多次随机载荷下结构动态可靠性预测的概率密度演化方法

方永锋，陈建军，阎 彬，曹鸿钧

（1毕节学院 机械工程学院，贵州 毕节 551700；2西安电子科技大学电子装备结构设计教育部重点实验室，西安710071）

多次随机载荷下结构动态可靠性预测的概率密度演化方法

方永锋1，陈建军2，阎 彬2，曹鸿钧2

（1毕节学院 机械工程学院，贵州 毕节 551700；2西安电子科技大学电子装备结构设计教育部重点实验室，西安710071）

文中给出了多次随机载荷下结构动态可靠性预测的概率密度演化方法。首先利用一次作用载荷的概率分布函数，求得多次作用载荷的概率密度函数。在考虑结构承受多次随机载荷作用下结构强度退化和不退化的情况下，根据应力-强度干涉理论和概率密度演化方法，建立了结构的动态可靠度预测模型。应用向前差分方法求解该模型中的概率密度演化微分方程，获得任意时刻结构强度裕度的概率密度函数，进而再利用积分方法获得结构动态可靠度的预测结果。最后通过两个算例表明，该方法实用易行，且具有较高的计算精度。

概率密度演化；随机载荷；结构；动态可靠性；模型

1 引 言

结构的可靠性是评价结构性能的重要指标之一。关于结构的经典可靠性研究已有很多文献进行了描述[1-3]，主要的方法有一次二阶矩方法（First Order Second Moment Method，FOSMM）、蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method，MCM）等。文献[4-7]研究了结构的动力可靠性问题，主要是针对结构承受一次动载荷进行可靠性分析，但整个分析过程未考虑结构的强度与时间的关系。在某些实际问题中，结构在其服役期内不但承受的随机载荷是时变的，且结构本身因老化、腐蚀、磨损、振动松弛等多种原因，使其强度值也随时间退化。文献[8-9]研究了机械零部件与系统的动态可靠性问题，表明零件与系统的失效率也是满足浴盆曲线的。文献[10]给出了一种考虑共同载荷下结构的动态可靠性预测模型，该模型比较实用可行，但利用一次二阶矩方法来计算结构的可靠度，当结构的应力和强度两随机变量之一不服从正态分布时，所得的结构可靠度为近似值。多年来，人们一直在探索对结构可靠性精确计算的方法，而完全概率分析方法则提供了一种新的思路。该方法的基本作法是根据激励随机变量的分布概型和系统激励与响应之间的传递函数关系，利用随机数学中的相关方法，设法获得结构随机响应量完整的概率信息，包括响应量的概率分布函数和数字特征，再利用可靠性分析中的积分方法，获得结构可靠度的准确计算结果。近年来出现了利用概率密度演化方法（Probability Density Evolution Method，PDEM）研究结构的静力和动力可靠性问题[11-13]，该方法能够全面地反映随机模型的概率信息，可得到随机结构的静、动力响应量的概率密度函数。

本文在以上文献的基础上，在已知载荷应力与结构强度的概率分布函数的前提下，根据应力-强度干涉理论，利用概率密度演化方法，建立了结构承受多次随机载荷且结构强度随时间不退化和退化的结构动态完全概率的可靠性预测模型，对该模型中的概率守恒微分方程利用向前差分方法求解。最后通过算例说明文中模型的合理性和方法的可行性与精确性。

2 结构动态可靠性的概率密度演化方程

2.1 强度不退化时的结构动态可靠性的概率密度演化方程

考虑结构在其服役期内，承受多次随机载荷的作用，但结构的强度不退化。记一次载荷为S，与它对应的应力随机变量为s，s的概率分布函数和概率密度函数分别为G（s）和g（s）。当随机载荷S对结构作用n次时，相当于从载荷母体中抽取了n个载荷样本，若结构在这n次随机载荷中的最大载荷Smax作用下不失效，显然结构在这n次载荷作用下也不会失效。为此，从偏于安全的观点，可用载荷样本中最大载荷作用n次下结构的可靠度作为n次随机载荷作用下结构的可靠度，即将n次最大载荷作为结构可靠性预测的等效载荷。

随机载荷作用n次时的等效载荷Smax的对应的应力随机变量smax的概率分布函数为：

通常载荷的发生是服从参数为λ的Possion分布的[9]，由此则可得在t时刻应力的概率分布函数为：

式中：N（t）为时段 [0,t]内载荷出现的总次数，N（0）为在0初始时刻载荷出现的次数，n为从0到t时刻载荷发生的次数。

由（2）式可得在t时刻应力对应的概率密度函数为：

由于结构的强度随机变量δ不随时间退化，可设δ的概率密度函数为f（δ）且已知，则根据应力—强度干涉理论，可得结构在多次随机载荷作用下其强度裕度随机变量r（t）=δ-smax（t）的概率密度函数为：

将（4）中的变量 smax换为 s（）t，则该式可表为：

记结构在多次随机载荷作用下强度裕度的概率密度函数为：

由于在结构服役过程中，无新的随机因素加入，即没有新的概率源产生，故p δ,t0（）满足概率守恒原理，即满足如下微分方程：

该方程为一维经典的Liouville方程，其中a（）τ为Dirac函数，方程的初始条件为：

求解由（7）式和（8）式给出的偏微分方程初值问题，即可获得结构强度裕度r（t）的概率密度函数p（δ,t），进而再利用积分方法可得结构动态可靠度R（t）的精确计算表达式为：

上式即为结构在多次随机载荷作用且强度不退化情况下、在任意t时刻的动态可靠度预测模型。

2.2 强度退化时结构动态可靠性的概率密度演化方程

考虑结构在其服役期内承受多次随机载荷的作用，且结构的强度随机变量将随时间而退化，对于结构在 τ时刻其剩余强度 δ（τ）的概率分布函数H[ δ（ τ ）]可以 Weibull分布来描述[15]，即：

式中：β（τ）、η（τ）和 γ（τ）为实时的Weibull分布参数，τ为结构在服役期T内的工作时间。

由上式，可得 δ（τ ）的概率密度函数h[ δ（ τ ）]为：

同前处理，由（5）式和（11）式可导得在多次随机载荷作用下且结构强度随时间退化时，强度裕度随机变量r（t）=δ（t）-smax（t）的概率密度函数为：

记在多次随机载荷作用下且结构强度退化时强度裕度的概率密度函数为：

由于在结构服役过程中，无新的概率源产生，故q（ δ（ 0 ）,t0）满足概率守恒原理，即满足如下Liouville微分方程：

该方程对应的初始条件为：

求解由（14）式和（15）式给出的偏微分方程初值问题，即可获得结构强度裕度r（）t的概率密度函数 q（ δ（ τ ）,t），进而利用积分方法可得结构动态可靠度R（t）的精确计算表达式为：

上式即为结构在多次随机载荷作用下且强度退化、在任意t时刻的动态可靠度预测模型。

3 概率密度演化方程的求解

由前建立的结构动态可靠度预测模型即（9）式和（16）式显见，问题求解的关键须首先求解由概率密度演化微分方程（7）和（14）给出的偏微分方程初值问题。此类方程的初值问题在理论上存在着形式上的解析解[8]，但在实际计算中，该形式上的解析解通常是无法获得的，需利用各种数值方法求解。本文则应用了向前差分格式的数值算法，其算法的主要步骤如下：

Step1.对变量和初始条件进行离散，初始条件（8）和（15）被分别离散化为：

其中：δi=i·Δδ，Δδ为 δ方向的划分；δi（t）=i·Δδ（t），Δδ（t）为 δ（t ）方向上的划分，i＝0，1，2，…。

对时间 t进行离散，tj=j·Δt，Δt为 t方向的划分， j＝0，1，2，…。

令网格比 λ1=Δt/Δδ，λ2=Δt/Δδ（τ），为了保证计算的收敛和稳定，要求：0＜λ1a（t ），λ2a（t）≤1。

Step2.对方程（7）和（14），分别利用如下的向前差分递推公式进行计算：

通过上述过程的求解，即可获得满足方程（7）和（14）的解，即结构强度裕度随机变量r（t）随时间演化的概率密度函数。

4 算 例

例1.某减速箱中的一轴，考虑其强度δ不退化的情况。设：δ服从均值为110 MPa，标准差为15 MPa的正态分布。取λ=1，工作应力s服从均值为50 MPa、标准差为15 MPa的正态分布。在载荷作用多次时，取 λ1a（t）=0.5。

求解本文导出的结构强度不退化情况下的强度裕度r（t）的概率密度演化方程（7），分别获得了在t=0，25，100 单位时间时 r（t）的概率密度函数曲线见图1。从图中可见，文中方法可以获得在多次随机载荷下结构强度不退化、在任意时刻的结构强度裕度r（t）的概率密度函数；在t=0时，r（t）的概率密度函数为正态分布，而在演化的过程中，如在t=25，t=100单位时间时，r（t）概率密度将不再为正态分布。这说明概率密度演化方法能准确刻画结构在多次载荷作用下的结构强度不退化时的可靠度实时变化情况。由于能够得到任意时刻r（t）的概率密度曲线，从而可得到r（t）在时域上的全部概率信息。

为进行对比，表1中同时给出了利用本文方法PDEM以及FOSMM和MCM方法（模拟n=106次）求得的该轴在t=0，25，100单位时间对应的可靠度预测结果。从计算结果看，结构的动态可靠度随时间逐渐降低，这是因为考虑到载荷多次作用的缘故。

图1 例1在t=0，25，100单位时间的概率密度Fig.1 The curves of the probability density under t=0，25，100 unit time in the example1

图2 例2在t=0，25，100单位时间的概率密度Fig.2 The curves of the probability density under t=0，25，100 unit time in the example2

表1 例1的三种方法可靠度预测结果Tab.1 The prediction results of the example1 by using three methods

表2 例2的三种方法可靠度预测结果Tab.2 The prediction results of the example2 by using three methods

例2.结构及结构参数均同例1，但考虑结构的强度δ（t）随时间退化的情况。

求解本文导出的结构强度退化情况下的强度裕度r（t）的概率密度演化方程（14），获得在t=0，25，100 单位时间 r（t）的概率密度函数曲线见图2。从图中可见：随着时间的增长，r（t）的概率密度曲线趋于复杂，与最初的正态分布相去甚远，故而此时利用一次二阶矩方法给出的可靠度预测结果将产生显著的偏差；另外，随着时间的增长，r（t）的概率密度函数曲线峰值降低，宽度增大，并且其涨落比随机源的涨落显著增强。这些表明：文中的方法可以给出多次随机载荷下的结构强度退化、任意时刻的结构强度裕度的概率密度函数，能够准确地刻画结构动态可靠度的实时变化情况。

为进行对比，表2中同时给出了利用本文方法PDEM以及FOSMM和MCM方法（模拟n=106次）求得的该轴在t=0，25，100单位时间对应的可靠度预测结果。该结果表明，结构的动态可靠度比例1中随时间下降的幅度更大，即在同一时刻，考虑强度退化的结构可靠度要低于强度不退化的结构可靠度。

从图1-2可见，利用向前差分方法求解微分方程（7）和（14），其解满足概率密度函数的非负性、完备性（密度函数曲线在横坐标上所围面积之和恒为1），表明本文方法关于结构强度裕度随机变量的概率密度函数演化计算方法的正确性。

从表1-2可见，由于强度裕度随机变量r（）t在0时刻均服从正态分布，故三种方法在0时刻的可靠度预测结果均完全相同。但随时间演化，r（）t将不再服从正态分布，但此时本文方法与MCM对于结构动态可靠度的预测结果基本是一致，而FOSMM的预测结果误差较大，这充分彰显了本文方法计算结果的精确性。

5 结 论

（1）文中基于概率密度演化方法，建立了多次随机载荷作用下结构强度退化和不退化的动态可靠性预测模型，能够获得任意时刻的应力-强度两干涉量的概率密度函数，从而可得到结构动态可靠性的全部的概率信息，为准确地预测结构全生命周期的可靠性提出了一种方法。

（2）利用向前差分方法求解概率密度演化微分方程，可以保证所求概率密度函数的非负性和完备性，且算法简单高效，易于编程实现。

（3）算例的结果表明，本文方法预测结构的动态可靠度，实用易行且具有较高的精度。

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Probability density evolution method of the prediction model of structural reliability from the time response under several times stochastic loads

FANG Yong-feng1,CHEN Jian-jun2,YAN Bin2,CAO Hong-jun2

(1 School of Mechanical Engineering,Bijie University,Bijie 551700,China;2 Key Laboratory of Electronic Equipment Structure Design,Ministry of Education,Xidian University,Xi’an 710071,China)

The probability density evolution of the structural dynamic prediction models under several times random loads are presented.The probability density of several times stochastic loads can be obtained by the probability density of a time stochastic load.The prediction models of the structural reliability from the time response under several times stochastic loads with the strength degeneration and without degeneration over time are constructed by using the stress-strength interference theory and probability density evolution method.The differential equation in the models can be solved by using the forward differential method.The probability density functions of the structural strength redundancy in any time can be obtained.The structural dynamic prediction reliability can be obtained by using integral method.Finally,the two given examples show that this method is practicable,feasible and more accurately.

probability density evolution;stochastic load;structure,dynamic reliability;model

TB114.3

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.04.008

1007-7294（2014）04-0413-06

2013-07-12

国家自然科学基金项目资助（51175398）；毕节学院高层次人才科学研究项目（院科合字G2013007号）资助

方永锋（1975-），男，博士，毕节学院机械工程学院副教授，E-mail:lijiemech@126.com；

陈建军（1951-），男，西安电子科技大学机电工程学院教授，博士生导师。