一种基于超平面的电力系统实用近似静态安全域及其求解方法

吴英俊

（南京邮电大学自动化学院 南京 210023）

1 引言

电力系统安全遭到破坏将导致巨大的经济损失，因此保障系统安全十分重要[1]-[5]。传统静态安全分析方法“逐点法”针对给定功率注入和故障条件，采用数值仿真、特征值计算或能量函数法等方法来分析电力系统的安全性。这类方法是当前工业界进行静态安全分析最主要和最实用的方法，但其缺点亦很多，比如功率注入给定的人为主观性、选择故障集的历史经验性和计算过程的耗时低效。另外这类方法只针对一个或多个事件，无法对系统的安全性进行全局性分析。

安全域能提供丰富的安全信息，因而自 E.Hnyilicza 等人提出这一概念以来[6]，便受到了大量关注。文献[7]和文献[8]分别给出了静态安全域的隐式表达和显式表达。在文献[8]的基础上，文献[9]对系统安全约束进行分组，提出了有功趋于最大直观安全域。文献[10，11]研究了直角坐标形式潮流方程的一般结构，给出了刻划静态安全域的一次和二次近似公式。文献[12]提出了一种基于快速解耦潮流模型计算电力系统静态安全域的新的分组扩展算法，并在算法中考虑 N-1安全约束。文献[13]采用线性规划方法，求得了各发电机有功调节范围之和最大的安全域。类似于文献[13]，文献[14，15]利用神经网络求解非线性规划问题，求得了各发电机有功调节范围的乘积的安全域。另外电力系统中存在大量的不确定性，文献[16，18]利用随机变量以及模糊数来描述电力系统中负荷的不确定性，利用置信区间的概念求解不同负荷置信度下的可伸缩静态安全域。文献[19，20]考虑了线路最大潮流约束条件的模糊性，并且采用模糊线性规划的方法求解最大安全域。文献[21]利用二次方程的性质刻划了安全域的分叉边界。总体来讲这些方法大多直接基于潮流方程，而大电网潮流方程的超高维数和强非线性造成边界求取过程复杂且获得的边界表达不够直观。

本文提出了一种求取静态安全域超平面组的方法。该方法线性化节点功率注入方程，可以快速得到近似真实节点功率注入安全域边界的超平面组。通过分裂电力网络把断面潮流安全域等价为子网络分裂节点功率注入安全域的交集，间接获得了断面潮流安全域边界超平面组。仿真算例验证了所提方法的有效性和正确性。

2 电力网络静态安全域边界构成

电力系统静态安全是指电力系统各元器件运行在功率和电压的安全约束范围内。一般来说满足系统安全约束的节点功率注入点就是安全运行点，安全域可等价为满足安全约束的节点功率注入点的集合。对于某些功率注入点，若极小量增加或减少其某一节点的功率注入便不满足安全约束，则该点在安全域边界上，这些点的集合是安全域的边界。图1是一电力网络示意图，该网络包含 n个节点。图中P+Q表示节点注入功率，V和θ表示状态量（节点电压幅值和相角）。对于图1中电力网络，安全域是对应于状态量Vi和 θ（ii = 1,2,…,n）存在且满足安全约束的功率注入点Pi和Qi（i = 1,2,…,n）的集合。安全域的边界是对应于状态量Vi和θi（i = 1,2,…,n）满足安全约束的功率注入点Pi,和Qi（,i = 1,2,…,n）中，当任一Pi,或Qi,增加或减少极小量后，至少有一个状态量Vi或θ（ii = 1,2,…,n）不满足安全约束的功率注入点的集合。

图1 电力系统节点功率注入示意图Fig.1 A simple power network with nodal power injections

静态安全约束一般包含节点电压幅值约束和线路潮流约束。对于图1中n节点和l条线路的电力网络，其安全域边界应由n个节点电压幅值约束和l条线路潮流约束共同决定。图2是电力系统静态安全域边界示意图，安全域边界由2n+2l块子边界构成。其中2n块节点电压幅值约束子边界构成了节点电压幅值约束安全域边界，2l块线路潮流约束子边界构成了线路潮流约束安全域边界。

图2 电力网络的安全域边界构成示意图Fig.2 The boundary of power system steady-state security region

由于电力系统的高维数，求取安全域边界解析表达十分困难。但安全域边界是由子边界构成，如能求得子边界的解析表达，则可间接获得安全域边界的解析表达。求解子边界解析表达时，为避免强非线性可线性化节点功率注入方程，用超平面近似真实的子边界。如中，V2min和 V2max对应的超曲面安全域子边界可由超平面H1和H2来近似。

3 节点功率注入方程线性化

对图1中电力网络，列写节点功率注入方程：

把式（1）写成下面的紧凑形式

经等价变换，把式（2）变换成以节点功率注入为变量的电压幅值和相角的表达式。

式（3）的求取，数学上是求取式（2）的逆映射。求取逆映射前，先给出逆映射存在定理。

定理1：对于映射f：X→Y，当且仅当映射f为一一映射时，其存在逆映射f-1：Y → X；当映射f为多对一映射时，其不存在逆映射。

事实上，式（2）是从 V-θ空间到 P-Q空间的多对一映射。由定理1可知，式（3）是不存在的，即V-θ空间到P-Q空间的逆映射不存在。

一般情况下电力系统运行在点（V = 1,θ = 0）附近。在点（V = 1,θ = 0）的小邻域内，从V-θ空间到P-Q空间的映射是一一映射。因此，在V-θ空间，运行点（V = 1,θ = 0）的某一邻域内式（2）的逆映射存在。

下面采用一种新方法来线性化节点功率注入方程组（1）。线路潮流的计算式为

式中，Pij和Qij分别为支路ij的有功潮流和无功潮流。

重写（4）为

式中， Γ1= Vjc osθij- Vi， Γ2= Vjs in θij。

在点（V = 1,θ = 0）的小邻域内， Vi=1，得到

进一步利用 cosθij=1，得到 Γ1= Vj- Vi。利用Vj=1和sin θij= θi- θj,得到Γ2= Vjs in θij。最终可得

对节点i应用基尔霍夫定律可以得到

对于图1中电力网络，写成矩阵形式

写成矩阵形式

假设节点0为参考节点。则在（10）中，有V0= 1 和and θ0= 0。该参考节点电压幅值和相角代入（10），得到除参考节点外其他节点的功率注入和电压幅值与相角之间的线性关系。

式中，G0=（G10,G20… Gn0）T， BG0=（BG10,BG20…BGn0）T。

为形式简洁，重写（11）为

基于式（12），可以得到下式

式（13）给出了以节点功率注入表达的电压幅值和相角方程，是经线性化后得到的状态量空间到节点功率注入空间的线性映射。下面以图3中简单单机单负荷系统作为例子来说明采用的线性化方法的合理性。系统中发电机和负荷都用恒功率注入表示，线路参数G+jB = 1.361 5-j5.037 4。

图3 简单单机单负荷系统Fig.3 A single-generator single-load system

图4给出了采用和不采用线性化节点功率注入方程时节点注入有功-无功空间与节点电压-相角空间之间关系的平面和曲面（发电机节点为平衡节点，因此安全域空间为负荷节点功率注入空间）。从图中可以看出在运行点（VD= 1,θD= 0）的邻域内，曲面和平面基本重合。

表1和表2给出了采用式（1）和式（13）得到的简单单机单负荷系统的节点功率注入和电压之间的关系的比较，即采用本文所提线性化方法和不采用线性化方法得到的节点功率注入和电压之间的关系的比较。在点 {Vi= 1; θi= 0 | i = 1,2,…,n}的邻域内，即在电压范围为[0.9 1.1]和电压相角范围为[-10°,10°]时，利用采用式（1）和式（13）得到的节点电压幅值和相角有误差，但是误差较小。因此，从工程实际来讲，本文所提线性化方法具有可行性。

图4 状态量-控制量曲面和平面比较Fig.4 Comparisons of security regions characterized by hyper-surfaces and hyper-planes

表1 节点电压幅值比较Tab.1 Comparison of Values of Voltage Amplitude

表2 节点电压相角比较Tab.2 Comparison of Values of Voltage Angle

4 节点功率注入安全域

电力网络的静态安全约束为：

（1）PQ节点的电压幅值约束

（2）采用类似于文献[8]的方法，潮流约束用关联矩阵来表示

式中，δ 为线路最大允许相角差。

重写式（15）为如下形式

线路潮流约束是线路相角差函数，变换式（16）得到

把安全约束限值 Vmax，Vmin，-δ和 δ代入式（17），便得到近似真实安全域的子边界的超平面组。

5 基于安全域的安全性分析

5.1 安全性与安全裕度

在分析运行点的安全性（位置）和安全裕度（到边界距离）之前，先给出如下定理。

定理2：n维空间Rn中一点P0(x10,x20,…,xn0)到超平面S: a1x1+ a2x2+…+ anxn+b = 0,(a1,a2,…,an≠ 0)的距离为

由于运行点可分为安全和不安全，因此这里去掉距离公式中的绝对号，以表征系统的安全性。求得的距离是一个带有符号的数值，可称为“方向距离”。符号表征运行点处于安全域边界的安全侧或是不安全侧，数值表征到边界的绝对距离。

5.2 超长方体安全域

为说明表征节点最小功率注入裕度的超长方体安全域的求法，先给出如下定理。

定理 3：n维空间 Rn中一点 P0(x10,x20,…xn0)，超平面 S: a1x1+ a2x2+…+ anxn+b = 0,(a1,a2,…an≠0)。超平面S的法向量为= [ a1,a2,… ,an]。点P0到超平面S的方向距离为，则在各个坐标的投影为。

对节点数为 n+1的电力网络 f，假设其一运行点O，利用定理2和定理3求得各节点功率注入变

式（20）表示的超长方体安全域是由所有节点功率注入最小裕度构成的超长方体安全域。

6 断面潮流安全域

直接求取断面潮流安全域边界是不可行的，因此可把求解断面线路潮流安全域转化为求解节点功率注入安全域。下面提出一种与节点分裂法[22]相似的网络分裂法，该方法分裂电力网络后得到的两个子网络都保留联络线和分裂节点。如分裂图5a中的电力网络后得到图5b中的子网络-A和子网络-B。子网络-A中分裂节点为节点，和，子网络-B中分裂节点为节点和。

图5 断面联络线节点分裂电力网络Fig.5 A new network splitting method

对每个独立电力网络而言，其分裂节点的功率注入安全域是只考虑该独立网络安全约束时的安全域，因此原网络断面潮流安全域等价于两个子网络的分裂节点的功率注入安全域的交集。

7 算例

7.1 节点功率注入安全域超平面组求取算例

下面以IEEE 14-节点系统为例来求取功率注入安全域。该系统共有5台发电机和11个负荷，节点1 为平衡节点，安全约束为 Vi∈ [0.9,1.1]，θij∈ [-10°,10°]，其中 i,j ∈(2,3,…,14)。表 3 给出了系统的 3个运行点。

表4给出了三个运行点到所有超平面的方向距离。由此可知运行点1在所有超平面的安全侧；运行点2在节点14的电压幅值约束安全域边界超平面和线路7-8的线路潮流约束安全域边界超平面的非安全侧；运行点3在线路7-8的线路潮流约束安全域边界超平面的非安全侧。为验证结果进行潮流计算，表5给出了潮流计算结果。从表5中可以看出，运行点1节点14电压幅值和线路7-8线路潮流都在安全范围内；运行点2节点14电压幅值和线路7-8线路潮流都越下限；运行点3线路7-8线路潮流越下限。

表6给出了运行点1的超长方体安全域。图6和图7给出了运行点1的节点3和节点8有功功率注入空间的子安全域和安全域可视化图形。

图6 节点3和节点8有功功率注入空间子安全域Fig.6 Nodal active power injection security sub-regions in the space of Bus-3 and Bus-8

图7 节点3和节点8有功功率注入空间安全域Fig.7 Nodal active power injection security region in the space of Bus-3 and Bus-8

表3 IEEE 14-节点系统运行点的节点功率注(BaseKVA =100,p.u.)Tab.3 Nodal power injections of IEEE 14-bus system(BaseKVA =100,p.u.)

表4 运行点到超平面的距离Tab.4 Distances from operation points to hyper-planes

θ5-θ60.652 3-0.278 8 0.634 1 -0.297 1 0.574 8 -0.356 4 θ6-θ111.028 6-1.152 0 0.965 4 -1.215 1 0.955 1 -1.225 4 θ6-θ121.091 7-0.941 0 1.093 5 -0.939 2 1.078 8 -0.953 9 θ6-θ131.693 8-1.488 5 1.677 0 -1.505 2 1.657 7 -1.524 6 θ7-θ80.220 5-1.760 5-0.279 5 -2.260 5 -0.279 5-2.260 5 θ7-θ92.064 1 -0.9466 2.302 6 -0.708 1 2.228 8 -0.781 9 θ9-θ102.200 3-1.915 5 2.252 3 -1.863 5 2.260 0 -1.855 8 θ9-θ141.008 9-0.634 0 1.096 0 -0.546 9 1.058 9 -0.584 0 θ10-θ111.342 1-1.136 0 1.412 5 -1.065 7 1.423 4 -1.054 7 θ12-θ131.231 6-1.257 6 1.215 8 -1.273 4 1.218 8 -1.270 4 θ13-θ140.788 1-0.862 1 0.768 7 -0.881 4 0.723 4 -0.926 7

运行点1 运行点2 运行点3节点-14电压幅值 1.019 0.831 1.014线路7-8有功潮流 -7.100 -13.423 -11.842

表6 运行点1时的超长方体安全域(p.u.)Tab.6 Hyper-cube for operation point 1 (p.u.)

7.2 线路潮流安全域超平面组求取算例

下面求解 IEEE 118-节点测试系统中线路15-33，19-34，30-38和23-24组成的断面的线路潮流安全域。分裂该系统成由线路 15-33’、19-34’、30-38’、23-24’和区域-A构成的子网络-A和由线路15’-33、19’-34、30’-38、23’-24 和区域-B 构成的子网络-B，求取每个子网络的节点功率注入安全域。节点 33’、34’、38’和节点 24’的功率注入构成的子安全域即为原网络断面联络线潮流只考虑区域-A和断面的安全约束下的安全域，节点15’、19’、30’和 23’的功率注入构成的子安全域即为原网络断面联络线潮流只考虑区域-B和断面的安全约束下的安全域。因此，原网络断面线路潮流安全域等价于两个子安全域的交集。

图8 IEEE 118-节点测试系统Fig.8 IEEE 118-bus test system

图9给出了线路 23-24和线路30-38潮流的子安全域的可视化图形。

图9 线路23-24和线路30-38潮流安全域Fig.9 Interface power flow security region in the space of Line 23-24 and Line-30-38

8 结论

（1）静态安全域边界包括电压幅值约束安全域边界和线路潮流约束安全域边界。电压幅值约束安全域边界和线路潮流约束安全域边界又可分成约束上限子边界和约束下限子边界。

（2）在点（V = 1，θ = 0）的小邻域内，线性化节点功率注入方程，得到了从节点注入有功-无功空间到节点电压-相角空间的线性关系，提出了用超平面组来近似节点功率注入安全域边界的方法。分析了运行点的安全性和裕度，利用空间向量分解法，给了超长方体安全域概念。

（3）提出了一种新的分裂电力网络的方法，分裂后两个子电力网络都保留了分裂线路，把网络断面潮流安全域等价为分裂后子网络分裂节点安全域的交集，间接地获得到线路潮流安全域边界超平面组。

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