数学物理方程中的分离变量法

王晶

分离变量法是数学物理方程中求解有限域上的初边值问题的主要方法。本文首先给出了分离变量法的思想，进一步讨论了不同类型的初边值问题的求解。通过举例说明加深了我们对分离变量法的理解。

分离变量法数学物理方程初边值问题一、引言

数学物理方程是研究物理学以及其他自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程的学科，它是具有广泛应用背景的一门数学基础理论课程，不论从事基础研究，还是工程技术开发工作都离不开它。客观世界的复杂性，导致描述关系的数学方程的复杂性，使这些偏微分方程都含有较多的自变量，其求解相当复杂。如何简化求解方法，成为求解数理方程的一个重要方面。分离变量法就是一种求解偏微分方程的普遍的重要方法。该方法可将偏微分方程分离为常微分方程使得一些偏微分方程变得可解。先求数学物理方程通解的办法只适用于极少数的某些定解问题，而分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的有限域上的初边值问题[1-2]。文中所用记号和术语均来自[3].

二、分离变量法求解数学物理方程的思想

分离变量法的提出是受“驻波”问题的启示，“驻波”是振动现象中的一种常见形式。描述“驻波”的偏微分方程，可表示为变量分离状态的形式。虽然我们是从驻波引出解题的线索，其实整个求解过程跟驻波并没有特殊的关系。简单说来，分离变量法就是利用方程与边界条件的线性性质和齐次性质，首先把偏微分方程分离为常微分方程，找到满足方程和边界条件的特解，然后将这些特解线性叠加，使其满足初始条件，方程则解出。

三、分离变量法求解数学物理方程的应用

（一）求解带有齐次边界条件的齐次方程的初边值问题(举例说明)

研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题：

（二）分离变量法求解带有齐次边界条件的非齐次方程的初边值问题

首先根据叠加原理将初边值问题分解为两个初边值问题，一个是带有非齐次初始条件的齐次方程的初边值问题，求解方法见3.1。另外一个是带有齐次初始条件的非齐次方程的初边值问题，该初边值问题的求解利用齐次化原理，同样可以转化为带有非齐次初始条件的齐次方程的初边值问题。

（三）求解带有非齐次边界条件的初边值问题

如果边界条件是非齐次的，首先将边界条件齐次化。就是选取一个与未知函数ｕ具有相同边界条件的已知函数U，一般情况下我们取最简单的线性函数。再作变换V=ｕ-U，带入关于ｕ的初边值问题，导出新的关于V的初边值问题，这是V所满足的边界条件就是齐次的了。V的求解见3.1和3.2。

四、结论

分离变量法就是把偏微分方程转化为常微分方程进行求解。首先根据所给的初边值问题看是否需要边界条件齐次化，再者看是否需要方程齐次化。最主要的环节就是求解特征值问题。该法是否有效，主要是看特征值是否存在，特征函数族是否正交，所给的已知函数能否按特征函数族展开。如果是三角函数族的情况，我们可以用傅里叶级数解决。

参考文献：

[1]张健.数学物理方程的分离变量法[J].青海师范大学学报，2011，(3)：17-19.

[2]智丽丽.分离变量法在数学物理方程中的应用[J].昌吉学院学报，2013，(1)：68-72

[3]谷超豪，李大潜.数学物理方程［M］.高等教育出版社，2012.

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