毕奥-萨伐尔定律建立的探讨*

呼和满都拉 冀文慧 杨洪涛 胡晓颖

(集宁师范学院 内蒙古 乌兰察布 012000)

19世纪以前，人们一直认为电学和磁学的研究一直都是独立地发展着，尽管“顿牟掇芥、磁石引针”的描述，以及存在平方反比关系的电场力和磁场力都在不同程度上反映了电磁场的相似性．但是相似和相等并不成等价关系．直到1820年，丹麦的物理学家奥斯特在前人研究发现的基础上，通过大量的演示实验和研究分析，总结出了电流和磁针间存在力的作用．并做了相关报告，总结了他60次的电流磁效应的实验[1]，电与磁的发展才进入了新的时期．正在瑞士访问的法国科学院院士阿拉果听到这一重要消息，立即带着这一新闻回到法国，并在法国科学院报告和演示了奥斯特的重大发现．由于此前一直深受库仑的影响，报告一出来，就在法国的科学界引起了强烈的轰动．法国科学家立即重新审视电和磁的关系并着手进行试验．很快，安培就在科学院会议上对相关的3篇论文做了报告．报告会上做了演示实验，证明通电螺线管能像磁铁一样相互吸引[2]．同时毕奥和萨伐尔合作对电的磁效应展开着定量研究，1820年9月30日，两人将第一个实验结果发表，载流长直导线到磁极距离与其作用力成反比的结果．这是人类第一次得到电流磁效应的定量结果．在这种背景下建立起来的不仅是毕奥-萨伐尔定律，同时肯定了电和磁的联系．

毕奥-萨伐尔定律虽然十分重要，但是日常教学中对该定律的讲解，通常是把注意力主要集中在应用该定律的解题和计算上，这种引入方式不仅忽略了建立定律的物理内涵、研究方法和创新精神，而且没有深刻反映定律的建立过程．在这里，我们先简单介绍定律的建立背景，了解它的实验原理和方法．再应用相对性原理和电磁场变换公式，具体地阐明如何从理论上推导出该定律．最后根据安培定律得出的毕奥-萨伐尔定律对上一种方法进行验证．

毕奥-萨伐尔定律的建立是不可争论的事实，它在电磁学中的地位等同于库仑定律在静电学中的重要地位．现在的技术发明，凡是与电联系的都会有磁的参与，如手机、电视、电脑、电动机等，各种电子设备都应用到电磁的转换．该定律的建立对人类关于电磁现象的认识作了突出的贡献，并对电磁学的发展具有里程碑式的意义．

1 建立毕奥-萨伐尔定律的实验过程

由于受库仑定律的深刻影响，科学家一致认为电和磁之间没有关系，并对磁和电分别进行着研究．当奥斯特发现电流磁效应的消息传到法国科学界后，相隔一周，安培就取得了重要的研究成果．与此同时，毕奥和萨伐尔进行了相关的电磁的实验，并且在法国科学院会议上做了重要报告．他们观察到：磁针的南极和北极被载流长直导线施加的力都反比于磁极与导线之间的距离，这个实验结果是人类首次对电流磁效应的定量研究．

1.1 毕奥-萨伐尔定律的实验原理

毕奥和萨伐尔完美地应用实验方法建立了毕奥-萨伐尔定律．其整个实验原理可以分为3个方面：首先，在测量小磁针的受力状况时应用了磁针振荡周期法，求出磁力反比于振荡周期的平方．巧妙地通过振荡周期间接地测量载流直导线产生的磁场作用在磁极上的力；其次，为了消除地磁场的影响，他们在采用补偿法避免了物理学实验中地磁场对磁针磁化产生的实验误差，提高实验的精确度；最后，根据具有对称性的弯折导线作用在磁极上的力的实验，求解作用力的大小与弯折角度的关系，并且导出定量的公式．那么，从一些特殊的电流产生的磁场导出电流源产生磁场的一般公式，就是毕-萨定律实验过程的实质[3]．

1.2 毕奥-萨伐尔定律的实验步骤

毕奥和萨伐尔的实验设计思想十分独特，具有创造性，其基本过程分为两个实验来完成．

(1)实验1

步骤一：测量小磁针受力与振荡周期的关系．取一无限长载流直导线和一枚小磁针，将小磁针悬挂于导线正上方，二者之间有一定的距离．磁针的两端相当于两个极，根据小磁针南北极的受力状况，毕奥和萨伐尔得出这样的结论，一条无限长的载流直导线作用在南北磁分子上的作用力都垂直于该分子到导线的距离．从这个结论出发，两人用了周期振荡法和转动定律．解得小磁针振荡周期与力的关系为

步骤二：测量小磁针受力与磁针两端到导线距离的关系[4]．为了小磁针开始试验时水平地静止，需要消除地球磁场对实验的影响再进行实验．选取磁针与导线30 mm处作为标准距离，然后每改变一次间距测量的周期，标准距离测量的力的比值．重复多次测量、记录，观察得到磁针振荡周期的平方与距离成正比结合上以结果可知：由于小磁针受到无限长载流直导线所产生磁场的总作用力与磁极到导线的距离是反比关系．

(2)实验2

步骤一：计算磁极受到整个长直导线所给的力．一电流微元是在长直导线任意一点选取的，它会给磁极很小的作用力为

从该式可以看出力是关于θ角变化的函数，根据角的变化范围0～π积分得到

步骤二：将长直导线弯折，分别记录弯折导线产生的作用力与长直导线产生的作用力的比值，进而确定函数f(θ)的具体形式为sinθ．将sinθ代入

求得毕奥-萨伐尔定律微分形式

现在常用形式是

毕奥-萨代尔定律的建立，不仅适用于计算任意形状的稳恒电流产生的磁感应强度，而且反应了电与磁的定量关系．根据毕奥和萨伐尔实的实验，法国的数学家、物理学家拉普拉斯遵循将粒子间的引力、斥力与一切物理现象的转化关系，从数学上推导出每个电流元施加在磁极上的作用力的规律，所以有些书中也把该定律称为毕奥-萨伐尔-拉普拉斯定律[4]．

2 毕奥-萨伐尔定律的理论推导

在学习毕奥-萨伐尔定律的过程中，掌握该定律的理论推导是十分必要的，它为定量求解磁学问题提供依据．例如在求解载流导线产生的磁场，载流圆线圈产生的磁场，载流螺线管产生的磁场等许多问题中都有广泛的应用．通过电磁学相关知识，发现毕奥-萨伐尔定律可以从多方面推理得到．下面根据相对论条件下的电磁场变换公式进行推导毕奥-萨伐尔定律．这样不仅丰富了电磁统一理论，而且毕奥-萨伐尔定律的正确性也得到了验证．

2.1 电磁场的变换关系

从洛伦兹力协变性和电荷的不变性出发所导出的在不同惯性系之间的电磁场变换一般公式[5]

(1)

如上形式可以写为

(2)

如图1所示，结合运动的电荷产生的磁场得到，根据右手定则得到

图1 运动电荷的电磁场

(3)

2.2 毕奥-萨伐尔定律的推导过程

通过对电磁学知识的学习，了解到电荷或由变化的磁场能够激发电场，其中静电场是由静止的点电荷激发而来．但是磁场不会由静止电荷激发，只有电流或运动的电荷才能够产生磁场．也就是说磁场是由运动电荷激发出来，也是由变化的电场激发出来．从这一结论就可以看到电和磁的紧密联系．下面我们就可以利用电学知识解决磁学问题，得出相关的磁学规律．

2.2.1 变化的电场激发磁场

一般人们认为磁场是被位移电流激发的．但是这种单一的说法是不完整的，磁场是有“源”场．而实质上只有运动电荷才能够激发磁场(运动电荷就是磁场的“源”)．由于知道磁场的“源”，那么对于惯性系运动和静止是相对的．那么设想一下，电荷在某一状态的参考系下不存在，是否在其他状态的参考系下也不存在呢？下面就带着这一问题来推导磁场公式．首先在推导之前要了解变化电场的具体形式，及其与磁场的关系．

假设存在两个惯性系S和S′，一带电荷量为q的点电荷，在系S中以v=vi的速度做匀速运动．其中惯性系S′也以相同的速度相对于惯性系S运动．此时刻电荷q正处在惯性系S′的原点．如图2所示，讨论不同惯性系下的电磁场．

图2 电荷在两个相对运动的惯性系下运动

坐标系S′中，电荷q此时对于该系是静止状态，那么电荷在S′系中只能产生静电场，而不产生磁场．空间中任意一点P(x',y',z')处其电磁场强度分别为

(4)

B′=0

(5)

将电场强度在该系中的3个分量根据下图(图3)表示出来.将其矢量式分解成分量式

(6)

图3 相对参考系静止的电荷的电场

如图3所示将三角函数式写为坐标式

(7)

根据式(3)和式(5)得到

(8)

由洛伦兹变换

(9)

利用式(7)和式(9)代入式(8)把在S系中场的分量的时空坐标表示出来

(10)

观察在S系时空坐标中．空间中电荷在运动，时空在变化，电场也在发生改变．当时间处在零时刻

t=0，电荷又恰好位于原点则场强变为

(11)

合矢量E的大小

(12)

式(11)、(12)是在相对论的参考系空间中电场强度的分量形式和合矢量形式．

匀速运动情形下的电荷，既能产生变化的电场，并激发磁场．如何求得运动电荷产生的磁场，这就需要应用电磁场变换公式(3)、(5)和式(8)，得到以速度v=vi运动的电荷在空间磁感应强度是

(13)

可以写作合矢量形式

(14)

由此，在S系中观察到的运动电荷激发的磁场是电场的一种相对论效应．式(13)、(14)就表示磁场的大小．

2.2.2 毕奥-萨伐尔定律的导出

将t=0时刻的式(12)代入式(14)磁场强度变化为

(15)

(16)

光学中的真空介电常数ε0和真空磁导率μ0存在如下关系[6]

所以

(17)

将式(16)利用式(17)有

可以写作矢量形式

(18)

从上式可知磁场的方向垂直于v与r所确定的平面，但这只是用于宏观低速(v≪c)的状态下,这就是匀速运动的点电荷产生的磁场近似公式．根据金属导电的经典电子理论，金属导体中的电流是自由电子定向运动形成的，所以恒定电流所产生的磁场可以看作所有匀速运动电荷产生的磁场的总和．由此，可以将运动电荷产生的磁场过渡到电流产生的磁场．

假设n个电子被包含于单位体积内的导体中，每个电子的电荷量为-e，且以匀速定向v运动，在长度为l的闭合环路导体上选取dl导体元．

(19)

导体中电流强度I的大小与微观量n，e，v的关系是I=n(-e)sv．又由于电子带负电，电流的方向与电子运动的方向相反，所以dlv=-vdl，那么式(19)就可以改写为[7]

(20)

运动电荷激发磁场过渡到电流元产生磁场的表达式就是式(20)，该式被称为微分形式的毕奥-萨伐尔定律．应用式(20)和磁感应强度叠加原理，对于整个长度为l的载流环路，矢量和的结果是在空间任意一点上各个电流元积分的结果．

(21)

上面两个式子就被称为毕奥-萨法尔定律的数学表达式．具体内容可以陈述为电流元Idl在空间任意一点p出激发的磁感应强度dB，其量值dB与Idl成正比，与sinθ成正比，与r2成反比；dB的方向垂直于dl和r所决定的平面，指向为由Idl经小于180°转向r的右手螺旋前进的方向[8]．

3 验证毕奥-萨伐尔定律的正确性

恒定磁场与静电场具有相似性，静电场是从库仑定律入手推导出来的，磁场中安培定律是与库仑定律形式相类似．其数学表达式是

其中I1,I2分别为两环路的电流，dF12是在两环路中分别选取的两电流元dl1和dl2之间的相互作用力，r12是两电流元之间的距离．与电场的情形相比对I2dl2看作试探电流元，将上式拆成两部分

(22)

上面式子中的第一个式称作磁感应强度的定义式，第二个式子是电流元在处的产生的磁感应强度公式，去掉下角标1,2有微分式

(23)

积分公式为

(24)

该过程看出，安培定律导出的和电磁场变换关系式导出的毕奥-萨伐尔定律的结果相同．那么，运动的电荷是引起一切磁现象的原因，电流产生的恒定磁场不过是导体中做定向运动的大量自由电子所激发的磁场的宏观表现．1911年俄国物理学家约飞首先用实验证实，阴极射线管内的电子束同样在空间激发磁场．而且与具有等量的电流所激发的磁场一致．这进一步证明导体中的运动电荷与空间中运动的带电粒子在激发磁场上是等效的[5]．所以能够从导体内运动电荷与他所激发的磁场之间的定量关系出发，得到毕奥-萨伐尔定律．

4 结论

本论文详细介绍了毕奥-萨伐尔定律的建立过程．对毕奥-萨伐尔定律的建立分别在实验和理论上做出了具体的阐述、推理、验证．整个过程不仅阐述了实验上毕奥和萨伐尔建立定律的原理和过程，而且还补充了理论上对毕奥-萨伐尔定律推导．论文中用到了电磁场变换公式，根据相对性原理，清晰的推导出运动电荷的磁场强度公式，但这只是毕奥-萨伐尔定律的微分形式，为了能够得到完整的毕奥-萨伐尔定律，在运动电荷的场强公式的基础上，根据金属导电的经典电子理论，将运动电荷产生的磁场过渡到电流元产生磁场最终得到全面毕奥-萨伐尔定律．

参考文献

1 周武雷.毕奥-萨伐尔定律的教育价值评述.中国科教创新导刊，2009.81

2 宋德生，李国栋.电磁学发展史.南宁：广西人民教育出版社，1996.135～136

3 穆良柱，陈熙谋.毕奥-萨伐尔定律建立过程中的数学分析.大学物理，2008(11)：27

4 王较过.毕奥-萨伐尔定律的建立过程.四川师范大学学报(自然科学版)，2001(6)：614～617

5 殷传宗，邓昭镜，罗琬华，等.基础物理专题选讲学.重庆：西南师范大学出版社，2006.174～175

6 姚启钧.光学教程.北京：高等教育出版社，2008.9

7 励子伟，宋建平.普通物理学·电磁学.北京：北京大学出版社，1988.242～243

8 洪佩智，韩树东.工科大学物理学.北京：北京理工大学出版社，1995.73

Abstract：Biot-savart law is an important law in electromagnetism.It is French scientists Biot and savart cooperation study load do so straight conductor is the action of the magnetic pole in distance from the experimental results, and to determine the current transverse force of the magnetic force.The law is made by experimental method, in order to be able to better grasp the law of Biot-savart, the establishment of the process,we try to according to the electromagnetic field theory,the relation between the applied electromagnetic field transformation is the magnetic field produced by electric charge movement.Law of classical physics are obtained on the important electromagnetic Biot-savart law, under the condition of the calculate of bi - Mr Law, applicable condition not only clear, at the same time made sufficient preparation for application of relativity principle to solve the problem.

Keywords:Movement of electric charge The electromagnetic field The electro -magnetic field transform Biot-savart law