电磁学中矢量点叉积的积分运算

秦朝峰

(运城学院物理与电子工程系 山西 运城 044000)

在电磁学的教学实践中，师生们经常进行矢量积分的运算[1]，诸如：电场强度

电场力

Fe=-qE

磁感应强度

安培力

F=I∮Ldl×B

电场力做功

电势

动生电动势

电通量

磁通量

能通量

∮S(E×H)·dS

电场能

磁场能

高斯定理

∮sD·dS=q(q在高斯面S内)

安培环路定理

∮LH·dl=I

等矢量点积、叉积、混合积的积分形式．高等数学的教学中只讲过矢量代数的点积、叉积、混合积的公式及矢梯度、散度、旋度、高斯公式、斯托克斯公式等，并未涉及矢量的微积分运算，导致许多理工科系的同学们一遇到矢量微积分就感觉物理难学，很不适应大学物理、电磁学等课程．针对物理教学中的困惑，以电磁学中的内容为例来说明矢量积分的运算．

1 矢量积分的归类及处理

1.1 归类

仔细观察不难发现，上述积分抽象为三类：

(1)线积分

其中dr=dxi+dyj+dzk，a=axi+ayj+azk；

其中面元dS=ndS；

显然，被积函数是处理问题的关键．

1.2 被积函数的处理

方法1:直接矢量运算．

设a=axi+ayj+azk，b=bxi+byj+bzk，则

或

a·b=(axi+ayj+azk)·(bxi+byj+bzk)=

axbx+ayby+azbz

(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+

(axby-aybx)k

(a×b)·c=a·(b×c)=

ay(bzcx-bxcz)+az(bxcy-bycx)

方法2:建立合适的坐标系，将矢量进行分解，最后写成矢量形式．本文引入右正交标架[2]:取e1，e2，e3三个矢量为单位矢量，且互相垂直，满足右手定则e1×e2=e3，e2×e3=e1，e3×e1=e2，故e1，e2，e3称为右正交标架．(ei,ej)=δij,1≤i,j,k≤3，(e1,e2,e3)=1．用图1表示．

图1

方法3:两个矢量叉积a×b的大小|a×b|=|a||b|sinθ，方向为右手螺旋定则；点积a·b=|a||b|cosθ；混合积

(a×b)·c=absin(a,b)cos(a×b,c)

1.3 矢量积分公式[3，4]

1.3.1 微积分的公式

1.3.2 三类矢量积分的公式

2 电磁学中矢量点叉积的积分运算举例

2.1 点积的积分

【例1】如图2(a)，在源电荷q的电场中，试探电荷q0从a移动到b，a点对应的位矢为ra，b点对应的位矢为rb．求ab间的电势差．

解析1：用图2(b)坐标架直接套图2(a)即有表达式

E=Ee3dl=dxe3-dye2

此处

dx=dr

图2

解析2：利用点积的投影含义

E·dS=En·dSn=EdS

E·dS=Er·dSr=EdS

2.2 叉积的积分

解析1：引入右正标架，如图3．

图3

由图可知

eφ=-sinφe3+cosφe2

eρ=cosφe3+sinφe2

dl=dleφ=dl(-sinφe3+cosφe2)

r=-Reρ=-R(cosφe3+sinφe2)

故

dl×r=-Rdle1

解析2：直接用a×B的大小|a×B|=|a||B|sinθ，方向为右手螺旋定则．所以，B的大小为

B的方向可由右手螺旋定则确定为垂直于纸面向外．

2.3 混合积的积分

【例4】导体棒AB以速度v垂直切割磁感线，v的方向与AB成θ，如图4(a)求导体棒AB产生的动生电动势．

图4

解法1：引入右正交标架，按如图4(b)位置放置．则

dl=dxe3+dye2

v=ve3B=Be1

或者

解法2：直接用混合积

(a×B)·c=absin(a,B)cos(a×B,c)

【例5】图5(a)长为L的一根铜棒OA，在均匀磁场中以匀角速度ω转动，磁场的磁感应强度B与棒垂直，转轴通过棒的一端并与B平行，求OA产生的动生电动势．

图5

补充数学知识：如图5(b)可知，eρ=cosφe3+sinφe2，eφ=-sinφe3+cosφe2，那么，A=Aρeρ+Aφeφ，Aρ=A·eρ,Aφ=A·eφ,eρ·eρ=eφ·eφ=1,

eρ·eφ=0

位矢r=xe3+ye2在极坐标系下的表达为r=ρeρ，dr=dρeρ两边对时间的一阶导数为速度

解法2：dl=dleρ，v=lωeφ，B=Be1，则

两种解法都说明A点电势低于O点．

3 结论

综上所述，引入右正交标架，根据需要适当放置，矢量便可直接参与运算，直截了当；另外，也可先算大小，然后，根据需要用右手螺旋定则确定方向．对于高校理工科系来说，一般都开设大学物理，如果在高等数学的教学内容没有涉及矢量的微积分，那么同学们在学习大学物理的课程时就会感觉很难．为此，笔者也呼吁高校在高等数学的教学内容里面增加矢量微积分的内容，以期对学生学习大学物理、电磁学等课程奠定基础．

参考文献

1 吴之林.电磁学中的矢量积分.大学物理，1987(1)：26～27

2 陈省身.南开大学微积分讲义(第五讲).2002. 1～6

3 Susan Jane colley.Vector Calculus.New York：Pearson，2012.29～34

4 Ken Riley,Michael Hobson and Stephen Bence.Math method for physics and engneering.Cambridge:Cambridge University Press,2002.340～360