数学建模一般认知过程及教学策略

毕 雁，张新华

（烟台职业学院， 山东 烟台 264000）

数学建模一般认知过程及教学策略

毕 雁，张新华

（烟台职业学院， 山东 烟台 264000）

为了适应数学教学改革的需求，逐步提升学生的数学文化及综合应用能力，必须加强数学建模教学.从学生数学建模认知过程的研究入手，对数学建模一般认知规律进行了探讨，并提出了相应的教学策略，以期不断提高数学建模的教学效果.

数学建模；一般认知过程；教学策略

从数学发展史可知，数学在社会、自然科学及现实生活等各个领域均有十分重要的应用，也成为推动数学不断发展的强大推动力，而采用数学方法进行模型构建，以解决实践问题的数学建模法恰恰是充分发挥数学综合应用功能的主要手段之一，在数学建模方法的应用过程中，不仅可以使人深深体会到数学的综合应用价值，逐步培养起完善的数学应用意识，树立科学的数学观，还可以培养学生应用数学知识、方法有效解决实际问题的能力，以便更好地为数学教学、科研工作及日常生活服务.

1 数学建模一般认知过程分析

1.1 数学建模的一般过程

调查发现，学生的数学建模行为具有相同的一般过程.具体而言，包括如下方面：

1.1.1 实际问题情境信息

所谓的“情境信息”，主要包括学生数学建模测试中所遇到的实际建模问题的信息，包括学生对所遇及感觉到的实际情境所进行的观察、抽象、分析及提炼的原始实际问题信息.

1.1.2 问题情境分析，合理假设以简化问题

学生在对实际问题情境的信息进行感知的过程中，对实际问题的背景、脉络进行梳理，正确理解实际问题的条件、关键术语及状态，对实际问题的内在结构及相关关系进行解析，建立初步的假设，以便对变量个数进行控制，从而对实际问题进行简化.

1.1.3 数学语言表述问题

数学语言表述问题是从对实际问题情境的解析及假设简化所得的，就形式而言，同传统数学应用问题相似，但是，其条件及结论表述仍存在一定的模糊性，是采用数学文字对实际问题情境进行表达.

1.1.4 构建数学模型

对数学文字所表述的问题进行深入分析，尽可能数量化、符号化，对问题内在结构及关系进行分析，并利用数学思想及方法构建数学模型，对问题条件及结构的关系进行科学表述.在这一过程需要采用附加假设及语言转换等操作，需对原有假设根据数学模型的相关要求进行科学地调整.

1.1.5 数学模型

该数学模型指的是一种经过符号化与图形化了的数学问题，具有确定的目标、要求及条件，是对实际问题建立假设、逐步明确条件的结果，是对数学语言表述问题明确而又近似的表述，也是对实际问题明确而又近似的表述.

1.1.6 模型求解

数学模型是一种基于数学形式的表达，模型显化需要在系统内进行逻辑性分析，并采用科学的数学思想及方法进行求解.

1.1.7 简化问题后的理论结果

对模型进行求解，所得出的结论即对实际问题简化之后的理论结果，并不是原有实际问题情境的精确性结论，采用该模型对原有实际问题进行解释，可能会有偏差.

1.1.8 对理论结果的分析、检验及解释

经简化之后的问题，其理论结果是否同实际问题相吻合，能否科学解释所需解决实际问题，是否对实际问题均适用，这还需要对理论结果进行情境分析、检验及评估.经检验与评估，若确认可以解释原有实际问题，则该数学建模行为就此结束，若确认结果并不满意，则需要返回建模操作其他，重新进行操作.具体返回哪一操作环节，需要根据所采取的建模监控策略进行判断.

1.2 数学建模的一般认知过程

本文以数学建模中学生的行为表现为基础，对建模行为进行了深入分析，从认知角度进行解析，对数学建模一般认知过程进行了初步提炼，如图1所示.为了明确各个环节的作用，以数学建模的一般过程作为基础，并对其操作及作用方式进行明确.

图1 数学建模一般认知过程模式图

当学生面临着实际问题或情境时，会启动相应的知觉机制，并对实际问题情境信息进行全方位感知.实际问题情境信息直接决定了建模实际问题的结构及其类型，并对实际问题的表征及加工进行了规定；知觉启动使得学生对问题情境信息进行全面感知，从而增强对于有关信息的敏感性，而这一过程离不开学生认知体系的支撑.特别是实际问题图式中的类型及模式作为变量，对影响情境信息的可觉察性进行调节，并对无关信息进行剔除，手机、比较、整合相关信息，从而获取实际问题表征；问题表征主要依赖学生的知识及经验，在形成问题表征时，学生认知结构是否存在足够数量的问题类型及其知识贮存方式，对于学生逐步深入地理解实际问题、并形成科学的问题表征具有十分重要的意义；当获取问题表征之后，学生进行判断，若不满意，需要重新回到知觉启动环节，重新获取情境信息，并同学生的认知结构进行交互，对实际问题的内在数学结构及类型进行深入理解，从而形成连续的概念转换，逐步逼近表征.若满意，则认知结构将被激活，并形成建模策略的选择、识别、对比与生成；此时，学生将所感知的实际问题情境及认知结构内在信息予以对比，若相互匹配，则作为该认知系统的实例，并形成和其原认知系统建模问题相对应的模型，若不匹配，需进行联想，激发相关经验，形成新的匹配样例，形成建模策略；获取模型后，在认知结构与数学认知结构的相互作用之下，生产模型求解思路，并对模型进行求解；以学生原有认知结构为基础，采用观察、对比等方法，采用模型及求解对实际问题予以分析、检验和解释，判断是否同个人预期相适应，若适应，则建模认知过程结束，若不适应，需要返回其他认知环节进行自我监控，并重新开展认知操作.

2 数学建模教学策略分析

本文以数学建模一般认知过程为基础，对两种数学建模教学策略进行了分析，一种是试例教学、变式教学、开放式教学相结合策略；另一种是一般性解题思维、数学建模与建模方法相结合策略，以下具体进行分析.

2.1 试例教学、变式练习、开放式训练相互结合

2.1.1 试例教学

试例教学的意义在于减轻学生的认知负荷，将学习重点转移到数学建模原理、方法以及结构特征等，提高学生对数学建模问题图式的认知.与书面例题教学相比，试例教学的注重点在于数学建模教学策略的运用，而不是简单的书面解答，故更容易被学生所接受.

2.1.2 变式练习

不同的数学建模问题需要不同的方法来解决.通过数学模型转移、转换、组合和更新等变式练习，增加数学建模迁移、实际问题转化数学模型以及建模能力等学习内容，从而有效提高学生对数学建模问题图式认知能力和表征能力.

2.1.3 开放式训练

结构不良是数学建模的特征之一，在具体的数学建模问题中要设定多个假设、多个解决方法、多个情境分析以及多个结果分析，这就决定了建模问题图式应采取开放式训练的教学策略，帮助学生在建模过程中形成灵活性高、系统性强的图式认知.

试例教学是数学建模教学的基础，变式练习建模过程中问题图式的巩固，开放式训练则是试例教学和变式练习的进一步拓展.上述三者在建模教学中是相辅相成、循序渐进的关系.因此，在实际的数学建模问题图式教学中，只有充分运用三种方法才能发挥出数学建模教学的最佳效果.

2.2 一般性解题思维、数学建模与建模方法相互结合

2.2.1 一般性解题思维策略

一般性解题思维策略适用于任何一种解决问题的思维活动中，其过程如下：（1）解题时需要对题意进行准确地理解，切忌匆忙进行解答；（2）从整体结构上对题意进行把握，并对复杂的数量关系进行梳理，对深层次地结构关系进行挖掘；（3）对题目的整体意义进行把握，并以此为基础对解题思路及方向进行明确；（4） 对已知条件及情境信息进行充分利用；（5）正向推理与反向推理相结合；（6）转变传统思维定势，开展发散性思维；（7）解题之后需要对解题思路进行总结，充分发挥一般性解题思维策略对于解决实际问题的指导性作用.实践显示：仅仅解决量的积累，并不一定会提高学生解决问题能力的“质”，优秀和中等学生在解决数学问题能力方面的差异性，并非存在于基础知识方面的差异，而是问题解决策略方面的差异.

2.2.2 数学建模策略

数学建模的策略有许多，可以建模过程的不同阶段为依据，对建模策略进行分类，包括表征、假设、构建、求解、检验、调整、自我监控等策略.而且，可将上述不同阶段的策略进行进一步细化，成为更加具体的策略.数学建模不同的策略特点也不同，教学过程中应根据各策略的特点组织和实施各类策略.如，利用表征策略进行教学时，教师应当引导学生采用合适的表征形式，注重暴露自身的思维，以外在形式对建模问题进行表征，有意识地使学生暴露于思维活动中，培养其表征习惯，反复进行表征练习，并采用各种形式进行相同问题的表征，同时，注重学生间的相互交流.

2.2.3 建模方法策略

建模方法指的是先将实际问题转变为数学问题，建立数学模型，并研究模型，寻求解决问题的方法.应采用如下策略：（1）注重多层面建模方法，强调数学建模方法的各环节及步骤.对不同步骤的特点、作用及相互间的协同作用机制进行分析，并对问题分析、假设、模型建立、求解、验证及评价等环节从方法层面予以研究；（2） 注重将建模方法逐层分化与相互贯通进行结合，以建模方法体系为依据，对建模方法进行逐层分化，并形成具体方法，通过学习实际问题，对建模方法进行掌握，经融会贯通对数学建模方法体系进行全面把握；（3） 采用递进的方法顺序，选取的问题难易程度，也应由简至繁、由易至难地对问题进行梯级设计；（4）采用建模方法进行多维表征及多角度分析，以更全面地反映其综合性质，采用多角度分析可使所隐含的潜在关键性因素逐步凸显，有助于学生掌握并迁移至新的情境中来，以更好地提高学生的认知灵活性；（5）采用建模方法和情境问题相结合的方式，一方面，将某建模方法运用于不同的问题情境案例中，以增强学生对其的理解与迁移，另一方面，所选取的问题均能够采用多种建模方法予以解决，并体现了各种建模方法的表征.

3 结束语

综上所述，数学建模在解决问题方面具有特殊性，它不同于一般的数学问题和数学应用解决方法.数学建模一般认知过程的开放性更强、创造性更好且思维性更灵活，因此，一般理论、数学应用理论以及数学问题理论不能代替数学建模来解决相应的问题，其结果更不能运用到数学建模情形中.此外，在数学建模的学习过程中，要将高层次教学思维和教学策略融入到实际课程和研究，以顺应时代教育改革发展的步伐，逐步提升学生数学应用能力、解决问题能力以及综合素养.

〔1〕曹才翰,章建跃.数学教育心理学[M].北京:北京师范大学出版,2009.

〔2〕程素萍.问题解决中的元认知研究综述[J].教育理论与实践,2010(3):16-19.

〔3〕邓铸,余嘉元.问题解决中对问题的外部表征和内部表征[J].心理学动态,2011(3):193-200.

〔4〕弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海:上海教育出版社,2007.

O1-4

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1673-260X（2014）08-0004-03