考虑资金时间价值的网店产品动态定价研究

王海娟+周永务

摘要： 在资金时间价值影响背景下，以仅有网店渠道的销售商为研究对象，为在期末能将产品销售完毕并最大化其收益，在假设顾客所订商品由卖家免费配送，并且顾客在收到产品之前可以取消订单的前提下，通过建模给出了销售商期初的最优订货量、期内价格调整的最佳次数及每阶段的最优价格的动态定价求解算法。最后的算例分析表明模型和算法是有效的，且动态定价相对于静态定价能带来更大的收益。

Abstract： Under the context of the time value， a retailer only with the online shop was researched as the object. Thus， in order to sell out all products at the end of the sell time and maximize the revenue， assuming the customer can cancel their orders prior to the receipt of the product and the delivery is free. The seller's optimal order quantity and the dynamic pricing strategy were given through a mathematical model. Finally， Numerical example shows the effectiveness of the model and the algorithm，and the superiority of dynamic pricing strategy compared with the static strategy.

关键词： 供应链管理；动态定价；订货策略；资金时间价值

Key words： supply chain management；dynamic pricing；order policy；time value of money

中图分类号：F272 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）19-0001-03

0 引言

电子商务的飞速发展，网络零售如雨后春笋般出现并逐渐普及。由于实体店铺需要占用一部分固定资金，而网上开店对资金投入的要求极低，另外淘宝、腾讯商城等为他们提供了有效的平台，因此网店创业这一模式备受吹捧。网络购物不同于实体店铺购买，顾客先下单，卖家在规定时间内派送，并且顾客在收到商品前可以取消订单。为避免多批次订货产生的高订货成本，一般销售商会订购一定数量的商品。在销售期内动态调整价格来保证在期末将产品销售完毕并且实现收益最大化。

国内外学者对动态定价方面的研究很多，Kincaid和Darling[1]是最早开始研究易逝品连续时间动态定价问题的，但将动态定价和收益管理联系起来的是Gallego和van Ryzin[2]，后续动态定价文章都是在此基础上发展而来的，申成霖等[3]从消费者策略行为出发，在需求是随机情况下，确定了两阶段的最优价格策略来最大化其收益。Peng-sheng You[4]在假定需求是关于价格的线性函数条件下，研究了预售系统中，并且考虑取消的情况下，服务产品的订货及二阶段定价策略。

文献[3-4]是两阶段定价策略，但是在现实操作中，两阶段定价不一定是最优的，于是许多学者开始研究在销售期内动态定价策略问题。李豪等[5]研究两竞争的零售商在面对顾客策略行为时如何动态决定易逝品价格的问题，最后得出在供大于求的情况下，价格会随销售时间的增加而减少。Zhao和Zheng[6]研究了需求服从非齐次泊松过程的情况下，证明了最优价格随库存数量的增加而减少的价格连续变化的特征。

上述文献得出价格随某一因素连续变化的结果，但现实中，在一定销售期内，价格的调整次数是有限的，并且连续价格不容易控制和实施。所以学者开始研究有限次价格改变的动态定价问题，如文献[7-8]。但这些研究的背景与本文不同，秦进等[9]研究了网络渠道和实体渠道共存下的季节性商品的动态定价问题，其假定订单取消率为常数的情况下给出了价格调整的次数及销售期初的采购量。

本文研究的是网店产品动态定价问题，与文献[9]的不同之处在于：①本文考虑了在销售期内的资金时间价值的影响。由于销售期较长，而在销售期内通常会出现因通货膨胀带来的货币购买力下降，或者通货紧缩而导致的货币购买力上升的现象，即资金的时间价值是时刻变化的；②研究问题的背景不同，本文目的是在电子商务盛行的时代，为网店创业者提供动态定价策略指导；③本文假设顾客取消订单收取的惩罚费用是价格的函数，并且订单取消率是关于时间的减函数，因为一般来说，越接近消费日，即越接近收到货物的时刻，订单取消量会随之降低。

1 模型的建立

1.1 模型假设 考虑以一销售商在销售期L开始前采购Q数量商品，在销售期内，销售商会对产品的价格进行动态调整，将销售期长度L划分为n个相等的时间阶，每个阶段的时间跨度是T，T=■，假设每隔相等时间T后，产品价格就会被重新调整一次，价格集合p■=p■，p■，…，p■；价格调整的同时，销售商会将上一阶段的订单免费派送完毕，即在每阶段末发货；顾客收到商品前可以取消订单，假定订单取消率θ（t）=■，η∈（0，1），对于顾客取消订单销售商要收取一定的取消惩罚费用，假定取消惩罚费用是价格的函数ri=kpi，k为常数，需求函数D（pi）=α-βpi，i=1，2…n，α，β是正的常数；假设存在资金时间价值的影响，资金的贴现率为r，是个常数。

为了建立模型，变量定义如下：n：销售期内价格设定的次数，是一个决策变量，Si（t）表示从第i阶段开始到该时期内t时刻的累积销售量，t∈[0，T]，c：单位采购成本，Ch：单位商品单位时间库存持有成本，Ct：每次配送启动成本。endprint

1.2 建立模型 根据前面对变量的定义，任意i阶段销售速率有■=D■p■-θ（t）S■（t），0？燮t？燮T，1？燮i？燮n （1）

因为在任意阶段预订的产品都将在该时期末被派送，即有S■（0）=0，将此条件用于求（1）式得S■（t）=■（2）

第i阶段总销售量为

n■■=■D■p■-■S■（t）dt=■ （3）

整个计划期的销售量为u■=■n■■=■■ （4）

所以，期初的采购量Q=un （5）

①销售收益。

第i阶段销售收益的贴现值

R■■=■D■p■-■S■（t）p■e■dt=■D■p■p■ （6）

整个计划期的销售收益的贴现值

R■=■R■■e■=■■D■p■p■e■ （7）

②订单取消费用收益。

第i阶段订单取消费用收益贴现值

R■■=■θ（t）S■（t）r■e■dt=■D■p■p■ （8）

整个计划期的订单取消费用收益

R■=■R■■e■=■■D■p■p■e■ （9）

③库存保管费。

第i阶段的库存

■n■■=■■T （10）

每阶段的库存水平如图1所示。

第i阶段库存保管费贴现值

■C■■■Te■dt=■■■T （11）

整个计划期库存保管费贴现值

C■=■■■■Te■ （12）

④商品采购成本。

C=cQ=cu■=c■n■■=c■■ （13）

⑤配送启动成本。Ct=nct （14）

⑥总利润。

R表示整个销售期[0，L]的总利润，总利润由销售产品的收入、顾客取消订单的惩罚费用收入、库存保管费、采购成本及配送成本这五部分构成，所以有总利润

R=Rs+Rc-CH-C-Ct （15）

将T=■，Ti=■，D■p■=α-βp■代入上式得，

Rp■，n=■

■α-βp■p■e■+kη■α-βp■p■e■

-■■■■e■

-c■■-nc■ （16）

又由于产品的需求为D■p■=α-βp■，

需求必须满足D■p■？叟0

所以最优的动态定价及最优订货模型为式（17）：

max Rp■，n s.t p■？刍■ （17）

1.3 模型求解 由于在实际销售过程中，在一定的销售期内，价格的改变次数的设置一般不会太多，即n的值一般不会太大，我们可以人为设定价格调整次数的上限N，因此我们可以分别求解给定n值时模型的最优解。

定理1、给定n，R（Pi，n）是关于Pi的严格凹函数

证明：■=■e■

（1+kη）α-2βp■+C■ibL/n+■ （18）

■=-■e■（1+kη）？刍0 （19）

■=0，i≠j （20）

所以可知海塞矩阵的符号是（-1）k，k=1，2，3…n，即海塞矩阵是负定的，所以R（Pi，n）是关于Pi的严格凹函数。

为求得产品的最优价格，定义下面一个函数：

u■=α/β-

cLr/n1-e■（1+kη）e■+c■iL/[n（1+kη）]

为求解第i阶段的销售价格Pi，我们引入定理2。

定理2、当n确定时，若u■？叟0，p■=p■■；若ui<0，Pi=α/β

证明：■=0？圯p■■=

1/2α/β+cLr/n1-e■（1+kη）e■+

C■iL/[n（1+kη）] （21）

若ui？叟0，则α/β>p■■，所以p■=p■■；若ui<0，则α/β？刍p■■，所以pi=α/β。

根据上面的分析，我们可以给出模型求解的方法，详细步骤如下：步骤1、令n=1，即假设价格调整1次，即n*=1，max R=R（n*）；步骤2、若n

2 算例分析

某销售量在销售期初采购一批商品，在一定销售时间内将其销售完毕，销售期长度为L=360天，贴现率r=0.01，单位产品单位时间的库存保管费Ch=0.001，单位产品的采购成本c=1，每次的配送成本Ct=50，α=10，β=1，k=0.2。即产品需求为D（pi）=10-Pi。根据前面的求解方法，在不同的n值下利润R及订货量Q如表1。从表1可以看出，随着价格改变次数的增加，销售商的收益先增加后减小，当价格设定次数n=3时，销售商获得最大收益R=1140.7，此时相应的订货量Q=188.9个单位。即在销售期内价格改变了2次，相应的最优价格为5.9、7.9和10。另外从表中还可以看出销售量大不一定所获得的利润就大；价格调整次数的变化会影响销售商的总利润和采购量；并且从上表明显看出，在整个销售期价格不发生变动时，即n=1时，获得的收益为766.76，显然产品的动态定价明显优于静态定价。

3 结束语

面对实体店铺租金的压力，越来越多的个体开始进行了网上商店产品的销售。本文研究了一销售商仅通过网店销售产品，顾客购买的商品由销售商免费配送，并且顾客在收到商品之前可以取消其订单，但需要支付一个取消惩罚费用。通过建立相应的数学模型，给出了销售商的最优订货数量及最优的价格调整次数问题，并推导出了最优的定价策略.经过分析发现，系统的总收益函数是关于销售价格的凹函数；并给出了一个有效算法求出了在一个销售期内最优的价格调整次数。最后的算例分析表明在销售期内销售商采用动态定价获得的收益明显优于静态定价，可以使销售商在期初以较少的订购量获得期末较大的收益。研究结果对于开网店的店主有一定的借鉴意义。

参考文献：

[1]Kincaid， W. M.Darling. An inventory pricing problem[J].Mathematical Analysis and Application，1963（7）：183-208.

[2]Gallego，G and G.van Ryzin.Optional dynamic pricing of inventories with stochastic demand over finite horizons[J].Management Science，1994，40（8）： 999-1020.

[3]申成森，张鑫新.混合型消费者的短生命周期产品动态定价[J].工业工程，2011，14（1）：39-42.

[4]You P S. Ordering and pricing of service products in an advance sales system with pice-dependent demand[J]. European Journal of Operational Research，2006，170：57-71.

[5]李豪，熊中楷，彭志强.竞争环境下基于顾客策略行为的易逝品动态定价研究[J].中国管理科学，2011，19（2）：89-97.

[6]Zhao W， Zheng Y S. Optimal dynamic pricing for perishable assets with nonhomogeneous demand[J]. Management Science， 2000，

46：376-380.

[7]Feng， Y. and G. Gallego. Optimal starting times for end-of-season sales and optimal stopping times for promotional fares [J]. Management Science， 1995， 41（8）： 1371-1391.

[8]Bitran，G.R.and S.V.Mondschein.Periodic pricing， of seasonal products in retailing[J].Management Science，1997，43（1）： 64-79.

[9]秦进，倪玲森，缪立新.考虑采购数量的季节性商品的动态定价问题[J].系统工程理论与实践，2011，31（7）：1259-1261.endprint

参考文献：

[1]Kincaid， W. M.Darling. An inventory pricing problem[J].Mathematical Analysis and Application，1963（7）：183-208.

[2]Gallego，G and G.van Ryzin.Optional dynamic pricing of inventories with stochastic demand over finite horizons[J].Management Science，1994，40（8）： 999-1020.

[3]申成森，张鑫新.混合型消费者的短生命周期产品动态定价[J].工业工程，2011，14（1）：39-42.

[4]You P S. Ordering and pricing of service products in an advance sales system with pice-dependent demand[J]. European Journal of Operational Research，2006，170：57-71.

[5]李豪，熊中楷，彭志强.竞争环境下基于顾客策略行为的易逝品动态定价研究[J].中国管理科学，2011，19（2）：89-97.

[6]Zhao W， Zheng Y S. Optimal dynamic pricing for perishable assets with nonhomogeneous demand[J]. Management Science， 2000，

46：376-380.

[7]Feng， Y. and G. Gallego. Optimal starting times for end-of-season sales and optimal stopping times for promotional fares [J]. Management Science， 1995， 41（8）： 1371-1391.

[8]Bitran，G.R.and S.V.Mondschein.Periodic pricing， of seasonal products in retailing[J].Management Science，1997，43（1）： 64-79.

[9]秦进，倪玲森，缪立新.考虑采购数量的季节性商品的动态定价问题[J].系统工程理论与实践，2011，31（7）：1259-1261.endprint

参考文献：

[1]Kincaid， W. M.Darling. An inventory pricing problem[J].Mathematical Analysis and Application，1963（7）：183-208.

[2]Gallego，G and G.van Ryzin.Optional dynamic pricing of inventories with stochastic demand over finite horizons[J].Management Science，1994，40（8）： 999-1020.

[3]申成森，张鑫新.混合型消费者的短生命周期产品动态定价[J].工业工程，2011，14（1）：39-42.

[4]You P S. Ordering and pricing of service products in an advance sales system with pice-dependent demand[J]. European Journal of Operational Research，2006，170：57-71.

[5]李豪，熊中楷，彭志强.竞争环境下基于顾客策略行为的易逝品动态定价研究[J].中国管理科学，2011，19（2）：89-97.

[6]Zhao W， Zheng Y S. Optimal dynamic pricing for perishable assets with nonhomogeneous demand[J]. Management Science， 2000，

46：376-380.

[7]Feng， Y. and G. Gallego. Optimal starting times for end-of-season sales and optimal stopping times for promotional fares [J]. Management Science， 1995， 41（8）： 1371-1391.

[8]Bitran，G.R.and S.V.Mondschein.Periodic pricing， of seasonal products in retailing[J].Management Science，1997，43（1）： 64-79.

[9]秦进，倪玲森，缪立新.考虑采购数量的季节性商品的动态定价问题[J].系统工程理论与实践，2011，31（7）：1259-1261.endprint