等效渗透率在底水油藏水平井数值模拟中的应用

2014-07-05魏敬超李立峰

油气藏评价与开发 2014年2期

程强，魏敬超，李立峰

（1.中国石化江苏油田试采一厂，江苏扬州 225265；2.中国石化江苏油田钻井处，江苏扬州 225261）

利用水平井开采底水油藏，井筒内压力损失影响不可忽视[1-2]。由于油藏与井筒内流体流动规律不同，因此，在考虑井筒压降研究中，需要建立油藏渗流与井筒管流的耦合模型[3]。一些学者基于耦合模型研究了井筒内压力损失对水平井产能[4]、见水时间等的影响[5]，还有学者研究了基于耦合模型的底水油藏水平井的数值模拟方法[6]。由于井筒与油藏的控制方程不同，耦合模型的求解难度较大，这对于大尺度的油藏数值模拟是非常不利的[7]。有学者在水利学研究中提出了水平井等效渗透率的概念[8]，本文借鉴这种思路，推导了两相流动条件下等效渗透率数学表达式，统一了井筒与油藏中的控制方程，研究了等效渗透率在底水油藏水平井数值模拟中的应用。

1 物理模型与假设

底水油藏水平井开采物理模型如图1所示，油藏顶部为不渗透边界，底部为底水，保持定压，水平井定流量生产，本文研究考虑油水的界面张力与重力，忽略岩心与流体的压缩性。研究中的参数有：油层厚度h，m；储层渗透率K，m2；储层孔隙度Φ，无量纲；水平井长度L，m；水平井距底水高度Zw，m；原油密度ρo，kg/m3;地层水密度ρw，kg/m3；重力加速度g，m/s2；原油渗流速度vo，m/s；地层水渗流速度vw，m/s；油相黏度μo，Pa·s；水相黏度μw，Pa·s；油相饱和度So，无量纲；水相饱和度Sw，无量纲；油相压力po，Pa；水相压力pw，Pa；水平井产量Q，m3/s；含水率fw，无量纲。

图1 底水油藏水平井开采示意图Fig.1 Horizontal well exploitation diagram of bottom water reservoir

1.1 水平井筒的等效渗透率

水平井筒内压力损失有摩擦压降、加速压降与混合压降等。根据质量守恒与动量守恒，可以推导出水平井任意微元段压降数学表达式，如公式（1）所示：

式中：Δph,i为任意微元段上压力损失；vh,i为井筒内流动速度；vi为油藏流体向水平井筒流入速度；A为水平井筒截面积，m2；rw水平井筒半径，m；f水平井筒摩擦系数，无量纲。公式（1）右侧第一项为摩擦压力损失，第二项与第三项为加速压力损失。有实验研究指出[9]，摩擦压降约占全部压降的80%，因此公式（1）可以改写为：

由公式（2）可以得到井筒内流速与压力损失的关系：

将井筒内等效渗透率定义为∶

两相流动中，等效渗透率中参数随油水饱和度变化。根据质量平均，混合密度定义为∶

Sw为含水饱和度，So为含油饱和度，混合黏度定义[11]为∶

摩擦系数f计算方法受流态控制影响，流态与流动雷诺数Re有关，Re=ρvd/μ，当流动为层流，摩擦系数的计算公式为f=64/Re。当流动为紊流，摩擦系数的计算随雷诺数变化分为四个阶段，文献[10]中有详细的计算公式。

混合流速的计算公式为：

混合流速既是需要求解的未知量，同时又是计算等效渗透率所需的参数。因此，在数值模拟中需要对混合流速进行处理。在初始时刻，假设井筒内流态为层流，这种情况下，等效渗透率数学表达式中流速被约去，利用其他参数可以计算出一个初始的等效渗透率，并利用这个等效渗透率求解方程组，可以得到速度与压力分布，然后将新计算出的流速传递到下一时间步长中，用以计算下一时间步长内的等效渗透率，在之后时间步长中，采用相同的方法处理井筒内流速与等效渗透率。

将等效渗透率代入公式（3）后，可以得到井筒内流速与压力梯度关系，改写成微分形式后为∶

1.2 油藏与井筒的控制方程

可以看出公式（8）与达西定律形式相同，因此，基于等效渗透率，井筒中可以建立与油藏形式相同的运动方程。所以在数值模拟中，将水平井筒处理为油藏的一部分。油藏与井筒中油水相控制方程为：

式中：∇为梯度算子，krw为水相相对渗透率，kro为油相相对渗透率，D为海拔标高，m。补充方程为：

式中：pc为毛管力，po为油相压力，pw为水相压力。边界条件为：

根据补充方程，方程（9）可以变为：

公式（10）与公式（11）相加得到：

已知毛管力是含水饱和度的函数，在水驱油过程中含水饱和度随距离变化：

带入公式（12）可以得到：

公式（14）为两相流动的压力微分方程，公式（10）为饱和度微分方程，加上边界条件就组成油藏与井筒内两相流动的数学模型。

在本文的模型中，水平井被当做油藏处理，所以需要赋予孔隙度、相对渗透率等参数。水平井孔隙度设置为100%，相渗关系设置为：

在水平井筒中不考虑毛管力，因此，油相压力与水相压力相同。

2 应用与讨论

在商业数值计算软件中建立物理模型，其中将水平井处理为油藏的一部分，分别赋予油藏和水平井不同的物性参数，输入文中推导的数学方程，通过编程处理等效渗透率，求解后就可以实现考虑井筒压降的底水油藏水平井数值模拟。

为验证本文方法的可靠性，利用该方法模拟了某底水油藏水平井开采实验过程。物理模型中模拟油藏的岩心的尺寸为80 cm（长）×10 cm（高）×10 cm（宽）。水平井模型长为70 cm，井径为2 mm，置于油藏模型顶部。在水平井布置4个压力传感器，以测量井筒里压力损失，物理模型的基本参数如表1所示。物理模型中岩心的相渗关系如表2所示。

表1 物理模型的基础数据Table 1 Basic data of physical model

表2 油藏模型中油水相渗关系Table 2 Oil and water relative permeability of reservoir model

将数值模拟得到的水平井井筒内压力分布与实验结果对比，如图2所示。可以看出，数值模拟与实验结果符合较好，从水平井指端到跟端，井筒内压力逐渐降低，而且越靠近跟端，压力下降速度越快，这使得大部分井筒压降发生在靠近跟端的井筒中。数值模拟结果很好地反映了井筒压力损失特征。

图2 水平井筒内压力分布Fig.2 Pressure distribution of horizontal wellbore

数值模拟与实验得到的水平井开采动态对比如图3所示。实验中底水突破进入井筒时间早、含水上升时间快，含水率至90%时，采出程度尚不足25%。数值模拟与实验结果符合较好。这表明本文方法能够较好地模拟底水油藏水平井开采特征，可以用于此类情况的数值模拟。与耦合模型相比，本文方法模拟精度差距不大，但求解难度降低。