用归纳法解物理问题

2014-06-27赵维和

物理通报 2014年11期

关键词：拉直细绳归纳法

赵维和

(中央民族大学附属中学北京 100081)

1 基本概念

(1)归纳法：从某些个别物理现象或特殊的物理过程出发，可以推论出具有普遍意义的一般性结论；这种从个别到一般，从特殊到普遍的逻辑推理方式叫归纳法．

(2)根据题目描述的物理现象推导出某些一般性的结论，使用的是归纳法，归纳法是我们解决问题的常见思维方式，是解决物理问题的必备工具．

2 基本方法

2.1 步骤

(1)根据题意，分析物理过程；按物理过程递推，找出2～3个与过程有关物理量的方程；

(2)寻找规律；

(3)依次找出第一、第二、第三状态下各物理量的关系；

(4)寻找一般情况下，各物理量间的关系；再在此基础上找出第n个过程的通式；

(5)根据题意求出要求的物理量．

2.2 有关公式

(1)等差数列求和公式

式中Sn为和、a1为首项、an为末项、n为项数、d为公差．

(2)等比数列求和公式

当q<1时

当q>1时

式中Sn为和，a1为首项，n为项数，q为公比．

3 例题赏析

3.1 静力学

【例1】如图1有n块形状相同的木块，质量都是m，它们之间的摩擦因数均为μ，若不计绳的重量和绳与滑轮之间的摩擦，要拉动所有的木块，则拉力F至少多大？

图1T1=f1=μmg=12μmgf2=2μmgT2=T1+f1+f2=4μmg=22μmgf3=3μmgT3=T2+f2+f3=9μmg=32μmg

所以至少F=n2μmg.

3.2 运动学

解：小球是自由落体运动，则

第一次碰后

第二次碰后

第n次碰后

小球从开始下落到第n次碰撞后静止所用时间为

T=t0+t1+t2+t3+…+tn=

追问：在上题中，试计算小球从开始下落到停止运动共通过的路程是多少？

解：h0=4.9 m

3.3 动量与能量

【例3】雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大．现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始质量为m0，初速度为v0，下降距离l后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m1．此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次为m2，m3，…，mn，…(设各质量为已知量)．不计空气阻力．

(2)若考虑重力的影响，

解：(1)不计重力，全过程中动量守恒

m0v0=mnv′n

得

(2)若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒

1)第1次碰撞前

第1次碰撞后

(1)

2)第2次碰撞前

利用式(1)化简得

(2)

第2次碰撞后，利用式(2)得

同理，第3次碰撞后

……

第n次碰撞后动能

【例4】如图2所示，A和B两个小物体(可看成质点)的质量分别为2m和m，它们栓接在跨过定滑轮的细绳两端，细绳不可伸长，且能承受足够大的拉力．B物体悬吊着静止时，A也静止在地面上，A和B与定滑轮轮轴之间的竖直距离分别为2l和l．现将B物体竖直向上提高距离l，再将其从静止释放．每次细绳被拉直时A与B速度的大小立即变成相等，且速度方向相反，由于细绳被拉直的时间极短，此过程中重力的作用可以忽略不计．物体与地面接触时，速度立即变为零，直到再次被细绳拉起．细绳始终在滑轮上，且不计一切摩擦．重力加速度为g．求

(1)细绳第一次被拉直瞬间绳对A冲量的大小；

(2)A第一次上升过程距离地面的最大高度；

(3)A运动的总路程．