习有所得，潜能无限

钱雷芳

在初中数学学习中，很多学生往往只会做题，而不会思考题目本身的类型特点，这不仅失去了习题本身的意义价值，而且失去了巩固和发展知识的机会.如果把每道数学题看成是有生命的，那么它就能不断地生长发展.因此，在平时的教学中笔者倾注了大量的时间和精力，整理典型的例、习题，通过教学探索，引导学生挖掘数学习题的潜在价值，发现它的生命力，开发习题的附加值.很多学生学后乐此不疲地尝试探索，收获很大.学生的积极探索改变了笔者的教学风格，让课堂充满了趣味，散发出了数学魅力.

一、化繁为简，重视习题的二次结论的应用

习题的二次结论，它具有广阔的探究、拓展空间，常常作为命题生长点的原型.平时教学中，如果能注重引导学生仔细揣摩，则能简化解题过程，化难为易，开阔解题思路，使我们在解题中能举一反三，触类旁通，有助于培养学生灵活地运用知识解决具体问题的能力.

譬如，学生学习了《多边形的内角和与外角和》后，笔者让学生讨论：如图，∠A+∠B与∠C+∠D有怎样的数量？为什么？

学生很快发现了：∠A+∠B=∠C+∠D.

再让学生探究：

1.根据图形，解答问题：

（1）如图甲，一个五角形ABCDE，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.

（2）如图乙，如果点B向右移动到AC上时，还能算出∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠E的大小吗？

（3）如图丙，点B向右移动到AC的另一侧时，（1）的结论成立吗？为什么？

（4）如图丁，点B，E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？说明理由.

甲 乙 丙 丁

学生通过讨论，发现每题都适当添加一条辅助线，就能构造出例题中的图形，再运用例题的结论转化，从而很快解决问题，简单有趣.

2.已知，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：

（1）在图中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；

（2）如果图中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系.

在解答（1）时，学生充分运用了例题结论，两次运用结论，通过列方程组求出∠P=38°；解答（2）时，学生利用（1）的特殊性解决问题，得出∠P= （∠B+∠D）.虽然本题对于初一学生有一定的难度，但它是以例题为原型生长出来的问题，只要引导学生在变化中始终抓住例题之本，解决新的问题也就水到渠成，迎刃而解了.

二、发散思维，注重习题的一题多解

“条条大路通罗马”，解决同一个问题，方法往往有多种，一题多解在巩固和加深所学知识，培养学生发散思维能力与创新能力方面具有重要的意义.

例如：探讨计算1+2 +2 +…+2 的一题多解方法.

解法一：可通过教材提供的方法探究解决：2 -2 =2 ，2 -2 =2 ，…，再观察得出规律，最后活用规律进行计算.所以原式=（2 -2 ）+（2 -2 ）+…+（2 -2 ）=2 -2 =2 -1.

解法二：这道习题也可用“倍差法”求解：设S=1+2 +2 +…+2 ，将等式两边同时乘以2，得2S=2+2 +2 +…+2 +2 ，将两式相减，得2S-S=2 -1，即1+2 +2 +…+2 =2 -1.

解法三：当学生学习《整式乘法》后，再次和学生探讨：计算1+2 +2 +…+2 .首先请学生动手操作：

（x-1）（x+1）=x -1，（x-1）（x +x+1）=x -1，（x-1）（x +x +x+1）=x -1，

……猜想：（x-1）（x +x +…+x +x+1）= .

这种解法就是运用上述规律：“借鸡生蛋”解决.所以原式=（2-1）（2 +2 +…+2 +2+1）=2 -1.本题借的“鸡”（2-1）是特例，当然有时要借（3-1）时，则要除以2，这是要提醒学生注意的.

教师在教学中要利用好这类习题，引导学生平时多观察、多积累，就能有效培养学生思维的广阔性和创造性.

三、探究创新，重视习题的变式拓展

在数学教学中，恰当地对例题、习题进行演变、引申、拓展，无疑是激发学生学习兴趣，开拓思路，培养研究性思维能力的一种十分有效的方法.

例如：在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.

（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC= ；

（2）若∠A=76°，则∠BOC= ；

（3）若∠BOC=120°，则∠A= ；

（4）当∠A=n°（n为已知数）时，猜测∠BOC= ，并用所学的三角形的有关知识说明理由.

這个问题通过学生分析：只要抓住△ABC和△BOC的内角和，结合∠ABC、∠ACB的平分线就可以解决问题.三角形的角平分线有内外角的平分线，如果把它们进行重组后，又有什么新问题呢？

变式1：如图，O是∠ABC与外角∠ACE的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由.

分析：本题虽然看似和原题一样，但解决问题的方法却不一样，这就需要教师引导学生运用△ABC和△BOC的外角解决，就能轻松得出∠BOC= ∠A.

变式2：如图O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？

分析：本题的解法是运用△BOC的内角和知识结合△ABC的外角公式来解决，得出∠BOC=90°- ∠A.

数学的奥秘和乐趣就在这些变化中体现得淋漓尽致，学生也会兴趣盎然，如果就内角平分线变化为∠ABC、∠ACB的等分线，则又有一番新景象.

变式3：已知△ABC中，∠A=x°，

（1）如图，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O 、O ，则用x表示∠BO C= 度.

（2）如图，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O 、O …O ，则用x表示∠BO C= 度.

探索是教学的生命线，在数学教学中，若能注重变式教学，不断抛出新的问题，让学生在不断探究、不断反思中，提高应变能力、独创能力，特别有利于创新精神的培养和实践能力的形成，也有利于提高独立分析问题的能力.

四、灵活运用，重视习题思维变向

在数学学习中，对学生进行双向思维交替训练，有效提高学生由正向思维转换到逆向思维的能力.同时也帮助学生克服思维定势和思维的呆板性起到良好的作用，培养学生思维的灵活性，从而在解题中左右逢源，如鱼得水.

例如：学习《幂的运算》后，学生对于2 ×2 都会运用同底数幂的乘法法则计算得出2 ，教师在学生熟练掌握基础知识的原则下，不妨提出2 =2 ×2 让学生思考.这其实是逆用这个法则，它表示把一个幂写成几个同底数的幂相乘，在解决某些问题时常常有用.

探究1：已知a =2，a =3，求a 的值.

分析：本题就是逆用同底数幂的运算法则得：a =a ·a =2×3=6

探究2：已知a=2 ，b=3 ，c=4 ，试比较a、b、c的大小关系.

分析：解决本题逆用幂的乘方法则可得：a=2 =（2 ） =64 ，b=3 =（3 ） =243 ，c=4 =（4 ） =256 ，从而轻松快速地比较得出a、b、c之间的大小关系.

在初中数学中，不仅是某些法则可以这样逆用，某些公式、定理等也可以这样运用.

应用1：已知x +2xy+2y +2y+1=0，求2x+y的值.

分析：本题可以运用完全平方公式解决.

应用2：已知a≠b，且a +3a-7=0，b +3b-7=0，求a +b 的值.

分析：本题如果逆用根和系数的关系可知：a、b是关于x的一元二次方程x +3x-7=0的两根，从而可得a+b=-3，ab=-7，所以a +b =（a+b） -2ab=23.

逆向思维是数学教学中一种重要的求异思维方式，它能让学生很快解决一些表面看似繁复的问题.因此，在教学中应有意识地培养，不断提高学生的思维品质.

五、探本求源，重视习题蕴涵的思想方法

数学思想方法寓于数学知识之中，揭示了数学概念、原理、规律的本质，是沟通基础与能力的桥梁.学生对数学思想方法的掌握是螺旋式上升的，不能一蹴而就，在每一个教学环节中，应当针对学生的认知水平，结合教学内容潜移默化地进行，重视培养学生在习题中数学思想的渗透和确定.

如《一元一次不等式》复习题中，教材安排了一道探索研究：

用等号或不等号填空：

（1）比较2x与x +1的大小：

①当x=2时，2x x +1

②当x=1时，2x x +1

③当x=3时，2x x +1

（2）任意取几个x的值，计算并比较2x与x +1的大小；

（3）无论x取什么值，2x与x +1总有这样的大小关系吗？试说明理由.

教材安排这个探究，原因之一就是引导学生认识“特殊与一般的思想”常通过考察其特殊情况，由浅入深，由现象到本质，揭示其一般规律.可见思想方法才是学生数学学习的源头，巩固了思想，树立了意识，才能窥一斑而见全豹，解一题而得全部.教材的很多例题、习题中还体现了“数形结合”，“分类讨论”等思想方法.学生掌握了数学思想方法等于掌握了“万能”的金钥匙，数学学习能力和解题能力无疑会极大提高，数学素养会有质的飞跃.

当然习题潜能量的探究远远不只这些.只要教师始终意识到学生是学习数学的主人，通过课堂教学的星星之火，通过习题练习的点点光芒，就定能点亮学生探究之路，让数学学习成为学生不断发现、不断创造的过程，充分发挥例题习题应有的价值，彰显数学魅力，那么学生在数学学习过程中定能如活水之鱼，鮮活而富有生命力.