薄板的几何非线性求积元分析

岳之光　钟宏志

摘要：针对薄板非线性迭代计算量很大的问题，依据von Kárman薄板非线性理论构造能量泛函，并用数值积分和数值微分进行离散，得到非线性方程组，从而利用求积元法（Quadrature Element Method，QEM）求解薄板的中等挠度的弯曲和非线性屈曲问题，得到可信的结果.算例表明：在处理薄板几何非线性问题上，QEM计算效率很高，应用潜力很大.

关键词：von Kárman薄板理论； 几何非线性分析； 求积元法； 后屈曲

中图分类号： TB115.1

文献标志码：B

0 引 言

不同于倾向于使用大量低阶单元的有限元法，求积元法[1]（Quadrature Element Method，QEM）是可以使用少量高阶单元解决问题的数值工具.QEM针对用变分形式描述的问题进行必要的单元划分，在每个单元上利用定义在相同节点集上的数值微分和数值积分对泛函的积分式进行离散近似，然后利用变分原理得到代数方程组进行求解.

QEM与有限元法的差别在于如何离散能量泛函.有限元法使用形函数描述单元位移场并在计算积分点处计算位移的导数；QEM则直接利用数值积分和微分获得积分点处位移的导数.常规的位移型有限元模型对问题进行物理离散，而QEM则进行数学离散.除此之外，在单元组集、边界条件施加和方程组求解等过程中，QEM与有限元法基本相同.若使用二节点数值积分，构造出的求积元薄板单元与MZC薄板单元[2-3]几乎相同.

数学离散过程比物理离散更加直接，而且可以利用高阶的数值积分构造多节点高阶单元，这也是QEM效率较高的原因.QEM不需要形函数，使单元构造过程更灵活.数值积分与数值微分有很多种，在构造求积元单元时可以任意选择，甚至在一个单元内可以根据需要采取多种不同的数值微分和数值积分.求积元的灵活性还体现在能够引入十分复杂的几何变换.构造的薄板求积元单元还有一个性质就是随着使用的数值积分阶数的升高，单元的协调性越来越好，不像有限元中协调单元那样性能偏硬.当阶数较低时求积元单元是非协调的，而高阶的求积元单元可被视为协调元.协调元的优点是能够保证收敛.一旦QEM所得到的结果收敛，那必然满足最小势能原理的真实解，这也说明QEM可靠.因为QEM高效、灵活、可靠，所以其应用价值很高.在许多线性问题[1，4-8]以及一维非线性问题[9-10]中QEM都体现出很高的计算效率.

应该指出，QEM的优势并不是任何时候都能发挥出来的，其高效、灵活和可靠的前提是所解决的问题允许使用高阶单元；但是对于连续性较差的问题，QEM相比常规有限元法的优势就会减弱，此时有必要用大量低阶小单元离散结构.薄板的几何非线性问题的位移场连续性很好，且需要进行非线性迭代，计算量较大，非常适宜使用QEM进行计算以提高效率.

摘要：针对薄板非线性迭代计算量很大的问题，依据von Kárman薄板非线性理论构造能量泛函，并用数值积分和数值微分进行离散，得到非线性方程组，从而利用求积元法（Quadrature Element Method，QEM）求解薄板的中等挠度的弯曲和非线性屈曲问题，得到可信的结果.算例表明：在处理薄板几何非线性问题上，QEM计算效率很高，应用潜力很大.

关键词：von Kárman薄板理论； 几何非线性分析； 求积元法； 后屈曲

中图分类号： TB115.1

文献标志码：B

0 引 言

不同于倾向于使用大量低阶单元的有限元法，求积元法[1]（Quadrature Element Method，QEM）是可以使用少量高阶单元解决问题的数值工具.QEM针对用变分形式描述的问题进行必要的单元划分，在每个单元上利用定义在相同节点集上的数值微分和数值积分对泛函的积分式进行离散近似，然后利用变分原理得到代数方程组进行求解.

QEM与有限元法的差别在于如何离散能量泛函.有限元法使用形函数描述单元位移场并在计算积分点处计算位移的导数；QEM则直接利用数值积分和微分获得积分点处位移的导数.常规的位移型有限元模型对问题进行物理离散，而QEM则进行数学离散.除此之外，在单元组集、边界条件施加和方程组求解等过程中，QEM与有限元法基本相同.若使用二节点数值积分，构造出的求积元薄板单元与MZC薄板单元[2-3]几乎相同.

数学离散过程比物理离散更加直接，而且可以利用高阶的数值积分构造多节点高阶单元，这也是QEM效率较高的原因.QEM不需要形函数，使单元构造过程更灵活.数值积分与数值微分有很多种，在构造求积元单元时可以任意选择，甚至在一个单元内可以根据需要采取多种不同的数值微分和数值积分.求积元的灵活性还体现在能够引入十分复杂的几何变换.构造的薄板求积元单元还有一个性质就是随着使用的数值积分阶数的升高，单元的协调性越来越好，不像有限元中协调单元那样性能偏硬.当阶数较低时求积元单元是非协调的，而高阶的求积元单元可被视为协调元.协调元的优点是能够保证收敛.一旦QEM所得到的结果收敛，那必然满足最小势能原理的真实解，这也说明QEM可靠.因为QEM高效、灵活、可靠，所以其应用价值很高.在许多线性问题[1，4-8]以及一维非线性问题[9-10]中QEM都体现出很高的计算效率.

应该指出，QEM的优势并不是任何时候都能发挥出来的，其高效、灵活和可靠的前提是所解决的问题允许使用高阶单元；但是对于连续性较差的问题，QEM相比常规有限元法的优势就会减弱，此时有必要用大量低阶小单元离散结构.薄板的几何非线性问题的位移场连续性很好，且需要进行非线性迭代，计算量较大，非常适宜使用QEM进行计算以提高效率.

摘要：针对薄板非线性迭代计算量很大的问题，依据von Kárman薄板非线性理论构造能量泛函，并用数值积分和数值微分进行离散，得到非线性方程组，从而利用求积元法（Quadrature Element Method，QEM）求解薄板的中等挠度的弯曲和非线性屈曲问题，得到可信的结果.算例表明：在处理薄板几何非线性问题上，QEM计算效率很高，应用潜力很大.

关键词：von Kárman薄板理论； 几何非线性分析； 求积元法； 后屈曲

中图分类号： TB115.1

文献标志码：B

0 引 言

不同于倾向于使用大量低阶单元的有限元法，求积元法[1]（Quadrature Element Method，QEM）是可以使用少量高阶单元解决问题的数值工具.QEM针对用变分形式描述的问题进行必要的单元划分，在每个单元上利用定义在相同节点集上的数值微分和数值积分对泛函的积分式进行离散近似，然后利用变分原理得到代数方程组进行求解.

QEM与有限元法的差别在于如何离散能量泛函.有限元法使用形函数描述单元位移场并在计算积分点处计算位移的导数；QEM则直接利用数值积分和微分获得积分点处位移的导数.常规的位移型有限元模型对问题进行物理离散，而QEM则进行数学离散.除此之外，在单元组集、边界条件施加和方程组求解等过程中，QEM与有限元法基本相同.若使用二节点数值积分，构造出的求积元薄板单元与MZC薄板单元[2-3]几乎相同.

数学离散过程比物理离散更加直接，而且可以利用高阶的数值积分构造多节点高阶单元，这也是QEM效率较高的原因.QEM不需要形函数，使单元构造过程更灵活.数值积分与数值微分有很多种，在构造求积元单元时可以任意选择，甚至在一个单元内可以根据需要采取多种不同的数值微分和数值积分.求积元的灵活性还体现在能够引入十分复杂的几何变换.构造的薄板求积元单元还有一个性质就是随着使用的数值积分阶数的升高，单元的协调性越来越好，不像有限元中协调单元那样性能偏硬.当阶数较低时求积元单元是非协调的，而高阶的求积元单元可被视为协调元.协调元的优点是能够保证收敛.一旦QEM所得到的结果收敛，那必然满足最小势能原理的真实解，这也说明QEM可靠.因为QEM高效、灵活、可靠，所以其应用价值很高.在许多线性问题[1，4-8]以及一维非线性问题[9-10]中QEM都体现出很高的计算效率.

应该指出，QEM的优势并不是任何时候都能发挥出来的，其高效、灵活和可靠的前提是所解决的问题允许使用高阶单元；但是对于连续性较差的问题，QEM相比常规有限元法的优势就会减弱，此时有必要用大量低阶小单元离散结构.薄板的几何非线性问题的位移场连续性很好，且需要进行非线性迭代，计算量较大，非常适宜使用QEM进行计算以提高效率.