基于Vague软集相似度量的快速估算模型

刘庆，王昌

（1.新乡职业技术学院 公共课部，河南 新乡 453006；2.西北大学 数学学院，陕西 西安 710127）

Zedeh于1965年首先提出了Fuzzy集理论［1］，一般称为经典模糊集.在随后的几十年中，它不断得到完善和发展，并在多个领域得到成功应用，但不足之处是Fuzzy集是单值隶属度，在表示不确定信息时有一定的局限性.为此，台湾学者Gua和Buehrer于1993年推广了Fuzzy集，提出了Vague集理论［2］，它有真假2个隶属度，从支持和反对2方面来表达不确定信息，论域中的元素与论域上集合之间的关系从“一定程度上属于”推广到“在一定范围内的属于”.这种对论域中的元素与论域上集合之间的新界定，可以更准确、合理、广泛的表示不确定信息.正是基于Vague集比较优良的表述性，近些年，它在数学、计算机、智能控制等领域得到广泛应用［3－8］.然而这2种模糊理论有1个共同的不足之处，就是只能处理部分的不确定信息，为了解决这个问题，学者molodtsov在文献［9］中提出了软集的概念，接下来学者Wei在文献［10］中将Vague集和软集的概念结合起来，提出了Vague软集的概念，王昌在文献［11－12］中进一步完善了Vague软集的相关理论.本文在此基础了，提出了一种新的计算Vague软集间相似度量的公式，给出合理化的证明，并基于此建立了工程项目造价的1个快速估算模型.快速估算在很多领域具有重要作用，特别是建筑施工行业，无论是前期的投资估算还是招标时价格的确定，都必须进行较为精确的快速估算，因此全面准确地估算工程项目造价，是整个决策阶段造价管理的重要内容.随着现代建筑工程项目结构越来越复杂，规模也越来越大，造成准确的快速估算越来越困难，因此迫切需要快速、实用、简捷的建筑工程快速估价模型.大量的工程实践表明，应用模糊数学理论建立的估算模型，对工程招标等效果非常明显，有利于节省人力物力，提高中标率.Vague软集作为一种优良的模糊信息处理工具，对模糊信息的分析处理比普通模糊集更灵活，更强大.本文以Vague软集理论为原理，根据Vague软集的相似度量公式，构造了1个工程项目造价的快速估算模型，并通过实例验证了该模型的合理性和有效性.

1 预备知识

定义1［2］设U 是一个点（对象）空间，其中任意一个元素用x表示，U 上的一个Vague集用一个真隶属度函数tA（x）和一个假隶属度函数fA（x）表示，tA（x）是从支持x 的证据导出的x 的肯定隶属度的下界，fA（x）是从反对x的证据所导出的x 的否定隶属度的下界.tA（x）和fA（x）将区间［0，1］中的一个实数和U中的每一点联系起来，即

称［tA（x），1－fA（x）］为x 在A 中的Vague值，记为A（x），论域U 上Vague集的全体用V（U）表示.

定义2 称πA（x）＝1－tA（x）－fA（x）（0≤πA（x）≤1）为元素x对Vague集A 的未知度，它表征人们对事物认识的不确定度，未知度越大，认识的精度越低.

定义3［9］设U 是一个论域，P（U）是U 的幂集，E 是一个参数集，A ⊆E，且F：A →P（U）是一个映射，称（F，A）为U 上的一个软集.

定义4［10］设U 是一个论域，E 是一个参数集，A ⊆E，且F：A →V（U）是一个映射，即∀e∈A，F（e）是U 上的一个Vague集，称（F，A）为U 上的一个Vague软集，用VSS（U）表示.

例：令（F，E）为Vague软集，论域U ＝｛x1，x2，x3，x4｝表示父辈4个人的集合，而参数E＝｛e1，e2，e3｝为子辈的集合，Vague软集（F，E）表示父辈和子辈的相像程度.

论域U 上的参数集族｛F（ei），i＝1，2，3｝即为Vague软集，用矩阵形式表示为

2 Vague软集的相似度量

Vague集的相似度量已发展得比较成熟，不少学者都提出了比较合理的相似度量公式［3－4，13－17］，Vague软集作为一种处理模糊信息的工具，是Vague集的一种推广，所以研究Vague软集的相似度量公式时，可以借鉴Vague集的相似度量公式.目前提出Vague软集相似度量公式的很少［12］，Vague软集具有真、假隶属度和未知度3个重要特征，所以考虑Vague软集相似度量的时候，必须同时考虑这3种因素，结合Vague集相似度量方面的共识，提出Vague软集相似度量的一般准则.

VSS（U）表示论域U 上的Vague软集，E 是参数集，（F，E），（G，E），（H，E）∈VSS（U），函数M：VSS（U）×VSS（U）→［0，1］称为Vague软集间的相似度量［12］，若其满足以下准则：

准则1 有界性 0≤M（（F，E），（G，E），≤1.

准则2 对称性 M（（F，E），（G，E））＝M（（G，E），（F，E））.

准则3 归一性 M（（F，E），（G，E））＝1⇔（F，E）＝（G，E）

准则4 单调性 若（F，E）⊆（G，E）⊆（H，E），则

M（（F，E），（H，E））≤min（M（（F，E），（G，E）），M（（G，E），（H，E）））.

文献［12］给出了2个Vague软集间的相似度量，但是不足之处是没有考虑参数权重，造成结果与实际有一定偏差.接下来，结合各参数的权重，给出Vague软集间的一种比较合理的相似度量公式.

定理1 设U ＝｛x1，x2，…，xn｝是一个论域，E＝｛e1，e2，…，en｝是一个参数集，VSS（U）表示论域U 上的Vague软集.已知（F，E），（G，E）∈VSS（U），则称

为Vague软集（F，E），（G，E）的相似度量，其中λi是ei的权重，且其 中tF（ei）（xj），fF（ei）（xj），πF（ei）（xj）分别是Vague软集（F，E）中元素xj的真、假隶属度和未知度，tG（ei）（xj），fG（ei）（xj），πG（ei）（xj）分别是Vague软集（G，E）中元素xj的真、假隶属度和未知度.

证明：接下来证明满足Vague软集间相似度量的一般准则

准则1 由于0≤｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜≤1，0≤｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜≤1，

故

所以 0≤｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜＋｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜＋｜πF（ei）（xj）－πG（ei）（xj）｜≤4，

即 0≤M（（F，E），（G，E））≤1.

准则2 由于｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜＋｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜＋｜πF（ei）（xj）－πG（ei）（xj）｜＝｜tG（ei）（xj）－tF（ei）（xj）｜＋｜fG（ei）（xj）－fF（ei）（xj）｜＋｜πG（ei）（xj）－πF（ei）（xj）｜，故M（（F，E），（G，E））＝M（（G，E），（F，E））.

准则3 由于M（（F，E），（G，E））＝1，所以

｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜＋｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜＋｜πF（ei）（xj）－πG（ei）（xj）｜＝0，故｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜＝｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜＝｜πF（ei）（xj）－πG（ei）（xj）｜＝0，

所以tF（ei）（xj）＝tG（ei）（xj），fF（ei）（xj）＝fG（ei）（xj），πF（ei）（xj）＝πG（ei）（xj），即（F，E）＝（G，E）.

准则4 证明M（（F，E），（H，E））≤M（（F，E），（G，E））.

因（F，E）⊆（G，E）⊆（H，E），故tF（ei）（xj）≤tG（ei）（xj）≤tH（ei）（xj），fF（ei）（xj）≥fG（ei）（xj）≥fH（ei）（xj），｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜≤｜tF（ei）（xj）－tH（ei）（xj）｜，｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜≤｜fF（ei）（xj）－fH（ei）（xj）｜，

又 ｜πF（ei）（xj）－πG（ei）（xj）｜＝｜（1－tF（ei）（xj）－fF（ei）（xj））－（1－tG（ei）（xj）－fG（ei）（xj））｜＝｜tG（ei）（xj）－tF（ei）（xj）＋fG（ei）（xj）－fF（ei）（xj）｜≤｜tH（ei）（xj）－tF（ei）（xj）＋fH（ei）（xj）－fF（ei）（xj）｜＝｜（1－tF（ei）（xj）－fF（ei）（xj））－（1－tH（ei）（xj）－fH（ei）（xj））｜＝｜πF（ei）（xj）－πH（ei）（xj）｜.

故 ｜tF（ei）（xj）－tG（ei）（xj）｜＋｜fF（ei）（xj）－fG（ei）（xj）｜＋｜πF（ei）（xj）－πG（ei）（xj）｜≤

｜tF（ei）（xj）－tH（ei）（xj）｜＋｜fF（ei）（xj）－fH（ei）（xj）｜＋｜πF（ei）（xj）－πH（ei）（xj）｜.

即 M（（F，E），（H，E））≤M（（F，E），（G，E））.

同理可得 M（（F，E），（H，E））≤M（（H，E），（G，E））.

故 M（（F，E），（H，E））≤min（M（（F，E），（G，E）），M（（G，E），（H，E）））.

3 基于Vague软集相似度的快速估价模型

快速估价在房地产、工程项目、企业投资咨询、控制决策等领域具有广泛的应用.接下来，以Vague软集的相似度量为依据建立快速估价模型，进行模糊估价.

3.1 构造工程造价特征因素集的特征值矩阵

虽然2个完全一致的工程是不存在的，但是决定其造价的主要特征因素却是相同的，令C 代表特征因素集合，则工程项目的主要特点可以用特征因素集C ＝｛基础类型，结构类型，门窗工程，层数层高，内外墙装饰，楼地面工程｝来反映.尽管不存在2个完全相同的工程，但在大量已完成的建筑工程中，总可以找到与拟建工程项目相似的工程，称为典型工程.它们在构造、材料、建设施工方法等方面有很多相似之处，所以根据已有典型工程项目的单方造价可以快速估算出拟建项目的单方造价，进而由建筑面积估算出总造价.

为了反映各特征因素对工程项目造价影响的大小，各特征因素应赋予不同权重.赋权的方法很多，笔者根据文献［18］采用经典的层次分析法（AHP），根据典型工程、拟建工程项目的特征因素数据，以及综合单价和权重等数据，计算各建筑工程对应的特征值［19］

如果有n个典型工程项目的造价资料，每个典型工程有m 个特征因素，则可以构建如下的特征矩阵：

3.2 建立典型与拟建项目的Vague集矩阵

根据经典模糊集理论确定工程隶属度［19］，在这里，工程隶属度是指典型工程的特征值隶属于拟建项目特征值的大小程度，计算公式如下：

其中，rij为典型工程j的特征因素i对拟估项目的隶属度；Cij为典型工程j的特征因素i的特征值；Cj为拟估工程元素i的特征值.根据式（2）可将式（1）的特征值矩阵Cij转化为典型工程对拟估项目的隶属度矩阵rij，因隶属度矩阵R 是普通模糊集，故需构造对应的Vague集矩阵.一般情况下，分项工程在分部工程所占比例是由设计单位决定的确定值，而分项工程的单价则存在一定的不确定性，且有相应的上下限，也就是一个区间数.故根据式（1）和式（2）所得到的特征值矩阵也是区间数矩阵，对应式（3）求出的隶属度矩阵也是区间数矩阵.设m，n为区间数，根据区间数除法定义：m／n＝［m－／n＋，m＋／n－］，可以把隶属度矩阵rij转换成Vague集矩阵Aij.

其中rij为典型工程j 的特征因素i对拟估工程的真隶属度tij，r′ij＝1－fij，其计算公式为

建立Vague集矩阵Aij之后，就可以按照前面所定义的Vague软集间相似度量公式来进行计算.最后，求出全部典型工程与拟估工程的相似度后，取相似度最大的典型工程造价作为拟估工程项目估价的基数.

3.3 估算拟建项目的造价

设相似度值最大的典型工程单方造价为E′，造价指数为e＊，拟建工程的单方造价是E，造价指数为e，则

4 模型应用实例分析

某地欲新建一综合办公楼，拟定特征元素集C ＝｛层高，基础形式，门窗类型，内墙及装饰，外墙及装饰，楼地面工程｝，详细数据见表1.根据快速估价的要求，先从当地的建筑工程项目中选取4个典型项目，按照上述的估价方法和步骤对该项目进行快速估算.

表1 某办公楼特征因素数据表Tab.1 Table of feature factors of a building

步骤1 根据公式（2），构造特征值矩阵

类似可得拟建工程特征因素集向量

C′＝（［3.2，3.2］［2456，2922］［975，1102.5］［6500，7200］［760，850］［1368，1668］）T.

步骤2 根据公式（3），（4），（5）以及区间数除法规则构造典型工程项目对拟建工程的Vague集矩阵

显然拟建工程H 全部特征值对自身的Vague集隶属度向量为

A′＝（［1，1］［1，1］［1，1］［1，1］［1，1］［1，1］）T.

步骤3 根据Vague软集相似度量公式

其中，（F，E）相当于Vague集矩阵A 的每一列，（G，E）相当于拟建工程的隶属度向量.计算典型工程项目H1，H2，H3，H4和拟建项目H 的的相似度分别为M1＝0.918 3，M2＝0.937 5，M3＝0.924 2，M4＝0.915 4，可见典型工程H4与拟建项目相似程度最大.

步骤4 估算拟建工程项目的造价

查询典型工程项目H3当时的单方造价为E′＝1 140.86元／m2，造价指数e＊＝1.26，而拟建工程当前的造价指数e＝1.44，则根据公式（7），可得拟建工程单方造价为

E ＝E′·（e／e＊）＝1 140.86×（1.44／1.26）＝1 303.84元／m2.

根据建筑面积还可进一步估出总价.

5 结束语

目前，快速估算是数学与工程、管理等交叉学科的一个重要研究方向，特别是在建筑工程和投资预算领域.用传统的Fuzzy数学、灰色数学以及神经网络等进行的估价模型已经取得了明显的效果，其特征是速度快，应用范围较广.在现实工作中，往往需要在还不清楚设计图纸时，估算出建筑工程项目的造价，若采用一般的预算方法，很难做到，但如果采用模糊数学方法，只需要要知道几个主要参数，便可估算出其造价，而且估算出的结果比经验推算出的造价结果要准确科学，更具有实用价值.然而传统模糊理论在处理数据方面，存在信息不全面、中间值容易丢失等不足.为此本文引入了Vague软集相似度量公式来建立快速估价模型，Vague软集是模糊数学近几年发展的一个重要分支，该方法具有良好的动态和信息全面性，借助区间数可以精确表达综合单价的不确定性，为快速估价研究领域提供了一种新的视角和途径.从应用实例模型分析可以看出，本文建立的快速估价模型对于工程项目的预算快速报价，是一种可行有效的方法.方法不足之处在于Vague集的运算量比较大，构造隶属度矩阵的过程比普通模糊集复杂，但是若能借助于计算机，通过编制待估算工程造价的电算化程序，把大量典型工程的主要特征值整理后输入计算机，通过电脑在众多的典型工程中查找与拟建工程项目相似度最大的工程，可以大量简化计算过程，更快速地估算出拟建工程项目的单方造价，更好地扩大它的应用范围.

［1］ ZADEH L A.Fuzzy sets［J］.Information and Control，1965，8（3）：338－353.

［2］ GAU W L，BUEHRER D J.Vague sets［J］.IEEE Transactions on System，Man and Cybemetics，1993，23（2）：610－614.

［3］ DUG H H，CHUM K.A note on similarity measures between vague sets and between elements［J］.Information Sciences，1999，115（1）：83－96.

［4］ LIANG Z Z，SHI P F.Similarity measures on intuitionistic fuzzy sets［J］.Pattern Recognition Letters，2003，24（15）：2687－2693.

［5］ KUMAR A，YADAV S P，KUMAR S.Fuzzy reliability of a marine power plant using interval valued vague sets［J］.International Journal of Applied Science and Engineering，2006，4（1）：71－88.

［6］ JUN Ye.Improved method of multicriteria fuzzy decision making based on vague sets［J］.Computer Aided Design，2007，39（2）：164－169.

［7］ HUANG KuoChen，GINO K Yang.An enhanced method and its application for fuzzy multi－criteria decision making based on vague sets［J］.Computer－Aided Design，2008，40（4）：447－454.

［8］ ZHANG Qiansheng，JIANG Shengyi，JIA Baoguo，et al.Some information measures for interval－valued intuitionistic fuzzy set［J］.Information Sciences，2010，180（24）：5130－5145.

［9］ MOLODTSOVD D.Soft set theory－first results［J］.Computer and Mathematics with Applications，1999，37（4）：19－31.

［10］ XU Wei，MA Jian，WANG Shouyang，et al.Vague soft sets and their properties［J］.Computer and Mathematics with Applications，2010，59（2）：787－794.

［11］ 王昌，袁敏.Vague软集的一些代数性质［J］.计算机工程与应用，2010，46（13）：15－17.WANG Chang，YUAN Min.Some algebraic properties of Vague soft sets ［J］.Computer Engineering and Applications，2010，46（13）：15－17.

［12］ 王昌.Vague软集的相似度量及其应用［J］.统计与决策，2012（2）：77－79.

［13］ LI FAN，XU Zhangyan.Similarity measures between vague sets［J］.software，2001，12（6）：922－927.

［14］ LI Dengfeng，CHENG Chuntian.New similarity measure of Intuitionistiec fuzzy sets and application to Pattern recognitions［J］.Pattern Reeognition Lett，2002，23（1－3）：221－225.

［15］ LI Yanhong，DAVID L Olson，ZHENG Qin.Similarity measures between intuitionistie fuzzy（vague）sets：A comparative analysis［J］.Pattern Reeognition Letters，2007，28（2）：278－285.

［16］ 梁家荣，彭芳艳，伍华健.Vague集之间的相似度量新方法［J］.计算机应用研究，2010，27（1）：83－85.LIANG Jiarong，PENG Yanfang，WU Huajian.New method of similarity measure between Vague sets［J］.Application Research of Computers，2010，27（1）：83－85.

［17］ 彭祖明，陈义华.Vague集相似度量模型［J］.数学的实践与认识，2013，43（11）：215－220.PENG Zuming，CHEN Yihua.A new similarity measure model between Vague sets［J］.Mathematics in Practice and Technology，2013，43（11）：215－220.

［18］ 李彩凤.AHP优先权重的参数问题研究［D］.南宁：广西大学出版社，2011.

［19］ 沈良峰.建筑工程快速估价的一种模型及应用［J］.工业工程与管理，2004，8（6）：83－85.SHEN Liangfeng.A new model of celerity estimation on cost of architectural engineering and its application［J］.Industrial Engineering and Management，2004，8（6）：83－85.