一种基于二阶锥规划的浮点分数时延滤波器

刘 鑫， 孙大军， 滕婷婷， 张 宇

(哈尔滨工程大学 水声技术重点实验室，黑龙江 哈尔滨 150001)

一种基于二阶锥规划的浮点分数时延滤波器

刘 鑫， 孙大军， 滕婷婷， 张 宇

(哈尔滨工程大学 水声技术重点实验室，黑龙江 哈尔滨 150001)

宽带图像声纳通常采用分数时延滤波器来提高时延精度。传统的分数时延滤波器基本采用Fa-rrow定点结构，但其动态范围窄并且需要占用较多的硬件资源。为克服上述不足，提出了一种采用二阶锥规划(SOCP)算法进行分数时延滤波器系数设计，并以分布式算法为基础的浮点分布式时延滤波器。该滤波器具有计算精度高、动态范围大等优点，适于在FPGA上进行规模化应用。

分数时延滤波器； 二阶锥规划； 浮点运算

0 引 言

宽带图像声纳的波束形成可采用时域处理方式，为了解决时域波束形成中的精确时延问题，人们提出很多方法，如过密采样法、时域内插法[1]、频域加权法[2]等。但这些方法均具有较大的缺陷，如数据量过大或时延精度不高等。而分数时延滤波器[3～6]由于时延精度较高且实现相对简单，被广泛应用在数字通信、语音处理、宽带雷达波束形成中。

在工程实现方面，Farrow C W于1988年提出的经典Farrow分数时延滤波器结构[7]。该滤波器无需对每个时延值单独存储滤波器系数，只要改变输入时延量就可改变整个滤波器的时延值。Pun C K S等人针对Farrow滤波器结构的乘法器、加法器个数进行了优化，通过将滤波器系数表达为多项式和的形式，利用简单移位加法来替代硬件乘法器[8],该方法是目前使用较广泛的分数时延滤波器工程实现方法。但对于宽带图像声纳的多通道高速时延需求来说，其FPGA资源占用仍然过多，因此，进一步研究适合宽带波束形成的分数时延滤波器实现结构是很有必要的。

1 二阶锥规划系数设计

二阶锥规划(SOCP)是非线性凸优化，线性规划、凸二次规划都属于二阶锥问题的特例，它解决某线性函数在仿射集与二阶锥空间的交集上达到最小化的问题。SOCP问题常表述为下式

minimizefTx,

(1)

(2)

式(1)称为目标函数，其中，x∈Cn是优化变量，问题参数为f∈Cn，Ai∈C(ni-1)×n，bi∈Cni-1，ci∈Cn，di∈R。其中,C为复数集，R为实数集。式中的范数‖·‖为标准欧几里得范数，即‖u‖=(uTu)1/2。由满足二阶锥约束的点集构成了单位二阶锥通过仿射映射形成的反向图像，因此,有

(3)

式中lni为复空间的ni维二阶锥。因此,若能将约束函数写为式(2)所示，就可以将其转换为SOCP问题，并通过Matlab的二阶锥工具箱SeDuMi或CVX等进行求解。

若分数时延滤波器阶数为L，采样频率为fs，关注的离散归一化频率范围为f=[fL∶Δf∶fH]/fs，设分数时延为p=τ/fs，其中，τ∈[-0.5,0.5],则分数时延对应的复频率响应为

Hτ(f)=e-j2πfτ.

(4)

若加上L阶FIR滤波器的固有时延，则期望的理想时延滤波器复频率响应为

Hd(f)=e-j2πf((L-1)/2+τ).

(5)

设FIR时延滤波器具有冲击响应h=[h(0),h(1),…,h(L)]T，则滤波器的复频率响应可表示为

(6)

其中，e(f)=[1,ej2πf,…，ej2πLf]T，H(f)为(L+1)×1维向量,则期望的复频率响应与理想复频率响应的差ε为

ε=‖Hd(f)-H(f)‖2.

(7)

因此，时延滤波器系数的设计变化为寻找一组冲击响应h，使设计频率响应误差与理想频率响应误差的L2范数，即均方误差达到最小。设误差加权系数λk对滤波器K各个频点进行加权，则有

(8)

于是，在均方误差达到最小的准则下，时延滤波器系数设计可以转化为优化问题

(9)

令εk≥0，且k=1,2,…，K，上式可表示为

subject to |Hd(fk)-eTh|2≤εk,k=1,2,…,K,

(10)

|Hd(fk)-eTh|2≤εk⟺|2Hd(fk)-2eTh|2≤4εk⟺

(11)

(12)

若图像声纳A/D芯片的采样率fs=200 kHz，归一化工作频带为f∈[0.05,0.2]，时延范围p∈[-0.5,0.5]，通过使用Matlab的二阶锥工具箱CVX求解滤波器阶数L分别为5,7,9,11下的频率响应误差，如图1所示。

图1 二阶锥L=5,7,9,11时的频率响应误差Fig 1 Frequency response error designed by SOCP(L=5,7,9,11)

由上图可见，采用SOCP方法设计的分数时延滤波器系数可以以较小的阶数在关注频带内达到较理想的时延结果：当L=5,7,9,11时的最大频响误差分为-50，-71，-91,-111 dB。但缺点是需要针对每个时延量产生滤波器响应的系数，需要占据一定的存储空间。

2 浮点分布式时延滤波器实现结构

图2 浮点分布式滤波器结构L=5Fig 2 Structure of float-point distributed filter(L=5)

输入的浮点数据进入输入处理模块后被分解为指数E与尾数M两部分,其中尾数长度为24，指数长度为8。在通过移位寄存器缓存后，各个输入数据的指数会进行比较，输出最大指数并给出指数调整值，右移模块FSR会根据该调整值对尾数M进行移位。由于未采用时间优化算法，因此,分布式输出模块中只有一个ROM，它每次输出1个浮点分布式结果，将分布式结果相加就可以得到完整的滤波结果。

3 系统测试

为测试浮点分布式时延滤波器的计算精度与动态范围，特设计了蒙特—卡洛浮点随机数实验。输入时延量p∈[-0.5,0.5]，步长Δp=0.01，每个p值对应产生N=10 000点随机测试数据，其数据幅度为data∈[-2L-1,2L-1-1]，L=1,…,32 bits。将浮点分布式时延滤波器输出结果res与Matlab的双精度运算结果Matlab_res进行归一化均方根误差统计，其计算公式为

(14)

通过对5阶和7阶浮点分布式时延滤波器的测试，得到如图3所示的滤波器归一化均方根误差图。

图3 浮点分布式时延滤波器归一化均方根误差，L=5,7Fig 3 NRMSE of fractional distributed time-delay filter when L=5,7

可以看出，滤波器阶数对计算误差的影响不大，采用浮点运算可以在整个输入范围内得到小于-140 dB的计算误差，在输入数据宽度有效值超过3 bits后其误差约为-150 dB，反映出浮点运算在计算精度与动态范围等方面的优势。

4 结 论

本文对分数时延滤波器的系数设计方法进行了讨论。通过分析可见，采用SOCP的设计方法后，可以对关注频带进行精确设定，并用较小滤波器阶数实现较理想的时延效果。虽然需要针对不同的时延量计算不同的系数，但其滤波器实现结构更为简单。针对传统时延滤波器的缺点，借鉴定点分布式算法，本文提出并设计了浮点分布式时延滤波器，并对计算误差进行了仿真研究。结果表明：该浮点分布式时延滤波器与SOCP设计的系数相配合，取得了较高的计算精度和较大的动态范围，具有一定实用价值。

[1] Quazi A.An overview on the time delay estimate in active and passive systems for target localization[J].IEEE Transactions on Acoustics,Speech and Signal Processing,1981,29(3):527-533.

[2] Pridham R G,Mucci R A.Digital interpolation beamforming for low-pass and bandpass signals[J].Proceedings of the IEEE,1979,67(6):904-919.

[3] 范占春,李会勇,何子述.基于分数时延的宽带数字阵列波束形成[J].雷达科学与技术,2009,6(6):450-453.

[4] 范占春.宽带数字阵数字时延及移相技术研究[D].成都：电子科技大学,2008.

[5] 刘张林.基于分数时延的宽带数字波束形成技术[J].现代电子技术,2013,36(5):24-26.

[6] 胡永君,陈文俊.基于分数时延滤波器的宽带数字信号时延的实现[J].雷达与对抗,2010,30(2):37-40.

[7] Farrow C W.A continuously variable digital delay element[C]∥IEEE International Symposium on Circuits and Systems,IEEE,1988:2641-2645.

[8] Pun C K S,Wu Y C,Chan S C,et al.On the design and efficient implementation of the Farrow structure[J].IEEE Signal Proce-ssing Letters,2003,10(7):189-192.

A floating-point fractional time-delay filter based on SOCP

LIU Xin, SUN Da-jun, TENG Ting-ting, ZHANG Yu

(1.Science and Technology on Underwater Acoustic Laboratory,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

Fractional time-delay filter is the common implementation to promote time-delay precision of broadband sonar.Traditional fixed-point Farrow structure filter has narrow frequency band and requires more hardware resources.A kind of floating-point distributed time-delay filter based on SOCP is raised to overcome these shortages.It has advantages of high precision,wide dynamic range and more suitable for FPGA applications.

fraction time-delay filter; SOCP; floating-point processing

10.13873/J.1000—9787(2014)12—0101—03

2014—04—25

TN 911.7

A

1000—9787(2014)12—0101—03

刘 鑫(1981-)，男，黑龙江哈尔滨人，博士研究生，讲师，主要研究方向为图像声纳技术、FPGA数字信号处理等。