中学数学函数概念探析

张少林

(丽江高等师范专科学校 数计系，云南 丽江 674100）

自17 世纪近代数学产生以来，函数概念一直处于数学的核心位置。函数概念是近代数学的重要基础，在现代数学和科学技术领域有着广泛的应用。同时，函数是中学数学中的核心内容，以函数思想来贯穿中学数学内容更容易形成体系。另外，由于函数概念的抽象性以及学生的思维水平处于很不成熟的阶段，初、高中学生在学习函数概念时，往往感到困难，用函数思想分析问题和解决问题就显得更困难，因此，对函数概念的深刻理解就显得非常重要。

现就初、高中教材中函数概念的定义我们来作全面地分析。

1 初中“函数概念”

初中数学课本中函数概念的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y，如果给定x 一个值，就能相应地确定y 的一个值，那么，我们就说y 是x 的函数，x 叫做自变量。

对于这个定义，我们应从以下三个方面认真领会其含义：

（1）首先看一看这一定义的描述：“在某个变化过程中，有两个变量x、y”这个前提条件。

例如：圆的面积公式：S=πr2中，若指明S 是一个定值。那么π 和r可以构成函数关系吗？显然不能构成函数关系的，事实上，r 是变量，而π 是一个常量。它们之间不具备函数关系的条件。又如，给定了一个圆柱体，其圆柱体公式为V=πr2h，当圆柱体积V、h 一旦确定，即都为定值时，r 和π 能构成函数关系吗？其实，这两个量是不能构成函数关系的，因为π 是一个固定不变的数，即一个常量，而r 是一个变量。这两个量不具备函数关系的前提条件。

（2）反复琢磨、思考函数和自变量这个两量在定义中的“角色”

我们看一看这样一个变化过程：骑自车从甲地到乙地的过程中，自行车速度设定为20 千米/小时，随着时的增加路程也在增加，在这一过程中涉及到的是时间和路程这两个变量，如果给定时间一个值。相应地就确定了路程的一个值，那么我们就说路程是时间的函数，时间就是自变量。又如，骑自行车从甲地到乙地路程已知是80 千米，车速越快，用时就越短；相应的车速越慢，用时就越长。在这个过程中，速度和时间就是两个变量。如果给定时间一个值，相应地就确定速度的一个值，那么，我们就说，速度是时间的函数。时间叫做自变量。又如：骑自行行从甲地到乙地路程已知为80 公里，车速越快，用时就短；车速越慢，用时就越长。在这个过程中，速度和时间就是两个变量。如果给定时间一个值就能相应地确定速度的一个值。那么，我们就说，速度是时间的函数。时间叫做自变量。在前一变化过程中路程是变量，而后一过程中路程是常量。同样，在后一变化过程中换一个角度，给定速度一个值就能相应地确定时间一个值，那么我们就说时间是速度的函数，速度叫自变量。即使在同一变化过程中，谁是函数谁是自变量也是相对的，而不是固定的。

从以上分析可知：变量和常量是相对于某一过程而言，没有绝对的变量和常量。把一个变量称做函数，也是相对的。这里一方面指它必须是依赖于某个称为自变量的变量，另一方面，一个变量是某个变量的函数，也是相对于某个过程而言的。对于自变量和函数来讲，决不能认为只要自变量变化了，函数理应随着变化。事实上，如，符号函数就是一个典型的例子：sgn=，当x＜0 时，其函数值保持为-1，当x＞0 时，同样函数值始终为1，定义中明确指出；对于给定每一个自变量的值，就有确定的一个函数值和它对应。事实上，从上例可知，对于不同的自变量的值，函数可以取到相同的值，并且可以是多个。

2 高中教材里“函数概念”的剖析

有了“集合论”以后，函数的定义就改用了“集合”和“对应”这两个原始概念来叙述，即“给出了两个非空数集D 和M，对于集合D 中每一个元素x，可以依照某一法则使之对应于集合M 中的某一个元素y，假定这种对应关系确定了，那么在集合D 上就确定了一个函数。记作：y=f（x）。分析这个定义，我们可以得出如下几点：

（1）对于上述的定义，很明显就抓住了函数概念的本质属性。要确定两个变量之间是否构成函数关系，必须事先给定：属于两个数集D和M 的x，y，而且它们之间还要有一个确定的法则。对于D 中的每一个x 值，在M 中有一个唯一确定的y 值和它相对应。不管给定的法则是用公式，图形，表格和其它任何形式，。显然定义带有了普遍性和广泛性。

对于概念中的“每一个”、“唯一确定”等这些关键词一定要认真理会。例如，给10 位编了学号的同学测量身高，但遇到刚好其中有一位同学没有参加，可以想象得到，学号与身高之间是不能构成函数关系的。因为对于学号构成的集合中的一个学号，在身高构成的集合中就没有元素与它对应；概念中给出的集合是“数集”，它不是“点集”，也不是由图形构成的集合。如，由某班全体同学构成的集合记作A，教室里的座位组成的集合记作B，每一位同学都有唯一的一个座位，班上还有空座位，这能否算作一个函数的例子吗？。对于概念中的集合B，它是不是函数的值域，事实上，函数的值域是集合B 的子集。

（2）从定义可以看出，确定一个函数实际上包括了以下的三要素：①自变量集合（即定义即定义域）；②函数的集合M（即值域）；③对应关系。

3 关于初、高中教材“函数概念”的比较

初中教材中的“函数”定义是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。从历史的角度看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式。如，学习函数概念后，虽然明确地给出了函数的表示法：解析法，图像法，表格法。但接下来所学习的函数都是用解析式表达出来的。如，正比例函数，一次函数，二次函数，反比例函数等等，这明显给我们一个映象——函数就是解析式。后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，一个函数存在，还必须看定义域。如，若不给x≠1 出这一条件，那么这个函数就无意义了。事实上讨论它也就失去它应有的价值了。而要弄清变量以及两个变量间的变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制。如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入讨论。如，迪里赫里函数，当x 是有理数时，函数值为1，当x 为无理数时，值为0，对这一函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强。也说不出x 的物理意义是什么。但用集合、对应的观点来解释，就十分明了，进入高中，学生需要建立的函数概念是：设A、B 是两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f（x ）和它对应，那么就称f：A→B 为集合A 到集合B 的一个函数。这个概念与初中概念相比更具有一般性。实际上，高中的函数概念与初中函数概念本质上是一致的，不同点在于，表述方式不同，高中明确了集合、对应的方法。初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点，与初中相比，高中引入了抽象的符号f（x ）。f（x ）指集合B 中与x 对应的那个数。当x 确定时，f（x ）也唯一确定，另外，初中并没有明确函数值域这个概念。

函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：

（1）两个数集间有一种确定的对应关系f。对应关系f 是一个整体，是集合A 与B 之间的一种对应关系，应该从整体的角度认识函数。

（2）涉及两个数集A、B，而且这两个数集都非空。

（3）定义中的关键词是“每一个”“唯一确定”。也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B 中有数与对应，有的没有，每一个都要有，而且，在集合B 中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应。

4 加强函数的实际应用

函数在数学这个大家庭中是一个必不可少的成员，而且在生活中他也同样随处可见。正如我们学习过的一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数，这些形形样样的函数，都在用不同的表示方法，不同的角度来表示着自然界中变量与变量之间的关系。因此，数学中函数的知识与我们的生活实践有着不可分割的联系。如：

（1）一次函数的应用? 购物时总价与数量间的关系，是最基本的一次函数的应用，由函数解析式可以清楚地了解到其中的正比例关系，在单价一定的条件下，数量越大，总价越大。此类问题非常基本，却也运用最为广泛。

（2）二次函数的应用

当某一变量在因变量变化均匀时变化越来越快，常考虑用二次函数解决。如细胞的分裂数量随时间的变化而变化、利润随销售时间的增加而增多、自由落体时速度随时间的推移而增大、计算弹道轨迹等。二次函数的解析式及其图像可简明扼要地阐述出我们需要的一系列信息。如增加的速度、增加的起点等。

（3）反比例函数的应用

反比例函数在生活中应用广泛，其核心为一个恒定不变的量。如木料的使用，当木料一定时长与宽的分别设置即满足相应关系。还有总量一定的分配问题，可应用在公司、学校等地方。所分配的数量及分配的单位即形成了这样的关系。

（4）三角函数的应用

实际生活中，我们常常可以遇到三角形，而三角函数又蕴含其中。如建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题，确定光照及房屋建造合理性以及河宽的测量都可以利用三角函数方便地测出。

（5）在生活中的利润问题

总利润=每件利润×销售量、人口增长率问题、个人所得税问题、市场预测问题、运货调配问题、经济图标问题、平衡价格问题、工程造价问题，这些生活常见的问题在计算、应用方面离不开函数的知识。利用函数就可以把各种数据都放到表格里，然后再绘制成函数图像，从平面直角坐标系中观察出事情发展的趋势以及计算出他们之间的函数关系式，来进行合理的预算。有时还可以利用某些函数的函数图像来求最值。由此可见，函数是十分重要的一部分。

（6）涉及函数的应用题

这些应用题更是与生活实际联系密切，他不仅能培养我们分析问题和解决实际问题的能力，还能提高我们的思维素质。同时利用函数也可以更简便地解决问题。所以，学会了解和应用函数也是十分重要的。

上面所说的均是与代数有关的函数，而三角函数则是主要运用在几何问题中。像利用三角函数求值问题、推算角度问题、判断三角形问题，也都是非常常见的。所以，无论是代数还是几何，计算还是应用，考试还是生活，都离不开函数的知识。有了函数，可以让我们生活更加地便利。随着市场经济的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩，买与卖，存款与保险，股票与债券，都已进入我们的生活。

数学分基础数学和应用数学。对初等数学来说，我们要接受前人的定理，然后会用这些知识去解释实际问题，从而解决实际问题。在初中时，学生们基本上是按照方程的思想，列方程（组），最后求解。长期的定势思维，束缚了一部分同学的思维，上高一后，虽然学习了函数，但方程思想根深蒂固，无法正确用函数思想来分析问题，解决问题，使之应用题解决起来困难重重，所以让我们还是没有真正的做到把函数应用到实践生活中。但函数问题却是时时刻刻的在我们身边，我们应该提高对数学的学习意识，加强对实践问题的分析，让数学理论有机的和实践问题结合起来。让数学知识真正的应用在实践中，不再是空谈数学理论。