庇护效应下一类改进的Holling-Tanner反应扩散捕食模型的定性分析

岳宗敏, 白云霄, 曹 慧, 蔡永丽

(1.陕西科技大学 理学院， 陕西 西安 710021； 2.中山大学 数学与计算科学学院， 广东 广州 510275)

0 引言

捕食-食饵系统是生物界最常见的两种群关系，建立数学模型[1,2]研究种群关系是生物数学研究的重要内容，相关结果已有不少[3-7], 关于Holling-Tanner系统以及基于比率依赖的Holling-Tanner系统已有了广泛的研究[8-12], 文[13]研究了具有Smith增长改进了的Holling-Tanner系统：

(1)

其中食饵种群在时刻t的密度为x(t)，并假设该种群的增长规律满足方程

(2)

2009年陈凤德[14]等人研究了一定比例的食饵进入避难所的Leslie-Gower型捕食-食饵系统

(3)

其中mx(t)表示时刻t时一定比例的食饵被庇护空间保护，并且m∈(0,1).通过使用特征根法，分析了避难所效应对该系统全局稳定性的影响，得到无论怎样改变庇护空间中食饵的数量，系统(3)的稳定性始终不发生改变，即避难所效应不影响系统的稳定性.

受以上论文启发，本论文所要研究的系统如下：

(4)

H(x,y,0)>0,P(x,y,0)>0,(x,y)∈Ω.

1 系统的持久性

定理1[15]对于t>0，系统(4)所有解是非负的，并且满足

(5)

定义如果存在正常数M0=M0(H0,P0)，使得对于系统(4)所有满足初值H0>0，P0>0的解(H,P)都有

(6)

成立，则称系统(4)的是持久的.

定理2若(1-m)(1+c)

证明：设(H，P)是系统(4)的一个正解，可知

由抛物方程比较原理可知，当时(1-m)(1+c)

故对于任意ε>0，存在T∈(0,+∞)，使得H(x,y,t)∈Ω×(T,+∞),有H(x,y,t)≥μ-ε.

由系统的第二个方程可知

由抛物方程比较原理，令ε→0，可得:

2 平衡点的局部稳定性

由

可知，当系统(4)满足条件ar+hr+m-1>0时系统存在正平衡点E*(H*,P*)，其中

正平衡点处的雅可比矩阵为

在系统(4)的线性化系统的平衡点E*(H*,P*)附近加一个时空小扰动，即令

得到微扰线性系统的特征多项式为

|λE-J+Dκ2|=0

其中

可得色散关系：

λ2-tr(κ)λ+Δ(κ)=0

(7)

这里

tr(κ)=-(d1+d2)κ2+j11-s

(8)

Δ(κ)=d1d2κ4+(d1s-d2j11)κ2-

(9)

方程(7)的根为：

(10)

定理3当ar+hr+m-1>0时，

(2)s=s*时，系统在正平衡点E*(H*,P*)周围会出现hopf分支.

时，系统在正平衡点E*(H*,P*)会出现Turing失稳. 这里

(11)

证明： (1)易知s>s*时，tr(κ)<0成立；由于

(12)

(2) Hopf分支产生的条件为:Im(Δ(κ))≠0,Re(Δ(κ))=0,κ=0,所以代入(7)、(8)可得Hopf分支参数s的临界值：

(3)Turing失稳的条件为Δ(κ)<0且tr(κ)<0. 由(8)可知，当Δ(κ)最小时，

此时

Δ(κ)min=

(13)

所以当

有Δ(κ)min<0，又因为s>s*时，tr(κ)<0成立. 证毕.

3 正平衡点的全局稳定性

定理4若系统(4)的正平衡态E*存在，且同时满足条件

(S1):(1-m)(1+c)

(S2):2rμ(a+h)2-(h+2-2m+(a+h)2)(T+cH*)≥0

(S3):μ(a+h)2(2h-1+m)-hT(1-m)≥0

则系统的正平衡态E*是全局渐近稳定的.

证明：构造lyapunov函数

(14)

E(t)=∬ΩV(H(x,t),P(x,t))dxdy

(15)

(16)

[(H-H*)+(P-P*)]2×

(17)

由上

并且

4 庇护效应对系统的影响

分以下三种情形讨论：

从上面的分析可知，在扩散系数一定的情况下，随着庇护作用的加强，对于系统的稳定性有着促进的作用.在某种程度上适当的加强庇护作用可以使不稳定的正平衡点E*(H*,P*)变得稳定，从而使得濒临灭绝的物种得以持续生存.

[1] 王顺庆，王万雄，徐海根.数学生态学稳定性理论与方法[M].北京:科学出版社，2004.

[2] 张芷芬，丁同仁，黄文灶,等.微分方程定性理论[M].北京:科学出版社，1985.

[3] 陈兰荪，井竹君.捕食者-食饵相互作用中微分方程的极限环存在性和唯一性[J].科学通报，1984，29(9):521-523.

[4] 范 猛，王 克.一类具有HollingII型功能性反应的捕食者-食饵系统全局周期解的存在性[J].数学物理学报，2001(4):492-497.

[5] 张 娟，马知恩.一类具有HollingII类功能性反应且存在两个极限环的捕食系统的定性分析[J].生物数学学报，1996，11(4):37-42.

[6] 刘启宽，张兆强，陈 冲.一类具有功能反应的食饵-捕食者模型的定性分析[J].重庆理工大学学报(自然科学版)，2010，24(1):118-122.

[7] S.B.Hsu,T.W.Huang.Global stability for a class of predator-prey systems[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,1995,55(3):763-783.

[8] A.Gasull,R.E.Kooij,J.Torregrosa.Limit cycle in the Holling-Tanner mode[J].Publicacions Matemtiques,1997,41(1):149-167.

[10] T.Saha,C.Chakrabarti.Dynamical analysis of a delayed radio-dependent Holling-Tanner predator-prey model[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2009,358(2):389-420.

[11] Z.Liang,H.pan.Qualitative analysis of a radio-dependent Holling-Tanner predator-prey model[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,334(2):954-964.

[12] M.Banerjee,S.Banerjee.Turing instabilities and spatio-temporal chaos in ratio-dependent Holling-Tanner model[J].Mathematical Biosciences,2012,236(1):64-76.

[13] 杨晓峰，靳 祯，任变青.具有Smith出生的改进的Holling-Tanner模型的定性分析[J].陕西科技大学学报(自然科学版)，2010,28(4):8-11.

[14] F.D.Chen,L.J.Chen,X.D.Xie.On a Leslie-Gower predator-prey model in corporating a prey refuge[J].Nonlinesr Analysis,2009,10(5):2 905-2 908.

[15] Z.M.Yue,W.J.Wang.Qualitative analysis of a diffusive ratio-dependent Holling-Tanner model with Smith growth[EB/OL].http://dx.doi.org/10.1155/2013/267173,2014-03-01.