为孩子的创造思维点燃一支火炬

【摘 要】 新一轮数学课程改革的一个重要目标就是培养学生的创造思维能力，作为与“封闭题”相对的一种全新习题类型——数学开放题，它的出现极大地拓展了学生创造思维培养、锻炼的路径，其对学生的直觉思维、发散思维、想象思维、逆向思维、收敛思维等创造性思维品质培养有着不可估量的作用。创造性思维是人类的高级心理活动，小学生正处于智力发展的启蒙阶段，选择相应的数学开放题进行学习能有效锻炼他们的创造性思维习惯，为他们成长为具有创造品质的人才奠定坚实的基础。

【关键词】 创造性思维；直觉思维；发散思维；逆向思维；收敛思维；联想思维中图分类号：623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568 （2014）16-0062-04

杨传冈：江苏省教育学会会员，盐城市小学数学学科带头人，中学高级教师。出版个人专著《触摸数学》。近三年来发表论文或案例30多篇次，其中一篇被人大复印资料全文转载。目前主持江苏省教育科学 “十二五” 规划重点资助课题《数学开放题教学促进小学生思维发展的研究》。

建国以来，我国数学教育长期重视学生的逻辑思维训练，重视“双基”达成，强调解题的速度、深度。实践证明，学生长期解答条件与结论存在着充分必然联系的习题、考题，虽有益于逻辑思维能力的培养和缜密思考习惯的养成，但令人忧虑的是这样的学习直接导致课堂严谨有余而活泼不足，学生普遍感觉单调、枯燥乏味，严重影响了学生创造性思维的培养。《数学课程标准（2011版）》明确指出：“为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。”

数学开放题作为一种与传统“封闭题”相对的数学习题类型，其解答具有一定的挑战性，学生解答时必须通过顺应来主动建构新的认知结构，不断完善认知结构体系。解题策略是非常规的，没有现成的规律可遵循，学生必须充分调动自己已有的知识储备，展开丰富的联想和想象，运用联想、猜测、直觉、类比等思维方式进行思考和探索，从多角度多方位多层次进行探讨，构建他们自己的思路与策略。这就要求学生必须打破原有的思维模式，其思维方向和思维模式的发散性有助于创造能力的形成。研究表明：数学开放题有利于培养学生的创造性思维，是提高学生创造能力的有效工具。本文试图结合自己的教学实际，谈一谈如何借助数学开放题学习有效培养小学生的创造性思维。

一、重视整体把握，突发奇想诱发直觉顿悟

前苏联科学史家凯德罗夫指出：“没有任何一种创造行为能够脱离直觉活动。”数学直觉思维是人脑对数学对象及其结构的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断，是数学的洞察力。数学直觉是对数学对象的某种直接领悟或洞察，它是一种不包含普通逻辑推理过程的直接悟性。“科学直觉直接引导与影响数学家们的研究活动，能使数学家们不在无意义的问题上浪费时间。直觉与审美能力密切相关，这在科学研究中是唯一不能言传而只能意会的一种才能。”“面对思维，应当经常联系直观背景和实际因素。”①

数学学习中直觉思维表现为对数学问题的结论或问题的解法都是产生于突然间，没有清晰的思维过程，认识过程是跳跃的，思维的路线曲线中有“间断点”，有时甚至直接由已知条件跳到结论，中间过程常常是模糊的，是一种灵感，表现为对思维的主体表现为对事物整体上的直接理解和综合判断，是感性和理性认识的统一。对事物的整体洞察、全局上的把握，暂时舍弃局部的、细节的和非本质的部分，整体的确定性及细节上的模糊性即为数学直觉思维的一个特征。

案例一：五个自然数，它们的和等于它们的积，这五个数可能分别是多少？（六年级适用）

这样的数学题，囿于知识结构的局限性，小学生尚不会利用不定方程来求解，如果盲目猜想只会走很多的弯路。按照学生的运算经验，几个自然数的乘积一般总大于他们的和，具体来说除两个2以外，任意两个不小于2的自然数之积必大于它们的和，所以5个自然数中必有若干个1。从整体来看五数乘积数值较小，且五个数均为较小的自然数，如1，2，3等。这个想法就是一种最简单的直觉，它源自学生的知识经验，虽在脑海中一闪而过却指明了解题的方向，使得堵塞的思路突然接通。正如大数学家彭加勒所言：“数学的创造无非是一种组合的选择而已。”

二、转换思考角度，多方设想引发发散求异

发散思维又称求异思维，是指从某一条件或事实出发，从各个方面思考，产生出多种答案，它的思考方向是向外散发的。发散性思维要求从不同角度、不同途径去思考和设想，用多种手段和方法去探索多种答案，最后使问题得到解决。思维越是发散，就越容易产生联想，越容易在别人意想不到的地方有所发现，产生创新思维成果。发散思维对学生的创造性思维有着重要的影响，“发散思维能力有助于提出新问题、孕育新思想，建立新概念，构筑新方法。数学家创造能力的大小应和他的发散思维能力成正比。”②六年级学生对正方形的相关特征已经熟然在心，“好点”的定义题目中也已经告知，要找到这样的“好点”，最好想到的正方形两条对角线的交点就是一个“好点”，正方形的对角线不仅长度相等，且还互相平分，恰好得到了四个等腰三角形。这个“好点”比较容易被发现，但也会束缚学生的思维，很多学生会继续沿着刚才的思路，希望在正方形内部寻找到一点，与四个顶点的连线能组成四个完全一样的等腰三角形，从而陷入思维的困顿之中。其实，除了对角线的交点这个“好点”外，其他“好点”的寻找需要转换观察思考的角度，也即未来得到的四个等腰三角形有可能大小不一样，以求异的思维眼光发散寻找，不走寻常路，找到好点。如通过尺规作图，分别以C、D点为圆心，CD长度为半径画一个圆，在正方形内有一个交点O

三、强化数形结合，萌发构想激发想象时空

想象思维是人们在头脑中对已有事物的表象进行加工创造新表象的心理过程，它是对表象的夸张、拓宽和升华，是对表象理想化的改造；它以现象为基础，但可脱离现象，具有直观性、形象性、整体性、概括性等特征，敢于想象，善于想象，这是创造的关键。数学中也有惊人的想象，它是数学形象思维和抽象思维的有机结合，具有新颖的独创性与综合创造性。爱因斯坦指出：“提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有创造性的想象力。”③在数学开放题学习中，适时地抓住数形结合这一途径，以训练学生从形的角度看数式，也就是从一种新的（几何）角度去看旧的（代数）问题，或者从代数角度看几何问题，是培养创造性想象力的极好契机。

案例三：在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的A、B两地出发，小明每分钟200米，小刚每分钟行300米，多少分钟后两人相距2000米？（五年级适用）

本题看似缺少两人运动方式的条件，题意比较抽象，如果一味从字面去理解分析，用语言来表述数量关系，学生特别是抽象思维能力较弱的学生会难以理解。解决这一尴尬状况的方法莫过于借助数形结合，如果借助线段图，不仅可以帮助学生轻松、愉快地获取准确的数量关系，而且还能培养学生学生分析问题、解决问题的能力。

这种数形结合产生构想的训练既发挥了大脑左半球的逻辑思维功能，又发挥了大脑右半球的形象思维功能，对发展创造性的想象力很有帮助。

四、突破框架束缚，反向迂回启发逆向思维

逆向思维是相对于正向思维而言的，其思考问题的方式一般从结论想起，一步一步推导条件。对某些数学问题采用逆向思维的方式，往往能取到事半功倍的效果。

逆向思维是摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想、发现新知识的重要思维方式，对逆向思维的训练，可使学生不受习惯思维的约束，从而提高他们从反向考虑问题的自觉性。

五、类比模型结构，求同聚合启迪收敛思维

收敛性思维是一种与发散思维相反的思维方式，它要求将多路思维指向某个中心点，思维过程主要依赖于逻辑推理和形式思维，通常较多地采用分析、综合、演绎、概括和系统化等方法，抽象、概括是其基本内核。数学开放题研究过程中凡涉及以上方法的大都是收敛思维的表现。如在解题过程中运用逻辑推理，先猜想出一些结论会成立，然后逐步进行证明（或举反例排除），特别是研究过程中对答案的探索从具体到一般的规律，就是一个归纳概括的过程。

类比是一种从类似事物的启发中得到解题途径的方法，类似事物是原型，受原型启发，推陈出新；类似事物是个性，由个性中提出共性就是创新。

波利亚说：“如果你希望从自己的努力中取得最大的收获，就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征。”在发散的基础上，教师应及时进行思维收敛，即集中思维训练，以拓广和发现数学知识与数学方法，生成各种知识链、方法链，对解题的思维过程、策略和思维方法分析、归纳、总结、整理，寻找一些思维技巧，帮助学生获得数学模型、相似类比、探索归纳等思维方法，培养学生的创造性思维能力。④

教师可以依托第（5）种折法进一步启发学生展开讨论，在操作中生发出下列折法。

当有学生猛然醒悟般提出这样的折法有无数种时，教师要有意识将研究引向深处，把握契机追问“这无数种折法有什么共同特点呢？”这种拓一拓、联一联，由浅入深，顺着学生操作实践的猜想不仅发挥了学生发散思维的能力，教师的追问更能聚合操作经验中的相同点，建构起问题解决的模型，同时也能使学生认识到问题答案的统一性，体悟到开放题简单背后隐藏的不简单。

数学开放题作为一种习题类型是培养学生创造性思维的重要素材，在解答开放题时上述思维品质往往糅合在一起。诚如布鲁纳所言：“探索是数学的生命线”， 兴趣是数学创造性思维的心理动力，学生在解决开放题时容易激发起创造欲望，通过分析后独立提出了一种新的解题方法或独立构造出一种新的方案，这些本身就是一种创造。

总之，作为一种既能激发学生强烈的学习兴趣，又具有较强探索意义的数学习题类型，其对小学生创造性思维的培养意义重大，值得我们进一步研究。（编辑：陈诚）

注释：

① 莫里兹编著. 朱剑英编译[M]数学家言行录.南京：江苏教育出版社，1990，13.

② 徐利治等著.[M]数学方法论选讲.武汉：华中工学院出版社，1988，192.

③ 爱因斯坦，英菲尔德.周肇威译.物理学的进化[M].上海：上海科学技术出版社，1963，66.

④ 夏婧.数学开放题与学生创造性思维的培养[D].武汉：华中师范大学，2006年，34.

参考文献：

[1] 周春荔.数学思维概论[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 夏婧.数学开放题与学生创造性思维的培养[D]. 武汉：华中师范大学，2006.

[3] 赵伟.开放性数学教学与学生创新思维的培养[D].福州：福建师范大学，2003.

[4] （美）G·波利亚，涂泓，冯承天译.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

案例三：在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的A、B两地出发，小明每分钟200米，小刚每分钟行300米，多少分钟后两人相距2000米？（五年级适用）

本题看似缺少两人运动方式的条件，题意比较抽象，如果一味从字面去理解分析，用语言来表述数量关系，学生特别是抽象思维能力较弱的学生会难以理解。解决这一尴尬状况的方法莫过于借助数形结合，如果借助线段图，不仅可以帮助学生轻松、愉快地获取准确的数量关系，而且还能培养学生学生分析问题、解决问题的能力。

这种数形结合产生构想的训练既发挥了大脑左半球的逻辑思维功能，又发挥了大脑右半球的形象思维功能，对发展创造性的想象力很有帮助。

四、突破框架束缚，反向迂回启发逆向思维

逆向思维是相对于正向思维而言的，其思考问题的方式一般从结论想起，一步一步推导条件。对某些数学问题采用逆向思维的方式，往往能取到事半功倍的效果。

逆向思维是摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想、发现新知识的重要思维方式，对逆向思维的训练，可使学生不受习惯思维的约束，从而提高他们从反向考虑问题的自觉性。

五、类比模型结构，求同聚合启迪收敛思维

收敛性思维是一种与发散思维相反的思维方式，它要求将多路思维指向某个中心点，思维过程主要依赖于逻辑推理和形式思维，通常较多地采用分析、综合、演绎、概括和系统化等方法，抽象、概括是其基本内核。数学开放题研究过程中凡涉及以上方法的大都是收敛思维的表现。如在解题过程中运用逻辑推理，先猜想出一些结论会成立，然后逐步进行证明（或举反例排除），特别是研究过程中对答案的探索从具体到一般的规律，就是一个归纳概括的过程。

类比是一种从类似事物的启发中得到解题途径的方法，类似事物是原型，受原型启发，推陈出新；类似事物是个性，由个性中提出共性就是创新。

波利亚说：“如果你希望从自己的努力中取得最大的收获，就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征。”在发散的基础上，教师应及时进行思维收敛，即集中思维训练，以拓广和发现数学知识与数学方法，生成各种知识链、方法链，对解题的思维过程、策略和思维方法分析、归纳、总结、整理，寻找一些思维技巧，帮助学生获得数学模型、相似类比、探索归纳等思维方法，培养学生的创造性思维能力。④

教师可以依托第（5）种折法进一步启发学生展开讨论，在操作中生发出下列折法。

当有学生猛然醒悟般提出这样的折法有无数种时，教师要有意识将研究引向深处，把握契机追问“这无数种折法有什么共同特点呢？”这种拓一拓、联一联，由浅入深，顺着学生操作实践的猜想不仅发挥了学生发散思维的能力，教师的追问更能聚合操作经验中的相同点，建构起问题解决的模型，同时也能使学生认识到问题答案的统一性，体悟到开放题简单背后隐藏的不简单。

数学开放题作为一种习题类型是培养学生创造性思维的重要素材，在解答开放题时上述思维品质往往糅合在一起。诚如布鲁纳所言：“探索是数学的生命线”， 兴趣是数学创造性思维的心理动力，学生在解决开放题时容易激发起创造欲望，通过分析后独立提出了一种新的解题方法或独立构造出一种新的方案，这些本身就是一种创造。

总之，作为一种既能激发学生强烈的学习兴趣，又具有较强探索意义的数学习题类型，其对小学生创造性思维的培养意义重大，值得我们进一步研究。（编辑：陈诚）

注释：

① 莫里兹编著. 朱剑英编译[M]数学家言行录.南京：江苏教育出版社，1990，13.

② 徐利治等著.[M]数学方法论选讲.武汉：华中工学院出版社，1988，192.

③ 爱因斯坦，英菲尔德.周肇威译.物理学的进化[M].上海：上海科学技术出版社，1963，66.

④ 夏婧.数学开放题与学生创造性思维的培养[D].武汉：华中师范大学，2006年，34.

参考文献：

[1] 周春荔.数学思维概论[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 夏婧.数学开放题与学生创造性思维的培养[D]. 武汉：华中师范大学，2006.

[3] 赵伟.开放性数学教学与学生创新思维的培养[D].福州：福建师范大学，2003.

[4] （美）G·波利亚，涂泓，冯承天译.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

案例三：在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的A、B两地出发，小明每分钟200米，小刚每分钟行300米，多少分钟后两人相距2000米？（五年级适用）

本题看似缺少两人运动方式的条件，题意比较抽象，如果一味从字面去理解分析，用语言来表述数量关系，学生特别是抽象思维能力较弱的学生会难以理解。解决这一尴尬状况的方法莫过于借助数形结合，如果借助线段图，不仅可以帮助学生轻松、愉快地获取准确的数量关系，而且还能培养学生学生分析问题、解决问题的能力。

这种数形结合产生构想的训练既发挥了大脑左半球的逻辑思维功能，又发挥了大脑右半球的形象思维功能，对发展创造性的想象力很有帮助。

四、突破框架束缚，反向迂回启发逆向思维

逆向思维是相对于正向思维而言的，其思考问题的方式一般从结论想起，一步一步推导条件。对某些数学问题采用逆向思维的方式，往往能取到事半功倍的效果。

逆向思维是摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想、发现新知识的重要思维方式，对逆向思维的训练，可使学生不受习惯思维的约束，从而提高他们从反向考虑问题的自觉性。

五、类比模型结构，求同聚合启迪收敛思维

收敛性思维是一种与发散思维相反的思维方式，它要求将多路思维指向某个中心点，思维过程主要依赖于逻辑推理和形式思维，通常较多地采用分析、综合、演绎、概括和系统化等方法，抽象、概括是其基本内核。数学开放题研究过程中凡涉及以上方法的大都是收敛思维的表现。如在解题过程中运用逻辑推理，先猜想出一些结论会成立，然后逐步进行证明（或举反例排除），特别是研究过程中对答案的探索从具体到一般的规律，就是一个归纳概括的过程。

类比是一种从类似事物的启发中得到解题途径的方法，类似事物是原型，受原型启发，推陈出新；类似事物是个性，由个性中提出共性就是创新。

波利亚说：“如果你希望从自己的努力中取得最大的收获，就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征。”在发散的基础上，教师应及时进行思维收敛，即集中思维训练，以拓广和发现数学知识与数学方法，生成各种知识链、方法链，对解题的思维过程、策略和思维方法分析、归纳、总结、整理，寻找一些思维技巧，帮助学生获得数学模型、相似类比、探索归纳等思维方法，培养学生的创造性思维能力。④

教师可以依托第（5）种折法进一步启发学生展开讨论，在操作中生发出下列折法。

当有学生猛然醒悟般提出这样的折法有无数种时，教师要有意识将研究引向深处，把握契机追问“这无数种折法有什么共同特点呢？”这种拓一拓、联一联，由浅入深，顺着学生操作实践的猜想不仅发挥了学生发散思维的能力，教师的追问更能聚合操作经验中的相同点，建构起问题解决的模型，同时也能使学生认识到问题答案的统一性，体悟到开放题简单背后隐藏的不简单。

数学开放题作为一种习题类型是培养学生创造性思维的重要素材，在解答开放题时上述思维品质往往糅合在一起。诚如布鲁纳所言：“探索是数学的生命线”， 兴趣是数学创造性思维的心理动力，学生在解决开放题时容易激发起创造欲望，通过分析后独立提出了一种新的解题方法或独立构造出一种新的方案，这些本身就是一种创造。

总之，作为一种既能激发学生强烈的学习兴趣，又具有较强探索意义的数学习题类型，其对小学生创造性思维的培养意义重大，值得我们进一步研究。（编辑：陈诚）

注释：

① 莫里兹编著. 朱剑英编译[M]数学家言行录.南京：江苏教育出版社，1990，13.

② 徐利治等著.[M]数学方法论选讲.武汉：华中工学院出版社，1988，192.

③ 爱因斯坦，英菲尔德.周肇威译.物理学的进化[M].上海：上海科学技术出版社，1963，66.

④ 夏婧.数学开放题与学生创造性思维的培养[D].武汉：华中师范大学，2006年，34.

参考文献：

[1] 周春荔.数学思维概论[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 夏婧.数学开放题与学生创造性思维的培养[D]. 武汉：华中师范大学，2006.

[3] 赵伟.开放性数学教学与学生创新思维的培养[D].福州：福建师范大学，2003.

[4] （美）G·波利亚，涂泓，冯承天译.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.