CDO定价影响要素的蒙特卡洛模拟研究

刘平

摘要：CDO是目前国内外非常关注的也是定价很复杂的一类信用衍生产品，其定价的关键就是违约概率和违约相关性的估计。文章在Merton扩展模型的基础上，采用蒙特卡洛方法，并结合copula函数来生成具有相关性的违约时间分布，然后计算出各个违约时点，进而求出标的资产组合的违约损失。在此基础上分别计算收益面和损失面的期望值，最终对各种要素对CDO定价的影响进行分析与比较。

关键词：债务抵押债券；蒙特卡洛模拟；Merton扩展模型；copula函数

中图分类号：F83091文献标志码：A文章编号：10085831（2014）03005506

债务抵押债券（CDO）的定价中主要包括回复率、相关系数、违约强度以及不同copula联结函数等4种要素，不同要素对CDO定价的影响不同。虽然2007年美国金融危机后，由于CDO定价过于复杂受到业界和研究者的普遍批评，但近年来中国CDO产品发展迅猛，继国开行、建设银行之后，上海浦东发展银行、工商银行、兴业银行、民生银行以及招商银行都陆续发行了各自的CDO产品。因此如何开发适合国内市场的CDO产品，研究各种要素对CDO定价的影响就具有紧迫性和重要的现实意义。

一、文献综述

CDO定价方法主要有结构模型和约化模型。结构模型主要有BET模型、copula模型和因子copula模型。由于本文采用copula模型，因此本文着重对这个模型进行梳理和综述。

国外研究方面，Li [1]利用市场中CDS的已知价格来模拟违约时点，用 Gaussian copula 建立多元联合损失分布。Li模型的主要贡献在于用Gaussian copula将过去某一时期内违约事件、相关性等离散变量的估算，扩展到具有连续时间的相关性违约时点的度量。Frey 等[2]进一步改进了Li的模型，提出了studentt copula。这个模型是Gaussian copula的极值形式，能更好地解释金融变量的肥尾特征。Schonbucher等[3]将违约相关性纳入违约强度模型中，发展出一套最一般化的copula 函数分析及一致性的个别违约强度动态模式。Rogge[4]延续了Schonbucher等的研究，发现 Clayton copula 相较于市场上常使用的Gaussian copula 或 studentt copula ，可产生较为真实的信用价差变化过程。然而，这一模型的最大缺点是模拟过程复杂，不易执行。Burtschell [5]等对不同的copula 函数在CDO 定价中的应用作了总结性的比较分析，表明Student-t 和Clayton copula比Gaussian copula能更好地拟合市场数据， 但Marshall-Olkin copula能进一步提升模型的准确性。Totouom[6-7]将动态相关copula 模型运用到CDO定价中，提出了动态copula 模型。

国内研究方面，朱世武[8]讨论了如何利用copula 函数来进行资产组合的违约相关性度量， 并进一步探讨了信用衍生品的定价以及资产组合的信用风险管理问题， 但其研究对象只针对2种资产的简单组合，对于copula函数及其参数的选择也不够深入。冯谦等[9]等使用非参数方法从市场数据中推导出一个合理的copula函数，然后提出利用蒙特卡洛计算CDO分券合理价差的方法，但没有具体的实证分析。袁子甲等[10]在因素模型中引入NIG分布，对正态因素模型进行了3 种不同形式的推广应用， 并用数值模拟对模型进行了分析， 但其模型推广和数值模拟均可进一步深入讨论分析。穆放等[11]以KMV模型和copula函数分别对债务人的违约概率和违约相关性进行估计，并计算在不同样本和回收率下各投资层次的风险溢酬，利用国内市场公开信息，对债务抵押债券定价进行了实证研究，但该模型对样本选择有很高的依赖性。陈田等[12]对CDO定价模型进行了综述，并按照各种定价方法对国内外研究做了很详细的综述。尹占华等[13]在测算CDO损失分布的二项式扩展技术的基础上，提出用蒙特卡洛方法对建设银行120笔贷款模拟了损失分布并计算了VaR。杨瑞成等[14]讨论了基于混合分布单因子模型的CDO定价问题，假设资产价值的市场共同因子和异质因子均服从标准高斯和NIG的混合分布，且相关系数为随机相关系数，通过半解析法给出了CDO分券层的公允价格公式。

综合国内研究，在CDO定价中已经取得了一定的成绩。本文在前人的基础上有两点创新：一是详细模拟了计算违约时间点的过程；二是对各种要素对CDO定价的影响进行了详细的模拟。

二、研究方法

第一步，根据选定的copula函数产生n个服从均匀分布的随机变量U。

第二步，模拟违约时间点：（1）计算违约强度λ；（2）违约时间点。

在不同copula函数产生出随机变量Ui的基础上，由τi=-lnUi/λi求得违约时间点τi。

第三步，计算CDO相应的收益面和损失面以及各个层级的溢价。

三、实证研究

（一）样本选取和描述性统计

国家开发银行2005、2006、2007年开发的3期债务抵押债券，都集中在电力、热力、有色金属及运输行业，并以电力行业为主，债务人所在的地区非常分散。本文选取了凯迪电力、鲁阳股份、天富热电、粤水电和云南铜业进入基础组合，涉及电力行业、热力业、建材行业和有色金属行业，其中以电力行业为主。5家公司地域跨度也比较广，地区分散度相对较好。以2007年1月1日至2009年12月31日的日收益率为研究对象，计算公式为Rt=100lnPtPt-1。数据来源于http：//cn.finance.yahoo.com/glbmarkets。采用matlab7.1软件进行数据分析，对一个3年期5个层级的CDO组合进行模拟，假设无风险收益率为2.25%。

（二）计算各copula函数的相关系数

（三）计算违约率和违约强度

（四）各要素对CDO定价的影响

1.回复率（R）对CDO定价的影响

2.相关系数对CDO定价影响

3.违约强度对CDO定价影响

4.不同copula函数对CDO定价的影响

5.实际情况比较

参考文献：

[1] LI D.On default correlation： A copula approach[J].Journal of Fixed Income， 2000，9（4）：43-54.

[2]FREY R， McNEIL A. Dependent defaults in models of portfolio credit risk[J].Journal of Risk， 2003（6）： 59-92.

[3]SCHONBUCHER J， SCHUBERT D.Copuladependent default risk in intensity models[R].Working Paper， Department of Statistics， Bonn University，2003.

[4]ROGGE E， SCHONBUCHER J.Modeling dynamic portfolio credit risk[R].Working Paper，2003.

[5] BURTSCHELL X， GREGORY X J，LAURENT JP. A comparative analysis of CDO pricing models[R].Working Paper，BNP Paribas，2005.

[6]TOTOUOM T D，ARMSTRONG M.Dynamic copula processes：A new way of modeling CDO tranches[R].Working Paper， 2005.

[7] TOTOUOM T D，ARMSTRONG M.Dynamic copula and forward starting credit derivatives[R].Working Paper， 2007.

[8]朱世武.基于Copula 函数度量违约相关性[J].统计研究，2005（4）：61-64.

[9]冯谦， 杨朝军.担保债权凭证定价——Copula函数的非参数估计与应用[J].运筹与管理，2006，15（5）：104-107.

[10]袁子甲， 李仲飞.基于因子模型的CDO 定价研究：正态单因子模型的三种推广[EB/OL].[2011-10-20]http：//www. ccfr. org. cn/cicff2007/ download， 2007.

[11]穆放， 宋洁， 陈治津.债务抵押债券定价模型探讨及实施研究[J].经济纵横，2007（10）：10-13.

[12]陈田， 秦学志.债务抵押债券（CDO）定价模型研究综述[J].管理学报，2008，7（5）：616-624.

[13]尹占华，徐昕，高春梅.基于蒙特卡洛模拟的CDO损失分布测算研究及实证分析[J].统计信息与论坛，2008， 9（23）：13-16.

[14]杨瑞成，秦学志，陈田.基于混合分布单因子模型的CDO定价问题[J].数理统计与管理，2009（6）：1082-1090.

（二）计算各copula函数的相关系数

（三）计算违约率和违约强度

（四）各要素对CDO定价的影响

1.回复率（R）对CDO定价的影响

2.相关系数对CDO定价影响

3.违约强度对CDO定价影响

4.不同copula函数对CDO定价的影响

5.实际情况比较

参考文献：

[1] LI D.On default correlation： A copula approach[J].Journal of Fixed Income， 2000，9（4）：43-54.

[2]FREY R， McNEIL A. Dependent defaults in models of portfolio credit risk[J].Journal of Risk， 2003（6）： 59-92.

[3]SCHONBUCHER J， SCHUBERT D.Copuladependent default risk in intensity models[R].Working Paper， Department of Statistics， Bonn University，2003.

[4]ROGGE E， SCHONBUCHER J.Modeling dynamic portfolio credit risk[R].Working Paper，2003.

[5] BURTSCHELL X， GREGORY X J，LAURENT JP. A comparative analysis of CDO pricing models[R].Working Paper，BNP Paribas，2005.

[6]TOTOUOM T D，ARMSTRONG M.Dynamic copula processes：A new way of modeling CDO tranches[R].Working Paper， 2005.

[7] TOTOUOM T D，ARMSTRONG M.Dynamic copula and forward starting credit derivatives[R].Working Paper， 2007.

[8]朱世武.基于Copula 函数度量违约相关性[J].统计研究，2005（4）：61-64.

[9]冯谦， 杨朝军.担保债权凭证定价——Copula函数的非参数估计与应用[J].运筹与管理，2006，15（5）：104-107.

[10]袁子甲， 李仲飞.基于因子模型的CDO 定价研究：正态单因子模型的三种推广[EB/OL].[2011-10-20]http：//www. ccfr. org. cn/cicff2007/ download， 2007.

[11]穆放， 宋洁， 陈治津.债务抵押债券定价模型探讨及实施研究[J].经济纵横，2007（10）：10-13.

[12]陈田， 秦学志.债务抵押债券（CDO）定价模型研究综述[J].管理学报，2008，7（5）：616-624.

[13]尹占华，徐昕，高春梅.基于蒙特卡洛模拟的CDO损失分布测算研究及实证分析[J].统计信息与论坛，2008， 9（23）：13-16.

[14]杨瑞成，秦学志，陈田.基于混合分布单因子模型的CDO定价问题[J].数理统计与管理，2009（6）：1082-1090.

（二）计算各copula函数的相关系数

（三）计算违约率和违约强度

（四）各要素对CDO定价的影响

1.回复率（R）对CDO定价的影响

2.相关系数对CDO定价影响

3.违约强度对CDO定价影响

4.不同copula函数对CDO定价的影响

5.实际情况比较

参考文献：

[1] LI D.On default correlation： A copula approach[J].Journal of Fixed Income， 2000，9（4）：43-54.

[2]FREY R， McNEIL A. Dependent defaults in models of portfolio credit risk[J].Journal of Risk， 2003（6）： 59-92.

[3]SCHONBUCHER J， SCHUBERT D.Copuladependent default risk in intensity models[R].Working Paper， Department of Statistics， Bonn University，2003.

[4]ROGGE E， SCHONBUCHER J.Modeling dynamic portfolio credit risk[R].Working Paper，2003.

[5] BURTSCHELL X， GREGORY X J，LAURENT JP. A comparative analysis of CDO pricing models[R].Working Paper，BNP Paribas，2005.

[6]TOTOUOM T D，ARMSTRONG M.Dynamic copula processes：A new way of modeling CDO tranches[R].Working Paper， 2005.

[7] TOTOUOM T D，ARMSTRONG M.Dynamic copula and forward starting credit derivatives[R].Working Paper， 2007.

[8]朱世武.基于Copula 函数度量违约相关性[J].统计研究，2005（4）：61-64.

[9]冯谦， 杨朝军.担保债权凭证定价——Copula函数的非参数估计与应用[J].运筹与管理，2006，15（5）：104-107.

[10]袁子甲， 李仲飞.基于因子模型的CDO 定价研究：正态单因子模型的三种推广[EB/OL].[2011-10-20]http：//www. ccfr. org. cn/cicff2007/ download， 2007.

[11]穆放， 宋洁， 陈治津.债务抵押债券定价模型探讨及实施研究[J].经济纵横，2007（10）：10-13.

[12]陈田， 秦学志.债务抵押债券（CDO）定价模型研究综述[J].管理学报，2008，7（5）：616-624.

[13]尹占华，徐昕，高春梅.基于蒙特卡洛模拟的CDO损失分布测算研究及实证分析[J].统计信息与论坛，2008， 9（23）：13-16.

[14]杨瑞成，秦学志，陈田.基于混合分布单因子模型的CDO定价问题[J].数理统计与管理，2009（6）：1082-1090.