数学模型在轴承振动监测过程中的应用

朱玉胜

(1.天津大学 管理学院，天津 300072；2.太重煤机有限公司，太原 030032)

1 数学模型

1.1 概念

数学模型到目前还没有统一定义。一般教科书认为数学模型是“根据对研究对象所观察到的现象及实践经验归结成的一套反映其内部因素数量关系的数学公式、逻辑准则和具体算法[1]”。数学学者认为数学模型是用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统特征及其内部联系或与外界联系的模型。一些管理学者认为数学模型是描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程。某些研究型学者则认为数学模型是一种模拟，是用数学符号、数学式、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，其或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，其建立常常既需要对现实问题进行深入细微的观察和分析，又需要灵活巧妙地利用各种数学知识。

数学模型所表达的内容可以是定量的，也可以是定性的，但必须以定量的方式体现。因此，数学模型的研究方法偏向于定量形式。

1.2 建模原则和过程

根据研究目的对所研究问题过程和现象的主要特征及主要关系，采用形式化的数学语言概括地、近似地表达出来的一种结构(即数学模型)的过程是数学建模。在数学建模的过程中一般遵循4项原则，即真实完整原则、简化实用原则、可推导原则和反映性原则。具体建模过程如图1所示。

图1 具体建模过程

1.3 种类

数学模型主要有以下几种：

(1)静态和动态模型 静态模型是指描述系统各量间的关系不随时间的变化而变化，一般用代数方程表达；动态模型是指描述系统各量间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程表达。

(2)分布参数和集中参数模型 分布参数模型是用各类偏微分方程描述系统的动态特性；集中参数模型是用线性或非线性常微分方程描述系统的动态特性。

(3)连续时间和离散时间模型 模型中的时间变量在一定区间内变化的模型称为连续时间模型，上述各类用微分方程描述的模型都是连续时间模型；在处理集中参数模型时，也可将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型，用差分方程描述。

(4)随机性和确定性模型 随机性模型中变量间关系以统计值或概率分布的形式给出；确定性模型中变量间关系是确定的。

(5)参数和非参数模型 参数模型是用代数方程、微分方程、微分方程组及传递函数等描述的模型；非参数模型是直接或间接从实际系统的试验分析中得到的响应。运用各种系统辨识的方法，可由非参数模型得到参数模型。

(6)线性和非线性模型 线性模型中各量间的关系是线性的，满足叠加原理；非线性模型中各量间的关系不是线性的，不满足叠加原理。

1.4 应用

数学因其准确性而成为最广泛用于交流的语言，常对实际事物建立各种数学模型，以期通过对该模型的研究来描述、解释、预计或分析与实际事物相关的规律。

数学模型的应用分为管理领域和技术领域的应用。管理领域的应用涉及企业管理、市场分类、销售策略、经济计量、投资决策、金融证券、数据挖掘与分析预测、物流管理、供应链、信息系统等。技术领域的应用总被机械地认为是除社会科学外的纯技术范畴，这样分类并不十分科学。但当需从定量角度分析和研究一个实际问题时，无论是管理领域还是技术领域，一般会通过对数学模型的应用和数学建模方法解决实际问题，即对研究对象进行分析与设计、预报与决策、控制与优化、规划与管理[2]。管理领域一般要解决的问题通常是一个非线性的复杂系统，面对的变量类别较多，要根据采集的原始数据量纲进行无量纲化处理，因为参数选择不同和研究的侧重点不同，得出的测量结果相差较大，而在技术方面准确性高，解决实际问题的可行性强。

2 实例分析

2.1 轴承使用过程中的问题及现象

据统计，30%的传动机械故障由轴承故障引起，其运行状态直接影响整台设备的性能[3]。大量试验证明，轴承疲劳寿命非常离散。在相同的试验条件下，结构、材质和加工工艺相同的同一批轴承，其最长与最短寿命可能相差数十倍甚至上百倍[4]。可通过轴承故障检测技术最大限度地发挥轴承的工作潜力，提前更换有安全隐患的轴承，减少故障发生率，提高设备的运行质量和可靠性。

2.2 数学模型的建立

轴承故障诊断技术较多，主要有振动诊断技术、铁谱诊断技术、声学诊断技术、油膜电阻诊断技术和温度诊断技术等[5]。国内对轴承振动监测与故障诊断的广泛研究基本上从20世纪80年代开始[6]。轴承振动监测过程就是当轴承零件的工作表面出现疲劳剥落、压痕或局部腐蚀时，轴承运行中会出现周期性的脉冲信号，这种信号可由安装在轴承座上的传感器(速度型或加速度型)接收，并接入电流放大器进行信号放大，再通过A/D卡转换为计算机可识别和处理的数字信号，利用计算机程序对该信号进行时域和频域分析并提取有效特征向量，应用智能软件判断识别轴承状态(故障或正常)，从而实现轴承在线监测和智能化故障诊断[7]。试验流程如图2所示。

图2 试验流程

轴承振动信号时域分析的主要任务是计算振动信号的时域统计特征参数，再与正常值对比确定轴承状态。常用的特征参数可分为有量纲参数和无量纲参数[5]。

设采样数据为xi(i=1，2，…，N)，其中，i为采样数量；N为采样总数。

有量纲参数如下：

(1)均值

均值表示随机过程的中心趋势，是随机过程的静态分量。其属于静态和随机模型，优点是故障诊断检测值较峰值更稳定。

(2)方差

方差描述随机过程在均值周围的散布程度，是随机过程的动态分量。其属于动态和随机模型，主要体现信号的稳定程度。

(3)均方根值

均方根值反映信号下x(t)相对于零值的波动情况。其属于连续时间模型，表示信号的平均能量。

(4)峰值

峰值是信号的最大瞬时幅值，反映信号的强度。其属于随机性、非参数和非线性模型，主要体现瞬时现象的指示值，适用于表面点蚀类的具有瞬时冲击的缺陷诊断。

无量纲参数如下：

(1)峰值因子

峰值因子是反映波形是否有冲击的指标，不受振动信号的绝对水平所影响，所以传感器的灵敏度即使有变动，也不会出现测量误差。

(2)峭度系数

峭度系数表示轴承工作表面出现疲劳故障时，每转一周，工作表面缺陷处产生的冲击脉冲。缺陷越大，冲击响应幅值越大，故障现象越明显。

(3)波形因子

波形因子对各类缺陷都有反应，适用于轴承早期故障预测。

(4)脉冲因子

脉冲因子对冲击脉冲类缺陷较敏感，特别是出现早期缺陷时，其值明显增加；当上升到一定程度后，随着缺陷的逐渐发展，其值反而会下降。

(5)裕度因子

裕度因子是反映信号冲击程度的一个指标，对轴承的冲击故障较为敏感。

无量纲参数的主要优点是在分析轴承振动信号时，能更有特点地体现轴承不同运行状态下的振动信号，得到便于计算机读取和识别的语言。

2.3 数学模型的求解与分析

实例中，轴承有正常和故障2种状态，在振源频率为20，25，30，35 Hz下，测样点数为2 000，2种状态各测10组数据。将检测到的振动信号导入MATLAB，首先对信号进行零均值化处理，然后进行时域分析及特征值提取、频域分析及特征值提取、特征值归一化，最后实现智能软件程序模式识别。

2.3.1 时域分析

通过编写并在MATLAB中运行时域特征方程计算程序，可得轴承样本的时域特征值，见表1。

表1 轴承样本的时域特征值

由表1可知，故障和正常轴承的均方根值和波形因子无明显差别，不能反映轴承状态。

2.3.2 频域分析

鉴于时域分析不能完全反映轴承状态，故对轴承样本进行频域分析。对零均值化后的数据进行FFT后绘制频谱图。故障和正常轴承频域如图3～图8所示。由图3～图8可知，故障和正常轴承的频谱有明显差别，可确定故障和正常轴承频域值差异时频段的大体位置。为进一步识别故障和正常轴承的频谱差异，采用重叠频谱的方法得到频域特征值的提取点和较小范围，对不同样本正常和故障轴承的频谱进行对比，提取5个频域特征值，见表2。

表2 频域特征值

图3 故障和正常NJ226轴承频域

图4 故障和正常NJ230轴承频域

图5 故障和正常NU2232轴承频域

图7 故障和正常23130轴承频域

图8 故障和正常24060轴承频域

2.3.3 归一化处理

由于各特征值的幅值不同，不便于比较不同样本间同一特征值的差异，并且考虑到后面的智能软件程序输入值，将所有特征值归一化到0～1区间。

线性函数转换表达式为

y=(x-minValue)/(maxValue-minValue)，

式中：x和y分别为转换前、后的值；maxValue和minValue分别为样本的最大值和最小值。正常轴承归一化后特征值见表3。故障轴承归一化后特征值见表4。

表3 正常轴承归一化后特征值

表4 故障轴承归一化后特征值

2.4 数学模型的检验与调试

将正常和故障轴承归一化后的特征值作为模式识别部分输入智能软件程序，智能软件根据程序设定，在线实时监测轴承状态，轴承正常输出0，轴承故障输出1，并能够实现轴承故障报警和停机。该监测系统建立完成后，首先在试验台上对正常和故障轴承进行测试，根据结果进行调试合格后，可将该系统应用到绝大多数传动机械中，通过轴承的实时状态监测可发现早期故障，并及时排除，避免造成设备及其他部件的损坏。

3 结论

研究数学模型在轴承振动监测过程中的应用有利于为研究同类技术问题或新产品开发课题提供一种实用的研究方法和思路，便于设计部门应用CAE技术根据监测反馈数据进行优化设计，缩短研发周期，提升产品设计质量。在产品应用阶段可实现轴承的实时在线振动监测，提前发现故障隐患并检修、更换，有效避免机械事故发生，最大限度发挥轴承工作潜力，降低企业运行成本，具有很好的推广价值。