，并对蜂窝芯下部进行全约束，分析类型为模态(modal)，提取方法为分块的兰索斯法(Block Lanczos)，得到前2阶固有频率，如表3。

图3 蜂窝单元第1阶图4 蜂窝单元第2阶模态阵型模态振型

在表3中，fi(i=1,2)表示第i阶固有频率。将表2、3中数据代入式(2)得到前2阶响应面模型的系数矩阵：

表3 前2阶频率

β1= [349.5632 -0.3025 -1.0325

-11.8201 0.0024 0.0065 0.1039

-0.0098 0.0107 0.0190]

β2= [ 424.0367 -5.3016 -0.1788

-8.0746 0.0736 0.0076 0.0553

-0.0444 -0.0142 0.0393]

则固有频率响应面数学模型为：

f1(a,b,θ)=349.5632-0.3025θ-1.0325a-11.8201b+0.0024θ2+0.0065a2+0.1039b2-0.0098θa+ 0.0107θb+0.019ab

f2(a,b,θ)=424.0367-5.3016-0.1788a-8.0746b+0.0736θ2+0.0076a2+0.0553b2-0.0444θa-0.0142θb+0.0393ab

1.3 响应面模型的准确性验证

采用复相关系数的方法，评价频率响应面函数对试验点的拟合程度：

R2=1-SSE/SSY

(5)

SSE=fTf-βTΦTf

(6)

SSY=fTf-(1Tf)2/m

(7)

当R2=1时，说明数学模型拟合的曲线与真实模型完全重合；当R2越趋近于1，说明数学模型拟合出的曲线越能真实的反应实际模型，即精度越高。本试验数据结果证明，拟合出的固有频率数学模型可取代实际数学模型。

2 多目标数学优化模型概述

多目标优化设计[7-8]中，各分项目标值同时达到最优比较困难，其中一个或几个目标值优化会引起其它目标值变坏。因此需要在目标值之间引入加权的处理方法，来协调各分项的值，以达到整体最优效果。

设有n个目标，且这n个目标很有可能存在冲突，则其多目标优化的数学模型为：

Fv-min(max)(X)表示向量目标函数中的各个子目标函数Fi(X)达到最小值(最大值)。

2.1 蜂窝芯单元多目标优化结果分析

对蜂窝芯单元前2阶固有频率为目标进行优化设计，以a、b和θ的原始尺寸作为设计空间的中心点，通过权重因子ω1、ω2得到多目标优化数学模型为：

F(a,b,θ)min=ω1f1(a,b,θ)+ω2f2(a,b,θ)

其边界条件范围为：

由于两阶频率在优化过程中同样重要，因此赋予权重因子ω1=ω2=0.5。通过MATLAB编写遗传算法[8-10]程序对F(a,b,θ)进行多目标优化，选择两点交叉和非均匀变异方式，经过100代遗传优化后，优化结果如表3所列。

表3 优化前后结构特性

注：优化率=(最优值-原始数据)/最优值

由表3可看出，通过对蜂窝芯单元结构固有频率多目标优化前后结果对比可知，第1阶和第2阶固有频率分别提高了20.07%和35.35%。这证明笔者提出的基于响应面理论的多目标优化方法是有效且合理可行的。

3 结论

首次将响应面理论和遗传算法应用于蜂窝芯单元结构多目标优化上，为超弹性蜂窝蒙皮的设计提供定量的优化方法和参考。其次基于响应面法，在给定横梁长度、斜梁长度及其夹角的基础上，通过正交试验设计和ANSYS-APDL参数化数值模拟，快速的建立了蜂窝芯单元结构尺寸与固有频率响应面数学，提高了设计质量。同时，笔者提出的多目标优化方法具有普适性，响应面法建立数学模型与具体分析结构无关，可推广到2阶以上的频率多目标优化上。

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The Optimization and Design of Natural Frequency for Honeycomb Core Based on Response Surface Method

LIU Ming, LI Yong-xin, WU Jin-xi, LI Tian-qi, WU Wei-wei