电场数值计算的常用方法

李文学

摘 要：电场的数值计算在工程中有很大的应用价值，为此介绍了3种常用的电场数值计算方法：模拟电荷法、有限差分法、有限元法。主要分析和比较了三种方法的原理、解题步骤和优缺点，三种方法的适用场合略有差别，指出了有限元法是比较适合实际工程计算电场的方法。

关键词：电场数值计算；模拟电荷法；有限差分法；有限元法

0 引言

目前，我国电力系统正在大力建设特高压交流、直流输电线路，随着输电线路电压等级的提高，将会带来一系列的问题，如设备的选型、电磁干扰、绝缘间隙的设计等，这些问题和电场的数值和分布都有着紧密的关系，因此有必要明确高压输电线路各个关键部位的电场数值以及分布，以便于指导工程设计[1]。

电场的测量和数值计算是两种常用的确定电场数值以及分布的方法。电场测量的结果比较精确，但是需要大量的人力、物力和时间，而且由于工况的不同，使得电场测量不能穷举，而电场数值计算能够克服电场测量的缺点，并且计算出来的结果具有一定的指导意义，因此广泛被工程和科研人员接受，用来计算输变电设备的电场分布、均压环结构的设计和优化等[2]。常用的电场数值计算方法有模拟电荷法、有限差分法和有限元法。本文介绍了三种电场数值计算方法的原理和解题步骤，并从解决问题的普遍性、消耗的计算机资源等方面分析了不同方法的优缺点。

1 模拟电荷法

模拟电荷法是基于静电场唯一性定理提出来的能够求解静电场问题的方法，通过虚设电荷的方法可以使电场在计算域内满足原始的边界条件和分界面条件，然后对虚设电荷产生的场进行叠加，从而求出未知的物理量。

1.1 静电场唯一性定理的证明

在静电场下，磁场的变化可以忽略，因此麦克斯韦方程组的微分形式为也即。根据求解域边界条件的不同，可将静电场问题分为以下两种情况：狄利克雷问题和纽曼问题，它们分别表示为

和 。

如果和是同一个边值问题的两个解，令，则=0。根据格林第一公式可知，无论是狄利克雷问题还是纽曼问题，都有=0，因此要想满足上式成立，必有=0，所以=c（c为常数）。

因此，对于狄利克雷问题和纽曼问题，解是唯一确定的，由此证明了静电场定理的唯一性，也即模拟电荷法的准确性。

1.2 模拟电荷法的优缺点

模拟电荷法并没有对求解的微分方程或者未知函数做近似，因此只要虚设电荷满足边界条件和分界面条件，所求得的结果将是准确的，然后由于实际工程的复杂性，使得确定虚设电荷的位置和类型存在很大的困难，因此模拟电荷法仅适用于具有简单边界条件和分界面条件的情况。

2 有限差分法

2.1 有限差分法的原理

有限差分法是将连续的求解区域用离散的点来代替，使得原方程中的微分形式转化为差分形式，进而通过求解代数方程得到近似结果，其实质是算子的近似。

根据泰勒展开式定理，如果定义在一个包含x的区间上的函数在x处n+1次可导，那么对于在这个区间的任意，都有：

（11）

令，带入上式有：

（12）

根据差分形式的不同，可以将有限差分法分为前向差分、后向差分和中心差分三种不同的形式。

2.2 有限差分法的解题步骤

有限差分法的解题步骤是首先将求解域离散为网格，然后在网格的节点上用差分方程近似表示微分方程，计算结果的精度和网格的疏密有关，如果网格足够密，那么结果将足够准确，然后过密的网格将使计算量增大，因此在计算时因合理划分网格，在求解的重点区域将网格划密一点，在非重点区域将网格划疏一点，这样能保证结果精确的同时也能减小计算量。

2.3 有限差分法的优缺点

有限差分法能够解决复杂的偏微分问题，特别是求解以空间坐标（欧拉坐标系）为基础的流体问题，有限差分法有很大的优势，因此在流体力学计算中，有限差分法仍然占据着举足轻重的位置，然后静电场问题以物体坐标（拉格朗日坐标系）为基础，因此有限差分法也有一定的局限性。

3 有限元法

3.1 有限元法的原理

有限元法由美国在1960年提出，通过剖分网格的方法，将计算场域离散为单元的组合，然后在每个单元上对未知函数进行近似，然后采用加权余量法来消除近似产生的误差。

3.2 有限元法的解题步骤

有限元法由于在各个单元上进行函数近似，因此首先也得对整个场域划分网格，然后根据划分的网格单元，根据空间维数的不同，可以分为线单元、二维单元和三维单元，其中二维单元可以分为三角形单元和四边形单元；三维单元分为四面体单元和六面体单元。

3.3 有限元法的优缺点

有限元法应用广泛，既能够解决结构问题，也能够解决非结构问题，对于不同的材料，仅仅会影响其单元矩阵前面的系数，使得有限元法在处理不同材料构成的场域时有着巨大的优势，然后有限元法也存在一些不足，比如对于复杂工程问题，需要耗费大量的计算资源；对于边界条件和载荷的加载要求必须准确，否则结果会出现错误，因此需要计算人员有较强的理论功底，另外网格划分也需要一定的基础，网格的质量将会决定计算结果的准确性。

4 结论

本文介绍了目前几种常用的电场数值计算方法的原理和简要计算步骤，分析了各种方法的优缺点，指出模拟电荷法虽然精度高但仅仅适用于场域和边界条件比较简单的情况；有限元法能够计算复杂场域和边界条件下的电场并且能够解决以物体坐标为基础的微分方程，因此有限元法更适合于电场的数值计算。

参考文献：

[1]刘振亚.中国特高压交流输电技术创新[J].电网技术，2013（03）：567-574.

[2]黄道春，阮江军，文武，李昊星，赵全江，郑伟.特高压交流输电线路电磁环境研究[J]. 电网技术，2007（01）：6-11.