小型无人直升机控制及稳定性分析

樊世伟+薛东彬

摘 要： 本文介绍了线性和非线性控制法则两种控制律设计方法在小型直升机上的应用，采用双时域衡量分析方法来分析直升机系统动力学特性。紧子系统和慢子系统分别用于分析直升机转动和平动动力学特性，紧子系统的稳定性是由李亚普诺夫方程保证，同时采用反馈线性化方法稳定控制内回路。此外，在给出线性控制律缺点的同时给出了改进后的非线性控制律，该控制律可以在无人直升机执行大角度、快速度飞行运动科目时更稳定可靠的控制直升机。

关键词： 无人直升机控制； 稳定性分析； 双时域衡量分析； 李亚普诺夫稳定性； 反馈线性化； 非线性控制

中图分类号： TN911.7?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）13?0036?03

Control and stability analysis of small?size autonomous helicopters

FAN Shi?wei， XUE Dong?bin

（No. 27 Research Institute， CETC， Zhengzhou 450047， China）

Abstract： The application of design methods of both linear and non?linear control laws in small?size autonomous helicopter is introduced in this paper. A two?time scale decomposition method is used to analyze the dynamics characteristics of the helicopter. The fast subsystem ans slow subsystem are applied to analysis of the rotational and translational dynamics characteristics respectively. The stability of the fast subsystem is ensured by means of a Lyapunov equation. Furthermore， a feedback linearization technique is adopted to stabilize the control inner loop. Moreover， the drawbacks of the linear control law are pointed out and an improved nonlinear control law is proposed. This control law is able to control the helicopter when large variations occur in the orientation angle and position of the helicopter.

Keywords： autonomous helicopter control； stability analysis； two?time?domain scale analysis； Lyapunov stability； feedback linearization； nonlinear control

0 引 言

无人直升机的控制方法设计可以简要的分为以下两个方面：基于操作手先验知识的方法和模拟控制方法[1]。本文以第二种设计方法为主，其中参考先验知识用于控制律的设计。基于直升机模型的控制方法在已发表的文献中已有很多，比如：基于高阶近似模型的线性鲁棒控制[2]、基于模糊增益时序安排的线性控制[3]，以及基于非线性模型的预测控制等。在文献[4]中综合对比分析了线性控制和非线性控制的方法，值得注意的是在悬停状态下，通过对非线性模型的线性化处理进而可以采用诸如LQR和[H∞]多变量控制技术进行控制，另一方面，非线性控制技术适用范围更为广泛且能够包含更大的飞行包线，但是它需求更为精确的模型信息同时对模型更为敏感。

1 直升机模型

本文中所采用的直升机模型为文献[7]中的模型。在该模型中直升机系统看作一个由力和力矩共同作用的刚体结构。子系统和状态及控制变量的连接关系如图1所示。

图1 模型中子系统、状态变量和控制变量的连接关系图

在本模型中状态变量和输入信号如下：

[q=PvpΘωbT=xyzvpxvpyvpz?θψωb1ωb2ωb3T] （1）

[u=TmTtabT] （2）

式中：[P]为直升机在惯性空间的位置；[Θ=?θψT]为直升机的欧拉角；力[fb]和力矩[τb]由主旋翼拉力[Tm]和纵、横向周期变矩角（[a]和[b]）产生。尾桨系统可以看作是一个由尾桨推力[Tt]产生的纯粹横向力和反扭矩系统，机体坐标和惯性坐标系如图2所示，其变换如下：

图2 惯性坐标系和机体坐标系

作用在刚体结构飞行器的动力学方程的力[fb]和力矩[τb]从惯性坐标系到机体坐标系的转换方程如下：

[mI00Ivbωb+ωb×mvbωb×Iωb=fbτb] （3）

式中：[vb]是体坐标系下的速度；[ωb]是体坐标系下的角速度；[m]为质量；[I]为单位矩阵，[I]为惯性矩阵，设[R（Θ）]为机体轴相对于惯性轴的转动矩阵（上角标为[p]）。令则刚体运动方程可以写为：

[PvpΘωb=vp1mR（Θ）fbΨ（Θ）ωbI-1（τb-ωb×Iωb）] （4）

2 线性控制

上节所给出的无人直升机数学模型是一个不稳定的非线性多变量模型，该模型具有的独立控制机构要少于自由度数。然而，在忽略掉一些耦合因素可以得到一个简单的线性化模型。主要的输入输出关系见表1。

考虑表1中的输入输出对应关系可以设计得到如下的线性控制律：

[U=Tm=k1z+k2dzdt+k3zdtTt=k′1ψ+k′2ωb3a=k4x+k5dxdt+k6xdt+k′3θ+k′4ωb2b=k7y+k8dydt+k9ydt+k′5?+k′6ωb1] （5）

其中：

[vpx=dxdt；vpy=dydt；vpz=dzdt]

任何一种线性控制算法都可以通过调整参数[ki，][i=1，2，…，9]和参数[k′i，][i=1，2，…，6]得到，本文中笔者是在悬停状态下的LQR控制算法完成的控制器设计，该线性控制器只适合在悬停状态下直升机的稳定控制，但是在大机动飞行时不能保证直升机的稳定性。

3 稳定性分析及改进线性控制律设计

直升机的稳定性分析采用的方法是将直升机动力学模型分解到两个时间域内，一个是关于转动的，另一个响应相对较慢，是关于平动的。这就使得动力学系统的分析更为简单，也就是说两个包含着两个周期域内的分解子系统。因为直升机的自身重量导致了线速度是一个短周期运动可以说明该分解方式是可行的。

3.1 转动动力学快周期子系统

本子系统由下式给出：

[Θ=Ψ（Θ）ωbωb=I-1（τf+τs-ωb×Iωb）] （6）

这里[τ=τf+τs]（f指快周期，s指慢周期）是控制变量由下式定义：

[τf?K（z）ΘΘ+K（z）ωω，K（z）Θ，K（z）ω<0，?z]

[τs?KXXs] （7）

这样的话式子（5）可以写由式子（7）进行改进，可以保证在稳定点附近[（?，θ）

[Λ=12（ωb）TIωb-ΔΘKTΘ（Θ）Ψ-1（Θ）dΘ] （8）

这里用[ΔΘ]来替代平衡状态[Θ0，]在满足条件[（?，θ）

[Λ=（ωb）TKω（Θ）ωb<0，?Θ∈0] （9）

从而，可以确保该子系统是稳定的。

3.2 平动动力学慢子系统

由下式给出表达式：

[P=vpvp=1mR（Θ）fb] （10）

力平衡可以记作如下形式：

[fb=ΔF+F0+R（Θ）Tmg] （11）

式中：[F0=-R（Θ0）Tmg]是平衡力，考虑如下反馈控制律：

[ΔF=R-1（Θ）Kp（z）P] （12）

这里[Kp（z）]是反馈增益，将式（11）和（12）代入可得：

[vp=1mR（Θ）ΔF+（R（Θ）+R（Θ0））mg] （13）

则在平衡点[Θ=Θ0，][ωb=0]处慢周期子系统动力学特性由下式确定：

[vp?1mR（Θ）（R（Θ）-1Kp（z）P）vp?1mKp（z）P] （14）

可以看出控制律（12）相对于一个反馈线性化，如果增益足够小且增益矩阵[Kp（z）]对于所有的[z]为负值，则在[（?，θ）

4 非线性控制

由上节的控制策略来看，其只适应于在平衡点附近状态变量变化很小的范围内能够保持稳定，如果出现较大的状态浮动可能重新改变控制策略，首先在尾桨控制上必须满足状态量从-π到π的变化。线性控制律式（5）是基于表1设计的，其给出了表中控制变量和体坐标系下状态变量的匹配关系。在无人直升机引入偏航角计算时球面坐标系[x，][y]和集体坐标系下是不一致的。为解决这一问题，必须将控制效果作用量通过航向角坐标变换到同一坐标系下计算：

[cosψ-sinψsinψcosψk4+k5dxdt+k6xdtk7+k8dydt+k9ydt] （15）

此外在[x，][y]和[z]轴方向的位置偏差量在（-∞，+∞）内必须能够保持直升机的全局稳定，对于式（5）和式（15），如果[x]或者[y]位置偏差量增加，控制变量[a]和[b]会持续增大，最终回到这直升机在滚转通道和俯仰通道不稳定，为了解决这一问题，引入非线性方程[μ]来形成如下非线性控制策略：

[Tm=k1z+k2dzdt+k3zdtTt=k′1ψ+k′2ωb3ab=μ（?，θ）cosψ-sinψsinψcosψ?k4+k5dxdt+k6xdtk7+k8dydt+k9ydt+k′3θ+k′4ωb2k′5?+k′6ωb1] （16）

[μ（?，θ）=1，if （?，θ）<δ00，if （?，θ）>δ0] （17）

这时，当状态变量[?，θ]足够小的时候，转动动力学线性控制律起作用（[μ=1]），然而，当角变化量偏大时，[μ=0]则控制变量[a和b]不受位置偏差影响而去稳定姿态角[?和θ。]在此运算过程中可以通过模糊逻辑来计算[μ]的值，此外，可用线性控制技术来计算式（16）中的[ki]和[k′i，]通过阶跃响应输入进行仿真可得如图3所示结果。

采用不同的非线性控制技术测试了在非线性控制律下系统的稳定特性，控制算法的平衡性和连续性得到了很好的验证，通过这些控制方法的证明了其控制效果不存在导致系统发散极限环。

图3 阶跃响应输入条件下系统的响应曲线

5 结 论

线性控制技术可用于直升机悬停状态下的稳定控制，在考虑到大角度机动飞行时，仅依靠线性控制算法不是能完成对直升机的稳定控制的，引入双子模型对动力学系统进行分解可以分析系统的稳定性，由李亚普诺夫方程可以确保快周期（转动动力学）子系统的稳定性，此外在稳定点附近可以采用反馈线性化的方法来稳定慢周期（平动动力学）子系统。

非线性控制技术值无人直升机的控制上是非常有用的，尤其在出现大角度机动飞行时能够稳定的控制直升机，本文中所介绍的非线性控制算法正是能够满足这一控制要求的算法，在该算法中由于引入了偏航角量使得直升机航行和位置控制更为精确。此外该非线性控制算法排除了直升机在滚转角和俯仰角出现较大偏差时直升机失稳的可能性，而使得直升机在非悬停状态下也能得到稳定的控制。在非线性反馈控制系统中应用谐波稳定和连续激励的方法也不会出现任何极限环或发散情况。

参考文献

[1] OLLERO AníbalAuthor Vitae， MERINO Luís. Control and Perception techniques for aerial robotics [J]. Annual Reviews in Control， 2004， 28（2）： 167?178.

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[3] KADMIRI B， BERGSTEN P， DRIANKOV D. Autonomous helicopter using fuzzy?gain scheduling [C]// Proceedings of the IEEE International Conference on Robotic and Automation. Seoul， Korea： IEEE， 2001， 3： 2980?2985.

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[6] HEREDIA G， REMU? V， OLLERO A， et al. Actuator fault detection in autonomous helicopters [C]// Proceedings of the 5th IFAC Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles. Lisbon， Portugal： IFAC， 2004： 1?6.

[7] KIM J， SHIM D H. A flight control system for aerial robots： algorithms and experiments [J]. Control Engineering Practice， 2003， 11： 1389?1400.

非线性控制技术值无人直升机的控制上是非常有用的，尤其在出现大角度机动飞行时能够稳定的控制直升机，本文中所介绍的非线性控制算法正是能够满足这一控制要求的算法，在该算法中由于引入了偏航角量使得直升机航行和位置控制更为精确。此外该非线性控制算法排除了直升机在滚转角和俯仰角出现较大偏差时直升机失稳的可能性，而使得直升机在非悬停状态下也能得到稳定的控制。在非线性反馈控制系统中应用谐波稳定和连续激励的方法也不会出现任何极限环或发散情况。

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非线性控制技术值无人直升机的控制上是非常有用的，尤其在出现大角度机动飞行时能够稳定的控制直升机，本文中所介绍的非线性控制算法正是能够满足这一控制要求的算法，在该算法中由于引入了偏航角量使得直升机航行和位置控制更为精确。此外该非线性控制算法排除了直升机在滚转角和俯仰角出现较大偏差时直升机失稳的可能性，而使得直升机在非悬停状态下也能得到稳定的控制。在非线性反馈控制系统中应用谐波稳定和连续激励的方法也不会出现任何极限环或发散情况。

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